Millerin indeksit laskin kiteen tasojen tunnistamiseen

Laske Millerin indeksit kiteen tasojen leikkauspisteistä tällä helppokäyttöisellä työkalulla. Olennainen kristallografiassa, materiaalitieteessä ja kiinteän aineen fysiikan sovelluksissa.

Miller-indeksien laskin

Kiteen tason leikkaukset

Syötä kiteen tason leikkaukset x-, y- ja z-akselien kanssa. Käytä '0' tasoille, jotka ovat rinnakkaisia akselin kanssa (äärettömän leikkaus).

X-akselin leikkaus

Syötä numero tai 0 äärettömyydelle

Y-akselin leikkaus

Syötä numero tai 0 äärettömyydelle

Z-akselin leikkaus

Syötä numero tai 0 äärettömyydelle

Miller-indeksit

Tämän tason Miller-indeksit ovat:

(1,1,1)

Kopioi leikepöydälle

Visualisointi

Mitä ovat Miller-indeksit?

Miller-indeksit ovat merkintäjärjestelmä, jota käytetään kiderakenteessa tasojen ja suuntien määrittämiseen.

Laske Miller-indeksit (h,k,l) leikkauksista (a,b,c):

1. Ota leikkausten käänteiset arvot: (1/a, 1/b, 1/c) 2. Muunna pienimpään kokonaislukujoukkoon, jolla on sama suhde 3. Jos taso on rinnakkainen akselin kanssa (leikkaus = äärettömyys), sen vastaava Miller-indeksi on 0

Negatiiviset indeksit merkitään viivalla numeron ylle, esim. (h̄,k,l)
Merkintä (hkl) edustaa tiettyä tasoa, kun taas {hkl} edustaa ekvivalenttien tasojen perhettä
Suuntanumerot kirjoitetaan neliömerkkeihin [hkl], ja suuntaperheet merkitään <hkl>

📚

Dokumentaatio

Miller Indices Calculator

Introduction

Miller Indices Calculator on tehokas työkalu kristallografiassa, materiaalitieteessä ja opiskelijoille, jonka avulla voidaan määrittää Miller-indeksit kristallitasoista. Miller-indeksit ovat merkintäjärjestelmä, jota käytetään kristallografiassa tason ja suuntien määrittämiseen kristalliverkoissa. Tämä laskin mahdollistaa helposti kristallitason leikkauspisteiden muuntamisen koordinaattiakseleihin vastaaviksi Miller-indekseiksi, tarjoten standardoidun tavan tunnistaa ja kommunikoida erityisistä kristallitasoista.

Miller-indeksit ovat perustavanlaatuisia ymmärtämään kristallirakenteita ja niiden ominaisuuksia. Esittämällä tasot yksinkertaisella kolmen kokonaisluvun (h,k,l) joukolle, Miller-indeksit mahdollistavat tutkijoiden analysoida X-ray-diffraktiokuvioita, ennustaa kristallikasvukäyttäytymistä, laskea tasoväliä ja tutkia erilaisia fysikaalisia ominaisuuksia, jotka riippuvat kristallografisesta suuntauksesta.

What Are Miller Indices?

Miller-indeksit ovat kolmonen kokonaisluku (h,k,l), jotka määrittävät perhettä rinnakkaisia tasoja kristalliverkossa. Nämä indeksit johdetaan leikkauspisteiden käänteisistä arvoista, joita taso tekee kristallografiakoordinaattiakseleiden kanssa. Merkintä tarjoaa standardoidun tavan tunnistaa erityiset tasot kristallirakenteessa.

Visual Representation of Miller Indices

x y z

a=2 b=3 c=6

(3,2,1) Plane

Miller Indices (3,2,1) Crystal Plane

3D-visualisointi kristallitasosta, jonka Miller-indeksit ovat (3,2,1). Taso leikkaa x-, y- ja z-akseleita pisteissä 2, 3 ja 6 vastaavasti, mikä johtaa Miller-indekseihin (3,2,1) ottaen käänteiset arvot ja löytämällä pienimmät kokonaisluvut, joilla on sama suhde.

Formula for Calculating Miller Indices

Määrittääksesi Miller-indeksit (h,k,l) kristallitasolle, seuraa näitä matemaattisia vaiheita:

Määritä tason leikkauspisteet x-, y- ja z-kristallografiakoordinaattiakseleilla, antaen arvot a, b ja c.
Ota näiden leikkauspisteiden käänteisarvot: 1/a, 1/b, 1/c.
Muunna nämä käänteisarvot pienimmiksi kokonaisluvuiksi, jotka säilyttävät saman suhteen.
Tuloksena olevat kolme kokonaislukua ovat Miller-indeksit (h,k,l).

