Калькулятор розподілу Лапласа

Вступ

Розподіл Лапласа, також відомий як подвійний експоненційний розподіл, є неперервним ймовірнісним розподілом, названим на честь П'єра-Сімона Лапласа. Він симетричний навколо свого середнього (параметр розташування) і має більш важкі хвости в порівнянні з нормальним розподілом. Цей калькулятор дозволяє вам обчислити функцію ймовірнісної щільності (PDF) розподілу Лапласа для заданих параметрів і візуалізувати його форму.

Як користуватися цим калькулятором

1. Введіть параметр розташування (μ), який представляє середнє значення розподілу.
2. Введіть параметр масштабу (b), який визначає розподіл розподілу (b > 0).
3. Калькулятор відобразить значення функції ймовірнісної щільності (PDF) при x = 0 та покаже графік розподілу.

Примітка: Параметр масштабу повинен бути строго позитивним (b > 0).

Формула

Функція ймовірнісної щільності (PDF) розподілу Лапласа задається формулою:

$f(x|\mu,b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

Де:

• x - змінна
• μ (мікро) - параметр розташування
• b - параметр масштабу (b > 0)

Обчислення

Калькулятор використовує цю формулу для обчислення значення PDF при x = 0 на основі введених користувачем даних. Ось покрокове пояснення:

1. Перевірка введення: Переконайтеся, що параметр масштабу b позитивний.
2. Обчисліть |x - μ|: У цьому випадку це просто |0 - μ| = |μ|.
3. Обчисліть експоненціальну частину: $\exp(-|μ| / b)$
4. Обчисліть остаточний результат: $\frac{1}{2b} \exp(-|μ| / b)$

Крайні випадки, які слід врахувати:

• Якщо b ≤ 0, відобразіть повідомлення про помилку.
• Для дуже великих |μ| або дуже малих b результат може бути надзвичайно близьким до нуля.
• Для μ = 0 PDF досягне свого максимального значення 1/(2b) при x = 0.

Сценарії використання

Розподіл Лапласа має різноманітні застосування в різних сферах:

1. Обробка сигналів: Використовується для моделювання та аналізу аудіо- та зображень.

2. Фінанси: Застосовується для моделювання фінансових доходів та оцінки ризиків.

3. Машинне навчання: Використовується в механізмі Лапласа для диференційної конфіденційності та в деяких моделях байєсівського висновку.

4. Обробка природної мови: Застосовується в мовних моделях та завданнях класифікації тексту.

5. Геологія: Використовується для моделювання розподілу магнітуд землетрусів (закон Гутенберга-Ріхтера).

Альтернативи

Хоча розподіл Лапласа є корисним у багатьох сценаріях, існують інші ймовірнісні розподіли, які можуть бути більш доречними в певних ситуаціях:

1. Нормальний (гауссовий) розподіл: Частіше використовується для моделювання природних явищ та вимірювальних помилок.

2. Розподіл Коші: Має ще більш важкі хвости, ніж розподіл Лапласа, корисний для моделювання даних, схильних до викидів.

3. Експоненційний розподіл: Використовується для моделювання часу між подіями в процесі Пуассона.

4. Розподіл Стьюдента: Часто використовується в тестуванні гіпотез та моделюванні фінансових доходів.

5. Логістичний розподіл: Схожий за формою на нормальний розподіл, але з важчими хвостами.

Історія

Розподіл Лапласа був введений П'єром-Сімоном Лапласом у його пам'ятці 1774 року "Про ймовірність причин подій". Однак розподіл набув більшої популярності на початку 20-го століття з розвитком математичної статистики.

Ключові етапи в історії розподілу Лапласа:

1. 1774: П'єр-Сімон Лаплас вводить розподіл у своїй роботі з теорії ймовірностей.
2. 1930-ті: Розподіл знову відкрито та застосовано в різних сферах, включаючи економіку та інженерію.
3. 1960-ті: Розподіл Лапласа набуває важливості в робастній статистиці як альтернатива нормальному розподілу.
4. 1990-ті - сьогодні: Зростаюче використання в машинному навчанні, обробці сигналів та фінансовому моделюванні.

Приклади

Ось кілька прикладів коду для обчислення PDF розподілу Лапласа:

1' Функція Excel VBA для PDF розподілу Лапласа
2Function LaplacePDF(x As Double, mu As Double, b As Double) As Double
3    If b <= 0 Then
4        LaplacePDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        LaplacePDF = (1 / (2 * b)) * Exp(-Abs(x - mu) / b)
7    End If
8End Function
9' Використання:
10' =LaplacePDF(0, 1, 2)
11

1import math
2
3def laplace_pdf(x, mu, b):
4    if b <= 0:
5        raise ValueError("Параметр масштабу повинен бути позитивним")
6    return (1 / (2 * b)) * math.exp(-abs(x - mu) / b)
7
8## Приклад використання:
9location = 1.0
10scale = 2.0
11x = 0.0
12pdf_value = laplace_pdf(x, location, scale)
13print(f"PDF значення при x={x}: {pdf_value:.6f}")
14

1function laplacePDF(x, mu, b) {
2  if (b <= 0) {
3    throw new Error("Параметр масштабу повинен бути позитивним");
4  }
5  return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
6}
7
8// Приклад використання:
9const location = 1;
10const scale = 2;
11const x = 0;
12const pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
13console.log(`PDF значення при x=${x}: ${pdfValue.toFixed(6)}`);
14

1public class LaplacePDF {
2    public static double laplacePDF(double x, double mu, double b) {
3        if (b <= 0) {
4            throw new IllegalArgumentException("Параметр масштабу повинен бути позитивним");
5        }
6        return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
7    }
8
9    public static void main(String[] args) {
10        double location = 1.0;
11        double scale = 2.0;
12        double x = 0.0;
13        double pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
14        System.out.printf("PDF значення при x=%.1f: %.6f%n", x, pdfValue);
15    }
16}
17

Ці приклади демонструють, як обчислити PDF розподілу Лапласа для заданих параметрів. Ви можете адаптувати ці функції під свої конкретні потреби або інтегрувати їх у більші системи статистичного аналізу.

Числові приклади

1. Стандартний розподіл Лапласа:

   • Розташування (μ) = 0
   • Масштаб (b) = 1
   • PDF при x = 0: 0.500000

2. Зсунутий розподіл Лапласа:

   • Розташування (μ) = 2
   • Масштаб (b) = 1
   • PDF при x = 0: 0.183940

3. Масштабований розподіл Лапласа:

   • Розташування (μ) = 0
   • Масштаб (b) = 3
   • PDF при x = 0: 0.166667

4. Зсунутий і масштабований розподіл Лапласа:

   • Розташування (μ) = -1
   • Масштаб (b) = 0.5
   • PDF при x = 0: 0.367879

Посилання

1. Kotz, S., Kozubowski, T., & Podgorski, K. (2001). The Laplace Distribution and Generalizations. Birkhäuser, Boston, MA.
2. Keynes, J. M. (1911). The Principal Averages and the Laws of Error which Lead to Them. Journal of the Royal Statistical Society, 74(3), 322-331.
3. Peng, L., & Xu, X. (2019). The Laplace Mechanism in Differential Privacy. IEEE Access, 7, 39891-39900.
4. Norton, M. P., & Karczub, D. G. (2003). Fundamentals of Noise and Vibration Analysis for Engineers. Cambridge University Press.
5. "Laplace Distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution. Accessed 2 Aug. 2024.