Miller Indices Beregner til Identifikation af Krystalplaner

Beregn Miller-indekser fra krystalplaners skæringspunkter med dette brugervenlige værktøj. Uundgåeligt for krystallografi, materialeforskning og faststoffysik applikationer.

Miller Indices Beregner

Krystalplan Intercepter

Indtast interceptorerne for krystalplanet med x-, y- og z-aksen. Brug '0' for planer, der er parallelle med en akse (uendelig intercept).

X-akse Intercept

Indtast et nummer eller 0 for uendelig

Y-akse Intercept

Indtast et nummer eller 0 for uendelig

Z-akse Intercept

Indtast et nummer eller 0 for uendelig

Miller Indices

Miller-indekserne for dette plan er:

(1,1,1)

Kopier til udklipsholder

Visualisering

Hvad er Miller Indices?

Miller-indekser er et notationssystem, der bruges i krystallografi til at specificere planer og retninger i krystallattice.

For at beregne Miller-indekser (h,k,l) fra interceptorer (a,b,c):

1. Tag reciprokkerne af interceptorerne: (1/a, 1/b, 1/c) 2. Konverter til den mindste sæt af heltal med samme forhold 3. Hvis et plan er parallelt med en akse (intercept = uendelig), er dens tilsvarende Miller-indeks 0

Negative indekser angives med en streg over tallet, f.eks. (h̄,k,l)
Notationen (hkl) repræsenterer et specifikt plan, mens {hkl} repræsenterer en familie af ækvivalente planer
Retningsindekser skrives i firkantede parenteser [hkl], og familier af retninger betegnes med <hkl>

📚

Dokumentation

Miller Indices Calculator

Introduktion

Miller Indeksberegneren er et kraftfuldt værktøj for krystallografer, materialeforskere og studerende til at bestemme Miller-indekserne for krystalplaner. Miller-indekser er et notationssystem, der bruges i krystallografi til at specificere planer og retninger i krystalgitre. Denne beregner giver dig mulighed for nemt at konvertere skæringerne af en krystalplan med koordinatakslerne til de tilsvarende Miller-indekser, hvilket giver en standardiseret måde at identificere og kommunikere om specifikke krystalplaner.

Miller-indekser er fundamentale for at forstå krystalstrukturer og deres egenskaber. Ved at repræsentere planer med et simpelt sæt af tre heltal (h,k,l) muliggør Miller-indekser, at forskere kan analysere røntgendiffraktionsmønstre, forudsige krystalvækstadfærd, beregne interplanarafstande og studere forskellige fysiske egenskaber, der afhænger af krystallografisk orientering.

Hvad er Miller-indekser?

Miller-indekser er et sæt af tre heltal (h,k,l), der definerer en familie af parallelle planer i et krystalgitter. Disse indekser er afledt af de reciprokke værdier af de fraktionelle skæringer, som et plan laver med de krystallografiske akser. Notationen giver en standardiseret måde at identificere specifikke planer inden for en krystalstruktur.

Visuel repræsentation af Miller-indekser

x y z

a=2 b=3 c=6

(3,2,1) Plan

Miller-indekser (3,2,1) Krystalplan

En 3D-visualisering af et krystalplan med Miller-indekser (3,2,1). Planen skærer x-, y- og z-aksen ved punkterne 2, 3 og 6 henholdsvis, hvilket resulterer i Miller-indekser (3,2,1) efter at have taget reciprokkerne og fundet det mindste sæt af heltal med samme forhold.

Formel til beregning af Miller-indekser

For at beregne Miller-indekserne (h,k,l) for en krystalplan, følg disse matematiske trin:

Bestem skæringerne af planet med x-, y- og z-krystallografiske akser, hvilket giver værdierne a, b og c.
Tag de reciprokke værdier af disse skæringer: 1/a, 1/b, 1/c.
Konverter disse reciprokker til det mindste sæt af heltal, der opretholder det samme forhold.
De resulterende tre heltal er Miller-indekserne (h,k,l).

