Calculadora d'Índex de Miller per a la Identificació de Plans Cristal·lins
Calcula els índexs de Miller a partir dels intercepts dels plans cristal·lins amb aquesta eina fàcil d'usar. Essencial per a la cristal·lografia, la ciència dels materials i les aplicacions de la física de l'estat sòlid.
Calculadora d'Índex de Miller
Intercepts del Pla Cristal·lí
Introdueix els intercepts del pla cristal·lí amb els eixos x, y i z. Utilitza '0' per a plans paral·lels a un eix (interceptació infinita).
Introdueix un número o 0 per a la infinitat
Introdueix un número o 0 per a la infinitat
Introdueix un número o 0 per a la infinitat
Índexs de Miller
Els índexs de Miller per a aquest pla són:
Visualització
Què són els Índexs de Miller?
Els índexs de Miller són un sistema de notació utilitzat en cristal·lografia per especificar plans i direccions en xarxes cristal·lines.
Per calcular els índexs de Miller (h,k,l) a partir dels intercepts (a,b,c):
1. Pren els recíprocs dels intercepts: (1/a, 1/b, 1/c) 2. Converteix a l'escset més petit d'enters amb la mateixa proporció 3. Si un pla és paral·lel a un eix (interceptació = infinita), el seu índex de Miller corresponent és 0
- Els índexs negatius s'indiquen amb una barra sobre el número, per exemple, (h̄,k,l)
- La notació (hkl) representa un pla específic, mentre que {hkl} representa una família de plans equivalents
- Els índexs de direcció es escriuen entre claudàtors [hkl], i les famílies de direccions es denoten per <hkl>
Documentació
Calculadora d'Índex de Miller
Introducció
La Calculadora d'Índex de Miller és una eina poderosa per a cristal·lografes, científics dels materials i estudiants per determinar els índex de Miller dels plans cristal·lins. Els índex de Miller són un sistema de notació utilitzat en cristal·lografia per especificar plans i direccions en reticles cristal·lins. Aquesta calculadora et permet convertir fàcilment les intercepcions d'un pla cristal·lí amb els eixos de coordenades en els corresponents índex de Miller, proporcionant una manera estandarditzada d'identificar i comunicar-se sobre plans cristal·lins específics.
Els índex de Miller són fonamentals per entendre les estructures cristal·lines i les seves propietats. En representar els plans amb un conjunt senzill de tres enters (h,k,l), els índex de Miller permeten als científics analitzar patrons de difracció de raigs X, predir comportaments de creixement cristal·lí, calcular l'espai interplanar i estudiar diverses propietats físiques que depenen de l'orientació cristal·logràfica.
Què Són els Índex de Miller?
Els índex de Miller són un conjunt de tres enters (h,k,l) que defineixen una família de plans paral·lels en un reticle cristal·lí. Aquests índex es deriven dels recíprocs de les intercepcions que un pla fa amb els eixos cristal·logràfics. La notació proporciona una manera estandarditzada d'identificar plans específics dins d'una estructura cristal·lina.
Representació Visual dels Índex de Miller
Fórmula per Calcular els Índex de Miller
Per calcular els índex de Miller (h,k,l) d'un pla cristal·lí, segueix aquests passos matemàtics:
- Determina les intercepcions del pla amb els eixos x, y i z, donant valors a, b i c.
- Pren els recíprocs d'aquestes intercepcions: 1/a, 1/b, 1/c.
- Converteix aquests recíprocs al conjunt més petit d'enters que mantingui la mateixa proporció.
- Els tres enters resultants són els índex de Miller (h,k,l).
Matemàticament, això es pot expressar com:
On:
- (h,k,l) són els índex de Miller
- a, b, c són les intercepcions del pla amb els eixos x, y i z, respectivament
Casos Especials i Convencions
Diversos casos especials i convencions són importants per entendre:
-
Intercepcions d'Infinits: Si un pla és paral·lel a un eix, la seva intercepció es considera infinita, i l'índex de Miller corresponent esdevé zero.
-
Índexs Negatius: Si un pla intercepta un eix en el costat negatiu de l'origen, l'índex de Miller corresponent és negatiu, denotat amb una barra sobre el número en notació cristal·logràfica, per exemple, (h̄kl).