Matematisk kan dette udtrykkes som:

$h : k : l = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$

Hvor:

(h,k,l) er Miller-indekserne
a, b, c er skæringerne af planet med x-, y- og z-aksen, henholdsvis

Særlige tilfælde og konventioner

Flere særlige tilfælde og konventioner er vigtige at forstå:

Uendelige skæringer: Hvis et plan er parallelt med en akse, betragtes dets skæring som uendelig, og det tilsvarende Miller-indeks bliver nul.
Negative indekser: Hvis et plan skærer en akse på den negative side af oprindelsen, bliver det tilsvarende Miller-indeks negativt, angivet med en streg over tallet i krystallografisk notation, f.eks. (h̄kl).
Brøk-skæringer: Hvis skæringerne er brøk, konverteres de til heltal ved at multiplicere med den mindste fælles multipel.
Forenkling: Miller-indekser reduceres altid til det mindste sæt af heltal, der opretholder det samme forhold.

Trin-for-trin guide til brug af beregneren

Vores Miller Indeksberegner giver en ligetil måde at bestemme Miller-indekserne for enhver krystalplan. Her er hvordan du bruger den:

Indtast skæringerne: Indtast værdierne, hvor planet skærer x-, y- og z-akslerne.
- Brug positive tal for skæringer på den positive side af oprindelsen.
- Brug negative tal for skæringer på den negative side.
- Indtast "0" for planer, der er parallelle med en akse (uendelig skæring).
Se resultaterne: Beregneren vil automatisk beregne og vise Miller-indekserne (h,k,l) for det specificerede plan.
Visualiser planet: Beregneren inkluderer en 3D-visualisering for at hjælpe dig med at forstå orienteringen af planet inden for krystalgitteret.
Kopier resultaterne: Brug knappen "Kopier til udklipsholder" for nemt at overføre de beregnede Miller-indekser til andre applikationer.

Eksempelberegning

Lad os gennemgå et eksempel:

Antag, at et plan skærer x-, y- og z-aksen ved punkterne 2, 3 og 6 henholdsvis.

Skæringerne er (2, 3, 6).
Tag de reciprokke værdier: (1/2, 1/3, 1/6).
For at finde det mindste sæt af heltal med samme forhold, multiplicer med den mindste fælles multipel af nævnerne (LCM af 2, 3, 6 = 6): (1/2 × 6, 1/3 × 6, 1/6 × 6) = (3, 2, 1).
Derfor er Miller-indekserne (3,2,1).

Anvendelsesområder for Miller-indekser

Miller-indekser har mange anvendelser på tværs af forskellige videnskabelige og ingeniørmæssige områder:

Krystallografi og røntgendiffraktion

Miller-indekser er essentielle for at fortolke røntgendiffraktionsmønstre. Afstanden mellem krystalplaner, identificeret ved deres Miller-indekser, bestemmer de vinkler, hvormed røntgenstråler diffrakteres, i henhold til Braggs lov:

$n\lambda = 2d_{hkl}\sin\theta$

Hvor:

$n$ er et heltal
$\lambda$ er bølgelængden af røntgenstrålerne
$d_{hkl}$ er afstanden mellem planerne med Miller-indekserne (h,k,l)
$\theta$ er indfaldsvinklen

Materialevidenskab og ingeniørarbejde

Overfladeenergi-analyse: Forskellige krystallografiske planer har forskellige overfladeenergier, hvilket påvirker egenskaber som krystalvækst, katalyse og vedhæftning.
Mekaniske egenskaber: Orienteringen af krystalplaner påvirker mekaniske egenskaber som glideplaner, kløftplaner og brudadfærd.
Halvlederfremstilling: I fremstillingen af halvledere vælges specifikke krystalplaner til epitaksial vækst og enhedsproduktion på grund af deres elektroniske egenskaber.
Teksturanalyse: Miller-indekser hjælper med at karakterisere foretrukne orienteringer (tekstur) i polykrystallinske materialer, hvilket påvirker deres fysiske egenskaber.

Mineralogi og geologi

Geologer bruger Miller-indekser til at beskrive krystaloverflader og kløftplaner i mineraler, hvilket hjælper med identifikation og forståelse af dannelsesbetingelser.

Uddannelsesmæssige anvendelser

Miller-indekser er grundlæggende begreber, der undervises i materialeforskning, krystallografi og faststoffysik-kurser, hvilket gør denne beregner til et værdifuldt uddannelsesværktøj.

Alternativer til Miller-indekser

Selvom Miller-indekser er den mest udbredte notation for krystalplaner, findes der flere alternative systemer:

Miller-Bravais-indekser: En fire-indeks notation (h,k,i,l) brugt til hexagonale krystalstrukturer, hvor i = -(h+k). Denne notation afspejler bedre symmetrien i hexagonale strukturer.
Weber-symboler: Primært brugt i ældre litteratur, især til at beskrive retninger i kubiske krystaller.
Direkte gittervektorer: I nogle tilfælde beskrives planer ved hjælp af de direkte gittervektorer snarere end Miller-indekser.
Wyckoff-positioner: Til at beskrive atompositioner inden for krystalstrukturer snarere end planer.

På trods af disse alternativer forbliver Miller-indekser standardnotationen på grund af deres enkelhed og universelle anvendelighed på tværs af alle krystalstrukturer.

Historien om Miller-indekser

Miller-indekser-systemet blev udviklet af den britiske mineralog og krystallograf William Hallowes Miller i 1839, offentliggjort i hans afhandling "A Treatise on Crystallography." Millers notation byggede videre på tidligere arbejde af Auguste Bravais og andre, men gav en mere elegant og matematisk konsistent tilgang.

Før Millers system blev der brugt forskellige notationssystemer til at beskrive krystaloverflader, herunder Weiss-parametre og Naumann-symboler. Millers innovation var at bruge de reciprokke skæringer, hvilket forenklede mange krystallografiske beregninger og gav en mere intuitiv repræsentation af parallelle planer.

Adoptionen af Miller-indekser accelererede med opdagelsen af røntgendiffraktion af Max von Laue i 1912 og det efterfølgende arbejde af William Lawrence Bragg og William Henry Bragg. Deres forskning demonstrerede den praktiske nytte af Miller-indekser i fortolkningen af diffraktionsmønstre og bestemmelsen af krystalstrukturer.

Gennem det 20. århundrede, da krystallografi blev stadig vigtigere inden for materialeforskning, faststoffysik og biokemi, blev Miller-indekser fast etableret som standardnotationen. I dag forbliver de essentielle i moderne materialekarakteriseringsteknikker, computertomografisk krystallografi og nanomaterialedesign.

Kodeeksempler til beregning af Miller-indekser

1import math
2import numpy as np
3
4def calculate_miller_indices(intercepts):
5    """
6    Beregn Miller-indekser fra skæringer
7    
8    Args:
9        intercepts: Liste over tre skæringer [a, b, c]
10        
11    Returns:
12        Liste over tre Miller-indekser [h, k, l]
13    """
14    # Håndter uendelige skæringer (parallelt med akse)
15    reciprocals = []
16    for intercept in intercepts:
17        if intercept == 0 or math.isinf(intercept):
18            reciprocals.append(0)
19        else:
20            reciprocals.append(1 / intercept)
21    
22    # Find ikke-nul værdier til GCD-beregning
23    non_zero = [r for r in reciprocals if r != 0]
24    
25    if not non_zero:
26        return [0, 0, 0]
27    
28    # Skaler til rimelige heltal (undgå flydende punktproblemer)
29    scale = 1000
30    scaled = [round(r * scale) for r in non_zero]
31    
32    # Find GCD
33    gcd_value = np.gcd.reduce(scaled)
34    
35    # Konverter tilbage til mindste heltal
36    miller_indices = []
37    for r in reciprocals:
38        if r == 0:
39            miller_indices.append(0)
40        else:
41            miller_indices.append(round((r * scale) / gcd_value))
42    
43    return miller_indices
44
45# Eksempel på brug
46intercepts = [2, 3, 6]
47indices = calculate_miller_indices(intercepts)
48print(f"Miller-indekser for skæringer {intercepts}: {indices}")  # Output: [3, 2, 1]
49