-
Intercepcions Fraccionàries: Si les intercepcions són fraccionàries, es converteixen a enters multiplicant pel mínim comú múltiple.
-
Simplificació: Els índex de Miller sempre es redueixen al conjunt més petit d'enters que manté la mateixa proporció.
Guia Pas a Pas per Utilitzar la Calculadora
La nostra Calculadora d'Índex de Miller proporciona una manera senzilla de determinar els índex de Miller per a qualsevol pla cristal·lí. Aquí tens com utilitzar-la:
-
Introdueix les Intercepcions: Introdueix els valors on el pla intercepta els eixos x, y i z.
- Utilitza números positius per a les intercepcions en el costat positiu de l'origen.
- Utilitza números negatius per a les intercepcions en el costat negatiu.
- Introdueix "0" per a plans que són paral·lels a un eix (intercepció infinita).
-
Veure els Resultats: La calculadora calcularà automàticament i mostrarà els índex de Miller (h,k,l) per al pla especificat.
-
Visualitza el Pla: La calculadora inclou una visualització 3D per ajudar-te a entendre l'orientació del pla dins del reticle cristal·lí.
-
Copia els Resultats: Utilitza el botó "Copia al Portapapers" per transferir fàcilment els índex de Miller calculats a altres aplicacions.
Exemple de Càlcul
Fem un exemple:
Suposem que un pla intercepta els eixos x, y i z en punts 2, 3 i 6 respectivament.
- Les intercepcions són (2, 3, 6).
- Prenent els recíprocs: (1/2, 1/3, 1/6).
- Per trobar el conjunt més petit d'enters amb la mateixa proporció, multiplica pel mínim comú múltiple dels denominadors (MCM de 2, 3, 6 = 6): (1/2 × 6, 1/3 × 6, 1/6 × 6) = (3, 2, 1).
- Per tant, els índex de Miller són (3,2,1).
Casos d'Ús per als Índex de Miller
Els índex de Miller tenen nombroses aplicacions en diversos camps científics i d'enginyeria:
Cristal·lografia i Difracció de Raigs X
Els índex de Miller són essencials per interpretar patrons de difracció de raigs X. L'espai entre plans cristal·lins, identificats pels seus índex de Miller, determina els angles als quals es difracten els raigs X, seguint la llei de Bragg:
On:
- és un enter
- és la longitud d'ona dels raigs X
- és l'espai entre plans amb índex de Miller (h,k,l)
- és l'angle d'incidència
Ciència dels Materials i Enginyeria
-
Anàlisi de l'Energia de Superfície: Diferents plans cristal·lins tenen diferents energies de superfície, afectant propietats com el creixement cristal·lí, la catàlisi i l'adhesió.
-
Propietats Mecàniques: L'orientació dels plans cristal·lins influeix en les propietats mecàniques com els sistemes de lliscament, els plans de fractura i el comportament de fractura.
-
Fabricació de Semiconductors: En la fabricació de semiconductors, es seleccionen plans cristal·lins específics per al creixement epitaxial i la fabricació de dispositius a causa de les seves propietats electròniques.
-
Anàlisi de Textura: Els índex de Miller ajuden a caracteritzar les orientacions preferides (textura) en materials policristal·lins, que afecten les seves propietats físiques.
Mineralogia i Geologia
Els geòlegs utilitzen els índex de Miller per descriure cares cristal·lines i plans de clivell en minerals, ajudant amb la identificació i comprensió de les condicions de formació.
Aplicacions Educatives
Els índex de Miller són conceptes fonamentals ensenyats en cursos de ciència dels materials, cristal·lografia i física de sòlids, fent d'aquesta calculadora una valuosa eina educativa.
Alternatives als Índex de Miller
Si bé els índex de Miller són la notació més utilitzada per als plans cristal·lins, existeixen diversos sistemes alternatius:
-
Índex de Miller-Bravais: Una notació de quatre índex (h,k,i,l) utilitzada per a sistemes cristal·lins hexagonals, on i = -(h+k). Aquesta notació reflecteix millor la simetria d'estructures hexagonals.
-
Símbols de Weber: Utilitzats principalment en literatura antiga, particularment per descriure direccions en cristalls cúbics.