1function gcd(a, b) {
2  a = Math.abs(a);
3  b = Math.abs(b);
4  
5  while (b !== 0) {
6    const temp = b;
7    b = a % b;
8    a = temp;
9  }
10  
11  return a;
12}
13
14function gcdMultiple(numbers) {
15  return numbers.reduce((result, num) => gcd(result, num), numbers[0]);
16}
17
18function calculateMillerIndices(intercepts) {
19  // Håndter uendelige skæringer
20  const reciprocals = intercepts.map(intercept => {
21    if (intercept === 0 || !isFinite(intercept)) {
22      return 0;
23    }
24    return 1 / intercept;
25  });
26  
27  // Find ikke-nul værdier til GCD-beregning
28  const nonZeroReciprocals = reciprocals.filter(val => val !== 0);
29  
30  if (nonZeroReciprocals.length === 0) {
31    return [0, 0, 0];
32  }
33  
34  // Skaler til heltal for at undgå flydende punktproblemer
35  const scale = 1000;
36  const scaled = nonZeroReciprocals.map(val => Math.round(val * scale));
37  
38  // Find GCD
39  const divisor = gcdMultiple(scaled);
40  
41  // Konverter til mindste heltal
42  const millerIndices = reciprocals.map(val => 
43    val === 0 ? 0 : Math.round((val * scale) / divisor)
44  );
45  
46  return millerIndices;
47}
48
49// Eksempel
50const intercepts = [2, 3, 6];
51const indices = calculateMillerIndices(intercepts);
52console.log(`Miller-indekser for skæringer ${intercepts}: (${indices.join(',')})`);
53// Output: Miller-indekser for skæringer 2,3,6: (3,2,1)
54

1import java.util.Arrays;
2
3public class MillerIndicesCalculator {
4    
5    public static int gcd(int a, int b) {
6        a = Math.abs(a);
7        b = Math.abs(b);
8        
9        while (b != 0) {
10            int temp = b;
11            b = a % b;
12            a = temp;
13        }
14        
15        return a;
16    }
17    
18    public static int gcdMultiple(int[] numbers) {
19        int result = numbers[0];
20        for (int i = 1; i < numbers.length; i++) {
21            result = gcd(result, numbers[i]);
22        }
23        return result;
24    }
25    
26    public static int[] calculateMillerIndices(double[] intercepts) {
27        double[] reciprocals = new double[intercepts.length];
28        
29        // Beregn reciprokker
30        for (int i = 0; i < intercepts.length; i++) {
31            if (intercepts[i] == 0 || Double.isInfinite(intercepts[i])) {
32                reciprocals[i] = 0;
33            } else {
34                reciprocals[i] = 1 / intercepts[i];
35            }
36        }
37        
38        // Tæl ikke-nul værdier
39        int nonZeroCount = 0;
40        for (double r : reciprocals) {
41            if (r != 0) nonZeroCount++;
42        }
43        
44        if (nonZeroCount == 0) {
45            return new int[]{0, 0, 0};
46        }
47        
48        // Skaler til heltal
49        int scale = 1000;
50        int[] scaled = new int[nonZeroCount];
51        int index = 0;
52        
53        for (double r : reciprocals) {
54            if (r != 0) {
55                scaled[index++] = (int) Math.round(r * scale);
56            }
57        }
58        
59        // Find GCD
60        int divisor = gcdMultiple(scaled);
61        
62        // Konverter til mindste heltal
63        int[] millerIndices = new int[reciprocals.length];
64        for (int i = 0; i < reciprocals.length; i++) {
65            if (reciprocals[i] == 0) {
66                millerIndices[i] = 0;
67            } else {
68                millerIndices[i] = (int) Math.round((reciprocals[i] * scale) / divisor);
69            }
70        }
71        
72        return millerIndices;
73    }
74    
75    public static void main(String[] args) {
76        double[] intercepts = {2, 3, 6};
77        int[] indices = calculateMillerIndices(intercepts);
78        
79        System.out.println("Miller-indekser for skæringer " + 
80                           Arrays.toString(intercepts) + ": " + 
81                           Arrays.toString(indices));
82        // Output: Miller-indekser for skæringer [2.0, 3.0, 6.0]: [3, 2, 1]
83    }
84}
85

1' Excel VBA-funktion til beregning af Miller-indekser
2Function CalculateMillerIndices(x As Double, y As Double, z As Double) As String
3    Dim recipX As Double, recipY As Double, recipZ As Double
4    Dim nonZeroCount As Integer, i As Integer
5    Dim scale As Long, gcdVal As Long
6    Dim scaledVals() As Long
7    Dim millerH As Long, millerK As Long, millerL As Long
8    
9    ' Beregn reciprokker
10    If x = 0 Then
11        recipX = 0
12    Else
13        recipX = 1 / x
14    End If
15    
16    If y = 0 Then
17        recipY = 0
18    Else
19        recipY = 1 / y
20    End If
21    
22    If z = 0 Then
23        recipZ = 0
24    Else
25        recipZ = 1 / z
26    End If
27    
28    ' Tæl ikke-nul værdier
29    nonZeroCount = 0
30    If recipX <> 0 Then nonZeroCount = nonZeroCount + 1
31    If recipY <> 0 Then nonZeroCount = nonZeroCount + 1
32    If recipZ <> 0 Then nonZeroCount = nonZeroCount + 1
33    
34    If nonZeroCount = 0 Then
35        CalculateMillerIndices = "(0,0,0)"
36        Exit Function
37    End If
38    
39    ' Skaler til heltal
40    scale = 1000
41    ReDim scaledVals(1 To nonZeroCount)
42    i = 1
43    
44    If recipX <> 0 Then
45        scaledVals(i) = Round(recipX * scale)
46        i = i + 1
47    End If
48    
49    If recipY <> 0 Then
50        scaledVals(i) = Round(recipY * scale)
51        i = i + 1
52    End If
53    
54    If recipZ <> 0 Then
55        scaledVals(i) = Round(recipZ * scale)
56    End If
57    
58    ' Find GCD
59    gcdVal = scaledVals(1)
60    For i = 2 To nonZeroCount
61        gcdVal = GCD(gcdVal, scaledVals(i))
62    Next i
63    
64    ' Beregn Miller-indekser
65    If recipX = 0 Then
66        millerH = 0
67    Else
68        millerH = Round((recipX * scale) / gcdVal)
69    End If
70    
71    If recipY = 0 Then
72        millerK = 0
73    Else
74        millerK = Round((recipY * scale) / gcdVal)
75    End If
76    
77    If recipZ = 0 Then
78        millerL = 0
79    Else
80        millerL = Round((recipZ * scale) / gcdVal)
81    End If
82    
83    CalculateMillerIndices = "(" & millerH & "," & millerK & "," & millerL & ")"
84End Function
85
86Function GCD(a As Long, b As Long) As Long
87    Dim temp As Long
88    
89    a = Abs(a)
90    b = Abs(b)
91    
92    Do While b <> 0
93        temp = b
94        b = a Mod b
95        a = temp
96    Loop
97    
98    GCD = a
99End Function
100
101' Brug i Excel:
102' =CalculateMillerIndices(2, 3, 6)
103' Resultat: (3,2,1)
104