-
Vectors de Reticle Directes: En alguns casos, els plans es descriuen utilitzant els vectors de reticle directes en lloc dels índex de Miller.
-
Posicions de Wyckoff: Per descriure les posicions atòmiques dins de les estructures cristal·lines en lloc de plans.
Malgrat aquestes alternatives, els índex de Miller es mantenen com la notació estàndard a causa de la seva simplicitat i aplicabilitat universal a través de tots els sistemes cristal·lins.
Història dels Índex de Miller
El sistema d'índex de Miller va ser desenvolupat pel mineralogista i cristal·lograf britànic William Hallowes Miller el 1839, publicat en el seu tractat "A Treatise on Crystallography". La notació de Miller es va construir sobre treballs anteriors d'Auguste Bravais i d'altres, però va proporcionar un enfocament més elegant i matemàticament coherent.
Abans del sistema de Miller, es feien servir diverses notacions per descriure cares cristal·lines, incloent els paràmetres de Weiss i els símbols de Naumann. La innovació de Miller va ser utilitzar els recíprocs de les intercepcions, cosa que va simplificar molts càlculs cristal·logràfics i va proporcionar una representació més intuïtiva dels plans paral·lels.
L'adopció dels índex de Miller es va accelerar amb el descobriment de la difracció de raigs X per Max von Laue el 1912 i el treball subsistent de William Lawrence Bragg i William Henry Bragg. La seva recerca va demostrar la utilitat pràctica dels índex de Miller en la interpretació de patrons de difracció i la determinació d'estructures cristal·lines.
Al llarg del segle XX, a mesura que la cristal·lografia esdevenia cada vegada més important en la ciència dels materials, la física de sòlids i la bioquímica, els índex de Miller es van establir fermament com la notació estàndard. Avui en dia, segueixen sent essencials en tècniques modernes de caracterització de materials, cristal·lografia computacional i disseny de nanomaterials.
Exemples de Codi per Calcular els Índex de Miller
1import math
2import numpy as np
3
4def calculate_miller_indices(intercepts):
5 """
6 Calcular índex de Miller a partir d'intercepcions
7
8 Args:
9 intercepts: Llista de tres intercepcions [a, b, c]
10
11 Returns:
12 Llista de tres índex de Miller [h, k, l]
13 """
14 # Manejar intercepcions infinites (paral·lel a l'eix)
15 reciprocals = []
16 for intercept in intercepts:
17 if intercept == 0 or math.isinf(intercept):
18 reciprocals.append(0)
19 else:
20 reciprocals.append(1 / intercept)
21
22 # Trobar valors no zero per al càlcul del MCD
23 non_zero = [r for r in reciprocals if r != 0]
24
25 if not non_zero:
26 return [0, 0, 0]
27
28 # Escalar a enters raonables (evitant problemes de punt flotant)
29 scale = 1000
30 scaled = [round(r * scale) for r in non_zero]
31
32 # Trobar MCD
33 gcd_value = np.gcd.reduce(scaled)
34
35 # Convertir de nou a enters més petits
36 miller_indices = []
37 for r in reciprocals:
38 if r == 0:
39 miller_indices.append(0)
40 else:
41 miller_indices.append(round((r * scale) / gcd_value))
42
43 return miller_indices
44
45# Exemple d'ús
46intercepts = [2, 3, 6]
47indices = calculate_miller_indices(intercepts)
48print(f"Índex de Miller per intercepcions {intercepts}: {indices}") # Sortida: [3, 2, 1]
491function gcd(a, b) {
2 a = Math.abs(a);
3 b = Math.abs(b);
4
5 while (b !== 0) {
6 const temp = b;
7 b = a % b;
8 a = temp;
9 }
10
11 return a;
12}
13
14function gcdMultiple(numbers) {