1#include <iostream>
2#include <vector>
3#include <cmath>
4#include <numeric>
5#include <algorithm>
6
7// Beregn GCD af to tal
8int gcd(int a, int b) {
9    a = std::abs(a);
10    b = std::abs(b);
11    
12    while (b != 0) {
13        int temp = b;
14        b = a % b;
15        a = temp;
16    }
17    
18    return a;
19}
20
21// Beregn GCD af flere tal
22int gcdMultiple(const std::vector<int>& numbers) {
23    int result = numbers[0];
24    for (size_t i = 1; i < numbers.size(); ++i) {
25        result = gcd(result, numbers[i]);
26    }
27    return result;
28}
29
30// Beregn Miller-indekser fra skæringer
31std::vector<int> calculateMillerIndices(const std::vector<double>& intercepts) {
32    std::vector<double> reciprocals;
33    
34    // Beregn reciprokker
35    for (double intercept : intercepts) {
36        if (intercept == 0 || std::isinf(intercept)) {
37            reciprocals.push_back(0);
38        } else {
39            reciprocals.push_back(1.0 / intercept);
40        }
41    }
42    
43    // Find ikke-nul værdier
44    std::vector<double> nonZeroReciprocals;
45    for (double r : reciprocals) {
46        if (r != 0) {
47            nonZeroReciprocals.push_back(r);
48        }
49    }
50    
51    if (nonZeroReciprocals.empty()) {
52        return {0, 0, 0};
53    }
54    
55    // Skaler til heltal
56    const int scale = 1000;
57    std::vector<int> scaled;
58    for (double r : nonZeroReciprocals) {
59        scaled.push_back(std::round(r * scale));
60    }
61    
62    // Find GCD
63    int divisor = gcdMultiple(scaled);
64    
65    // Konverter til mindste heltal
66    std::vector<int> millerIndices;
67    for (double r : reciprocals) {
68        if (r == 0) {
69            millerIndices.push_back(0);
70        } else {
71            millerIndices.push_back(std::round((r * scale) / divisor));
72        }
73    }
74    
75    return millerIndices;
76}
77
78int main() {
79    std::vector<double> intercepts = {2, 3, 6};
80    std::vector<int> indices = calculateMillerIndices(intercepts);
81    
82    std::cout << "Miller-indekser for skæringer [";
83    for (size_t i = 0; i < intercepts.size(); ++i) {
84        std::cout << intercepts[i];
85        if (i < intercepts.size() - 1) std::cout << ", ";
86    }
87    std::cout << "]: (";
88    
89    for (size_t i = 0; i < indices.size(); ++i) {
90        std::cout << indices[i];
91        if (i < indices.size() - 1) std::cout << ",";
92    }
93    std::cout << ")" << std::endl;
94    
95    // Output: Miller-indekser for skæringer [2, 3, 6]: (3,2,1)
96    
97    return 0;
98}
99

Numeriske eksempler

Her er nogle almindelige eksempler på beregning af Miller-indekser:

Eksempel 1: Standard tilfælde
- Skæringer: (2, 3, 6)
- Reciprokker: (1/2, 1/3, 1/6)
- Multiplicer med LCM af nævnerne (6): (3, 2, 1)
- Miller-indekser: (3,2,1)
Eksempel 2: Plan parallelt med en akse
- Skæringer: (1, ∞, 2)
- Reciprokker: (1, 0, 1/2)
- Multiplicer med 2: (2, 0, 1)
- Miller-indekser: (2,0,1)
Eksempel 3: Negative skæringer
- Skæringer: (-1, 2, 3)
- Reciprokker: (-1, 1/2, 1/3)
- Multiplicer med 6: (-6, 3, 2)
- Miller-indekser: (-6,3,2)
Eksempel 4: Brøk-skæringer
- Skæringer: (1/2, 1/3, 1/4)
- Reciprokker: (2, 3, 4)
- Allerede i heltal
- Miller-indekser: (2,3,4)
Eksempel 5: Særligt plan (100)
- Skæringer: (1, ∞, ∞)
- Reciprokker: (1, 0, 0)
- Miller-indekser: (1,0,0)

Ofte stillede spørgsmål

Hvad bruges Miller-indekser til?

Miller-indekser bruges til at identificere og beskrive planer og retninger i krystalgitre. De giver en standardiseret notation, der hjælper krystallografer, materialeforskere og ingeniører med at kommunikere om specifikke krystalorienteringer. Miller-indekser er essentielle for at analysere røntgendiffraktionsmønstre, forstå krystalvækst, beregne interplanarafstande og studere forskellige fysiske egenskaber, der afhænger af krystallografisk orientering.

Hvordan håndterer jeg et plan, der er parallelt med en af akserne?

Når et plan er parallelt med en akse, krydser det aldrig den akse, så skæringen betragtes som uendelig. I Miller-indeksnotation er den reciprokke værdi af uendelig nul, så det tilsvarende Miller-indeks bliver nul. For eksempel vil et plan, der er parallelt med y-aksen, have skæringer (a, ∞, c) og Miller-indekser (h,0,l).

Hvad betyder negative Miller-indekser?

Negative Miller-indekser angiver, at planet skærer den tilsvarende akse på den negative side af oprindelsen. I krystallografisk notation angives negative indekser typisk med en streg over tallet, såsom (h̄kl). Negative indekser repræsenterer planer, der er ækvivalente med deres positive modparter med hensyn til fysiske egenskaber, men har forskellige orienteringer.

Hvordan relaterer Miller-indekser sig til krystalstruktur?

Miller-indekser relaterer direkte til den atomare arrangement i en krystalstruktur. Afstanden mellem planerne med specifikke Miller-indekser (dhkl) afhænger af krystalstrukturen. I røntgendiffraktion fungerer disse planer som refleksionsplaner i henhold til Braggs lov, hvilket producerer karakteristiske diffraktionsmønstre, der afslører krystalstrukturen.

Hvad er forskellen mellem Miller-indekser og Miller-Bravais-indekser?

Miller-indekser bruger tre heltal (h,k,l) og er velegnede til de fleste krystalstrukturer. Miller-Bravais-indekser bruger fire heltal (h,k,i,l) og er specifikt designet til hexagonale krystalstrukturer. Den fjerde indeks, i, er overflødig (i = -(h+k)) men hjælper med at opretholde symmetrien i det hexagonale system og gør ækvivalente planer lettere genkendelige.

Hvordan beregner jeg vinklen mellem to krystalplaner?

Vinklen θ mellem to planer med Miller-indekser (h₁,k₁,l₁) og (h₂,k₂,l₂) i et kubisk krystalsystem kan beregnes ved hjælp af:

$\cos\theta = \frac{h_1h_2 + k_1k_2 + l_1l_2}{\sqrt{(h_1^2 + k_1^2 + l_1^2)(h_2^2 + k_2^2 + l_2^2)}}$

For ikke-kubiske systemer er beregningen mere kompleks og involverer den metriske tensor for krystalsystemet.

Kan Miller-indekser være brøker?

Nej, efter konvention er Miller-indekser altid heltal. Hvis beregningen oprindeligt giver brøker, konverteres de til det mindste sæt af heltal, der opretholder det samme forhold. Dette gøres ved at multiplicere alle værdier med den mindste fælles multipel af nævnerne.

Hvordan bestemmer jeg Miller-indekserne for en krystaloverflade eksperimentelt?

Miller-indekserne for krystaloverflader kan bestemmes eksperimentelt ved hjælp af røntgendiffraktion, elektrondiffraktion eller optisk goniometri. I røntgendiffraktion er de vinkler, hvormed diffraktion finder sted, relateret til d-afstanden af krystalplaner gennem Braggs lov, som kan bruges til at identificere de tilsvarende Miller-indekser.

Hvad er Miller-indekserne for almindelige krystalplaner?