15 return numbers.reduce((result, num) => gcd(result, num), numbers[0]);
16}
17
18function calculateMillerIndices(intercepts) {
19 // Manejar intercepcions infinites
20 const reciprocals = intercepts.map(intercept => {
21 if (intercept === 0 || !isFinite(intercept)) {
22 return 0;
23 }
24 return 1 / intercept;
25 });
26
27 // Trobar valors no zero per al càlcul del MCD
28 const nonZeroReciprocals = reciprocals.filter(val => val !== 0);
29
30 if (nonZeroReciprocals.length === 0) {
31 return [0, 0, 0];
32 }
33
34 // Escalar a enters per evitar problemes de punt flotant
35 const scale = 1000;
36 const scaled = nonZeroReciprocals.map(val => Math.round(val * scale));
37
38 // Trobar MCD
39 const divisor = gcdMultiple(scaled);
40
41 // Convertir a enters més petits
42 const millerIndices = reciprocals.map(val =>
43 val === 0 ? 0 : Math.round((val * scale) / divisor)
44 );
45
46 return millerIndices;
47}
48
49// Exemple
50const intercepts = [2, 3, 6];
51const indices = calculateMillerIndices(intercepts);
52console.log(`Índex de Miller per intercepcions ${intercepts}: (${indices.join(',')})`);
53// Sortida: Índex de Miller per intercepcions 2,3,6: (3,2,1)
541import java.util.Arrays;
2
3public class MillerIndicesCalculator {
4
5 public static int gcd(int a, int b) {
6 a = Math.abs(a);
7 b = Math.abs(b);
8
9 while (b != 0) {
10 int temp = b;
11 b = a % b;
12 a = temp;
13 }
14
15 return a;
16 }
17
18 public static int gcdMultiple(int[] numbers) {
19 int result = numbers[0];
20 for (int i = 1; i < numbers.length; i++) {
21 result = gcd(result, numbers[i]);
22 }
23 return result;
24 }
25
26 public static int[] calculateMillerIndices(double[] intercepts) {
27 double[] reciprocals = new double[intercepts.length];
28
29 // Calcular recíprocs
30 for (int i = 0; i < intercepts.length; i++) {
31 if (intercepts[i] == 0 || Double.isInfinite(intercepts[i])) {
32 reciprocals[i] = 0;
33 } else {
34 reciprocals[i] = 1 / intercepts[i];
35 }
36 }
37
38 // Comptar valors no zero
39 int nonZeroCount = 0;
40 for (double r : reciprocals) {
41 if (r != 0) nonZeroCount++;
42 }
43
44 if (nonZeroCount == 0) {
45 return new int[]{0, 0, 0};
46 }
47
48 // Escalar a enters
49 int scale = 1000;
50 int[] scaled = new int[nonZeroCount];
51 int index = 0;
52
53 for (double r : reciprocals) {
54 if (r != 0) {
55 scaled[index++] = (int) Math.round(r * scale);
56 }
57 }
58
59 // Trobar MCD
60 int divisor = gcdMultiple(scaled);
61
62 // Convertir a enters més petits
63 int[] millerIndices = new int[reciprocals.length];
64 for (int i = 0; i < reciprocals.length; i++) {
65 if (reciprocals[i] == 0) {
66 millerIndices[i] = 0;
67 } else {
68 millerIndices[i] = (int) Math.round((reciprocals[i] * scale) / divisor);
69 }
70 }
71
72 return millerIndices;
73 }
74
75 public static void main(String[] args) {
76 double[] intercepts = {2, 3, 6};
77 int[] indices = calculateMillerIndices(intercepts);
78
79 System.out.println("Índex de Miller per intercepcions " +
80 Arrays.toString(intercepts) + ": " +
81 Arrays.toString(indices));
82 // Sortida: Índex de Miller per intercepcions [2.0, 3.0, 6.0]: [3, 2, 1]
83 }
84}
851' Funció VBA d'Excel per al Càlcul d'Índex de Miller
2Function CalculateMillerIndices(x As Double, y As Double, z As Double) As String
3 Dim recipX As Double, recipY As Double, recipZ As Double
4 Dim nonZeroCount As Integer, i As Integer
5 Dim scale As Long, gcdVal As Long
6 Dim scaledVals() As Long