Nogle almindelige krystalplaner og deres Miller-indekser inkluderer:

(100), (010), (001): Primære kubiske overflader
(110), (101), (011): Diagonale overflader i kubiske systemer
(111): Oktahedral overflade i kubiske systemer
(112): Almindeligt glideplan i krop-centered kubiske metaller

Referencer

Miller, W. H. (1839). A Treatise on Crystallography. Cambridge: For J. & J.J. Deighton.
Ashcroft, N. W., & Mermin, N. D. (1976). Solid State Physics. Holt, Rinehart and Winston.
Hammond, C. (2015). The Basics of Crystallography and Diffraction (4. udg.). Oxford University Press.
Cullity, B. D., & Stock, S. R. (2014). Elements of X-ray Diffraction (3. udg.). Pearson Education.
Kittel, C. (2004). Introduction to Solid State Physics (8. udg.). Wiley.
Kelly, A., & Knowles, K. M. (2012). Crystallography and Crystal Defects (2. udg.). Wiley.
International Union of Crystallography. (2016). International Tables for Crystallography, Volume A: Space-group symmetry. Wiley.
Giacovazzo, C., Monaco, H. L., Artioli, G., Viterbo, D., Ferraris, G., Gilli, G., Zanotti, G., & Catti, M. (2011). Fundamentals of Crystallography (3. udg.). Oxford University Press.
Buerger, M. J. (1978). Elementary Crystallography: An Introduction to the Fundamental Geometrical Features of Crystals. MIT Press.
Tilley, R. J. (2006). Crystals and Crystal Structures. Wiley.

Prøv vores Miller Indeksberegner i dag for hurtigt og præcist at bestemme Miller-indekserne for enhver krystalplan. Uanset om du er studerende, der lærer krystallografi, forsker, der analyserer materialestrukturer, eller ingeniør, der designer nye materialer, vil dette værktøj hjælpe dig med at identificere og forstå krystalplaner med lethed.

🔗

Relaterede Værktøjer

Opdag flere værktøjer, der måske kan være nyttige for din arbejdsgang.

Miller Indices Beregner til Identifikation af Krystalplaner

Miller Indices Beregner

Krystalplan Intercepter

Miller Indices

Visualisering

Hvad er Miller Indices?

Dokumentation

Miller Indices Calculator

Introduktion

Hvad er Miller-indekser?

Visuel repræsentation af Miller-indekser

Formel til beregning af Miller-indekser

Særlige tilfælde og konventioner

Trin-for-trin guide til brug af beregneren

Eksempelberegning

Anvendelsesområder for Miller-indekser

Krystallografi og røntgendiffraktion

Materialevidenskab og ingeniørarbejde

Mineralogi og geologi

Uddannelsesmæssige anvendelser

Alternativer til Miller-indekser

Historien om Miller-indekser

Kodeeksempler til beregning af Miller-indekser

Numeriske eksempler

Ofte stillede spørgsmål

Hvad bruges Miller-indekser til?

Hvordan håndterer jeg et plan, der er parallelt med en af akserne?

Hvad betyder negative Miller-indekser?

Hvordan relaterer Miller-indekser sig til krystalstruktur?

Hvad er forskellen mellem Miller-indekser og Miller-Bravais-indekser?

Hvordan beregner jeg vinklen mellem to krystalplaner?

Kan Miller-indekser være brøker?

Hvordan bestemmer jeg Miller-indekserne for en krystaloverflade eksperimentelt?

Hvad er Miller-indekserne for almindelige krystalplaner?

Referencer

Relaterede Værktøjer

Six Sigma Beregner: Mål Din Proceskvalitet

Molekylvægtberegner - Gratis kemisk formelværktøj

Binomialfordelingsberegner til sandsynlighed og statistik

Gammafordelingsberegner til statistisk analyse og visualisering

Betonpelercalculator: Volumen & Nødvendige Sække

Tidsintervalberegner: Find tid mellem to datoer