7 Dim millerH As Long, millerK As Long, millerL As Long
8
9 ' Calcular recíprocs
10 If x = 0 Then
11 recipX = 0
12 Else
13 recipX = 1 / x
14 End If
15
16 If y = 0 Then
17 recipY = 0
18 Else
19 recipY = 1 / y
20 End If
21
22 If z = 0 Then
23 recipZ = 0
24 Else
25 recipZ = 1 / z
26 End If
27
28 ' Comptar valors no zero
29 nonZeroCount = 0
30 If recipX <> 0 Then nonZeroCount = nonZeroCount + 1
31 If recipY <> 0 Then nonZeroCount = nonZeroCount + 1
32 If recipZ <> 0 Then nonZeroCount = nonZeroCount + 1
33
34 If nonZeroCount = 0 Then
35 CalculateMillerIndices = "(0,0,0)"
36 Exit Function
37 End If
38
39 ' Escalar a enters
40 scale = 1000
41 ReDim scaledVals(1 To nonZeroCount)
42 i = 1
43
44 If recipX <> 0 Then
45 scaledVals(i) = Round(recipX * scale)
46 i = i + 1
47 End If
48
49 If recipY <> 0 Then
50 scaledVals(i) = Round(recipY * scale)
51 i = i + 1
52 End If
53
54 If recipZ <> 0 Then
55 scaledVals(i) = Round(recipZ * scale)
56 End If
57
58 ' Trobar MCD
59 gcdVal = scaledVals(1)
60 For i = 2 To nonZeroCount
61 gcdVal = GCD(gcdVal, scaledVals(i))
62 Next i
63
64 ' Calcular índex de Miller
65 If recipX = 0 Then
66 millerH = 0
67 Else
68 millerH = Round((recipX * scale) / gcdVal)
69 End If
70
71 If recipY = 0 Then
72 millerK = 0
73 Else
74 millerK = Round((recipY * scale) / gcdVal)
75 End If
76
77 If recipZ = 0 Then
78 millerL = 0
79 Else
80 millerL = Round((recipZ * scale) / gcdVal)
81 End If
82
83 CalculateMillerIndices = "(" & millerH & "," & millerK & "," & millerL & ")"
84End Function
85
86Function GCD(a As Long, b As Long) As Long
87 Dim temp As Long
88
89 a = Abs(a)
90 b = Abs(b)
91
92 Do While b <> 0
93 temp = b
94 b = a Mod b
95 a = temp
96 Loop
97
98 GCD = a
99End Function
100
101' Ús a Excel:
102' =CalculateMillerIndices(2, 3, 6)
103' Resultat: (3,2,1)
1041#include <iostream>
2#include <vector>
3#include <cmath>
4#include <numeric>
5#include <algorithm>
6
7// Calcular MCD de dos números
8int gcd(int a, int b) {
9 a = std::abs(a);
10 b = std::abs(b);
11
12 while (b != 0) {
13 int temp = b;
14 b = a % b;
15 a = temp;
16 }
17
18 return a;
19}
20
21// Calcular MCD de múltiples números
22int gcdMultiple(const std::vector<int>& numbers) {
23 int result = numbers[0];
24 for (size_t i = 1; i < numbers.size(); ++i) {
25 result = gcd(result, numbers[i]);
26 }
27 return result;
28}
29
30// Calcular índex de Miller a partir d'intercepcions
31std::vector<int> calculateMillerIndices(const std::vector<double>& intercepts) {
32 std::vector<double> reciprocals;
33
34 // Calcular recíprocs
35 for (double intercept : intercepts) {
36 if (intercept == 0 || std::isinf(intercept)) {
37 reciprocals.push_back(0);
38 } else {
39 reciprocals.push_back(1.0 / intercept);
40 }
41 }
42
43 // Trobar valors no zero
44 std::vector<double> nonZeroReciprocals;
45 for (double r : reciprocals) {
46 if (r != 0) {
47 nonZeroReciprocals.push_back(r);
48 }
49 }
50
51 if (nonZeroReciprocals.empty()) {
52 return {0, 0, 0};
53 }
54
55 // Escalar a enters
56 const int scale = 1000;
57 std::vector<int> scaled;
58 for (double r : nonZeroReciprocals) {
59 scaled.push_back(std::round(r * scale));
60 }
61
62 // Trobar MCD
63 int divisor = gcdMultiple(scaled);
64
65 // Convertir a enters més petits
66 std::vector<int> millerIndices;
67 for (double r : reciprocals) {
68 if (r == 0) {
69 millerIndices.push_back(0);
70 } else {
71 millerIndices.push_back(std::round((r * scale) / divisor));
72 }
73 }
74
75 return millerIndices;
76}
77
78int main() {
79 std::vector<double> intercepts = {2, 3, 6};
80 std::vector<int> indices = calculateMillerIndices(intercepts);
81
82 std::cout << "Índex de Miller per intercepcions [";
83 for (size_t i = 0; i < intercepts.size(); ++i) {
84 std::cout << intercepts[i];
85 if (i < intercepts.size() - 1) std::cout << ", ";
86 }
87 std::cout << "]: (";
88
89 for (size_t i = 0; i < indices.size(); ++i) {
90 std::cout << indices[i];
91 if (i < indices.size() - 1) std::cout << ",";
92 }
93 std::cout << ")" << std::endl;
94
95 // Sortida: Índex de Miller per intercepcions [2, 3, 6]: (3,2,1)
96
97 return 0;
98}
99Exemples Numèrics
Aquí hi ha alguns exemples comuns de càlculs d'índex de Miller:
-
Exemple 1: Cas Estàndard
- Intercepcions: (2, 3, 6)
- Recíprocs: (1/2, 1/3, 1/6)
- Multiplica pel MCM dels denominadors (6): (3, 2, 1)
- Índex de Miller: (3,2,1)
-
Exemple 2: Pla Paral·lel a un Eix
- Intercepcions: (1, ∞, 2)
- Recíprocs: (1, 0, 1/2)
- Multiplica per 2: (2, 0, 1)
- Índex de Miller: (2,0,1)
-
Exemple 3: Intercepcions Negatives
- Intercepcions: (-1, 2, 3)
- Recíprocs: (-1, 1/2, 1/3)
- Multiplica per 6: (-6, 3, 2)
- Índex de Miller: (-6,3,2)
-
Exemple 4: Intercepcions Fraccionàries
- Intercepcions: (1/2, 1/3, 1/4)
- Recíprocs: (2, 3, 4)
- Ja en forma d'enters
- Índex de Miller: (2,3,4)
-
Exemple 5: Pla Especial (100)
- Intercepcions: (1, ∞, ∞)
- Recíprocs: (1, 0, 0)
- Índex de Miller: (1,0,0)
Preguntes Freqüents
Quins usos tenen els índex de Miller?
Els índex de Miller s'utilitzen per identificar i descriure plans i direccions en reticles cristal·lins. Proporcionen una notació estandarditzada que ajuda a cristal·lografes, científics dels materials i enginyers a comunicar-se sobre orientacions cristal·logràfiques específiques. Els índex de Miller són essencials per analitzar patrons de difracció de raigs X, entendre el creixement cristal·lí, calcular l'espai interplanar i estudiar diverses propietats físiques que depenen de l'orientació cristal·logràfica.
Com manejo un pla que és paral·lel a un dels eixos?
Quan un pla és paral·lel a un eix, mai no intercepta aquell eix, així que la intercepció es considera que està a l'infinit. En la notació d'índex de Miller, el recíproc de l'infinit és zero, així que l'índex de Miller corresponent esdevé zero. Per exemple, un pla paral·lel a l'eix y tindria intercepcions (a, ∞, c) i índex de Miller (h,0,l).
Què volen dir els índex de Miller negatius?
Els índex de Miller negatius indiquen que el pla intercepta l'eix corresponent en el costat negatiu de l'origen. En notació cristal·logràfica, els índex negatius es denoten normalment amb una barra sobre el número, com ara (h̄kl). Els índex negatius representen plans que són equivalents als seus homòlegs positius en termes de propietats físiques però tenen orientacions diferents.
Com es relacionen els índex de Miller amb l'estructura cristal·lina?
Els índex de Miller es relacionen directament amb l'arranjament atòmic en una estructura cristal·lina. L'espai entre plans amb índex de Miller específics (dhkl) depèn del sistema cristal·lí i dels paràmetres de la retícula. En la difracció de raigs X, aquests plans actuen com a plans de reflexió segons la llei de Bragg, produint patrons de difracció característics que revelen l'estructura cristal·lina.
Quina és la diferència entre els índex de Miller i els índex de Miller-Bravais?
Els índex de Miller utilitzen tres enters (h,k,l) i són adequats per a la majoria dels sistemes cristal·lins. Els índex de Miller-Bravais utilitzen quatre enters (h,k,i,l) i estan dissenyats específicament per a sistemes cristal·lins hexagonals. L'índex quart, i, és redundant (i = -(h+k)) però ajuda a mantenir la simetria del sistema hexagonal i fa que els plans equivalents siguin més fàcilment reconeixibles.
Com puc calcular l'angle entre dos plans cristal·lins?
L'angle θ entre dos plans amb índex de Miller (h₁,k₁,l₁) i (h₂,k₂,l₂) en un sistema cristal·lí cúbic es pot calcular utilitzant:
Per a sistemes no cúbics, el càlcul és més complex i implica el tensor mètric del sistema cristal·lí.
Quina és la relació entre els índex de Miller i l'espai d'interplanar?
L'espai d'interplanar (d-spacing) per a plans amb índex de Miller (h,k,l) depèn del sistema cristal·lí. Per a un cristall cúbic amb paràmetre de reticle a, la relació és:
Per a altres sistemes cristal·lins, s'apliquen fórmules més complexes que incorporen els paràmetres de reticle específics.
Poden ser els índex de Miller fraccionaris?
No, per convenció, els índex de Miller són sempre enters. Si el càlcul inicialment dóna fraccions, es converteixen al conjunt més petit d'enters que manté la mateixa proporció. Això es fa multiplicant tots els valors pel mínim comú múltiple dels denominadors.
Com determino els índex de Miller d'una cara cristal·lí experimentalment?
Els índex de Miller de cares cristal·lines es poden determinar experimentalment mitjançant difracció de raigs X, difracció electrònica o goniometria òptica. En la difracció de raigs X, els angles als quals es produeix la difracció estan relacionats amb l'espai d'interplanar dels plans cristal·lins a través de la llei de Bragg, que es pot utilitzar per identificar els índex de Miller corresponents.
Quins són els índex de Miller de plans cristal·lins comuns?
Alguns plans cristal·lins comuns i els seus índex de Miller inclouen:
- (100), (010), (001): Cares cúbiques primàries
- (110), (101), (011): Cares diagonals en sistemes cúbics
- (111): Cara octaèdrica en sistemes cúbics
- (112): Pla de lliscament comú en metalls cúbics centrats en el cos
Referències
-
Miller, W. H. (1839). A Treatise on Crystallography. Cambridge: For J. & J.J. Deighton.
-
Ashcroft, N. W., & Mermin, N. D. (1976). Solid State Physics. Holt, Rinehart and Winston.
-
Hammond, C. (2015). The Basics of Crystallography and Diffraction (4th ed.). Oxford University Press.
-
Cullity, B. D., & Stock, S. R. (2014). Elements of X-ray Diffraction (3rd ed.). Pearson Education.
-
Kittel, C. (2004). Introduction to Solid State Physics (8th ed.). Wiley.
-
Kelly, A., & Knowles, K. M. (2012). Crystallography and Crystal Defects (2nd ed.). Wiley.
-
International Union of Crystallography. (2016). International Tables for Crystallography, Volume A: Space-group symmetry. Wiley.
-
Giacovazzo, C., Monaco, H. L., Artioli, G., Viterbo, D., Ferraris, G., Gilli, G., Zanotti, G., & Catti, M. (2011). Fundamentals of Crystallography (3rd ed.). Oxford University Press.
-
Buerger, M. J. (1978). Elementary Crystallography: An Introduction to the Fundamental Geometrical Features of Crystals. MIT Press.
-
Tilley, R. J. (2006). Crystals and Crystal Structures. Wiley.
Prova la nostra Calculadora d'Índex de Miller avui mateix per determinar ràpidament i amb precisió els índex de Miller per a qualsevol pla cristal·lí. Tant si ets un estudiant que aprèn cristal·lografia, un investigador que analitza estructures de materials o un enginyer que dissenya nous materials, aquesta eina t'ajudarà a identificar i entendre els plans cristal·lins amb facilitat.
Eines Relacionades
Descobreix més eines que podrien ser útils per al teu flux de treball