Matemaattisesti tämä voidaan ilmaista seuraavasti:

$h : k : l = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$

Missä:

(h,k,l) ovat Miller-indeksit
a, b, c ovat tason leikkauspisteet x-, y- ja z-akseleilla

Special Cases and Conventions

Useita erityistapauksia ja käytäntöjä on tärkeää ymmärtää:

Ikuiset leikkauspisteet: Jos taso on rinnakkainen akselille, sen leikkauspiste katsotaan olevan äärettömyys, ja vastaava Miller-indeksi tulee nollaksi.
Negatiiviset indeksit: Jos taso leikkaa akselin negatiivisella puolella alkuperästä, vastaava Miller-indeksi on negatiivinen, merkitty viivalla numeron ylle kristallografiassa, esim. (h̄kl).
Murtolukuleikkauspisteet: Jos leikkauspisteet ovat murtolukuja, ne muunnetaan kokonaisluvuiksi kertomalla pienimmällä yhteisellä monikerralla.
Yksinkertaistaminen: Miller-indeksejä yksinkertaistetaan aina pienimmiksi kokonaisluvuiksi, jotka säilyttävät saman suhteen.

Step-by-Step Guide to Using the Calculator

Miller Indices Calculatorimme tarjoaa yksinkertaisen tavan määrittää Miller-indeksit kaikille kristallitasoille. Tässä on ohjeet sen käyttöön:

Syötä leikkauspisteet: Anna arvot, joilla taso leikkaa x-, y- ja z-akseleita.
- Käytä positiivisia lukuja leikkauspisteille, jotka ovat alkuperän positiivisella puolella.
- Käytä negatiivisia lukuja leikkauspisteille, jotka ovat negatiivisella puolella.
- Syötä "0" tasoille, jotka ovat rinnakkain akselin kanssa (äärettömyysleikkauspiste).
Katso tulokset: Laskin laskee automaattisesti ja näyttää Miller-indeksit (h,k,l) määritellylle tasolle.
Visualisoi taso: Laskin sisältää 3D-visualisoinnin, joka auttaa ymmärtämään tason suuntausta kristalliverkossa.
Kopioi tulokset: Käytä "Kopioi leikepöydälle" -painiketta siirtääksesi lasketut Miller-indeksit helposti muihin sovelluksiin.

Example Calculation

Käydään läpi esimerkki:

Oletetaan, että taso leikkaa x-, y- ja z-akseleita pisteissä 2, 3 ja 6.

Leikkauspisteet ovat (2, 3, 6).
Ota käänteisarvot: (1/2, 1/3, 1/6).
Löydä pienimmät kokonaisluvut, joilla on sama suhde, kertomalla pienimmällä yhteisellä monikerralla (LCM 2, 3, 6 = 6): (1/2 × 6, 1/3 × 6, 1/6 × 6) = (3, 2, 1).
Siksi Miller-indeksit ovat (3,2,1).

Use Cases for Miller Indices

Miller-indekseillä on lukuisia sovelluksia eri tieteellisillä ja insinööritieteellisillä aloilla:

Crystallography and X-ray Diffraction

Miller-indeksit ovat välttämättömiä X-ray-diffraktiokuvioiden tulkinnassa. Kristallitasojen, joita kuvataan niiden Miller-indekseillä, väli määrittää kulmat, joilla X-rayt diffraktoituvat, Braggin lain mukaan:

$n\lambda = 2d_{hkl}\sin\theta$

Missä:

$n$ on kokonaisluku
$\lambda$ on X-rayn aallonpituus
$d_{hkl}$ on väli tasojen, joilla on Miller-indeksit (h,k,l)
$\theta$ on tulemis- ja heijastuskulma

Materials Science and Engineering

Pintaenergian analyysi: Eri kristallografiset tasot omaavat erilaisia pintaenergioita, mikä vaikuttaa ominaisuuksiin, kuten kristallikasvuun, katalyysiin ja tartuntaan.
Mekaaniset ominaisuudet: Kristallitasojen suuntaus vaikuttaa mekaanisiin ominaisuuksiin, kuten liukujärjestelmiin, halkeamatasoihin ja murtokäyttäytymiseen.
Puolijohteiden valmistus: Puolijohteiden valmistuksessa valitaan erityisiä kristallitasoja epitaksiaalista kasvua ja laitesuunnittelua varten niiden sähköisten ominaisuuksien vuoksi.
Tekstuurianalyysi: Miller-indeksit auttavat luonnehtimaan suosittuja suuntia (tekstuuria) polykrystalinisissa materiaaleissa, mikä vaikuttaa niiden fysikaalisiin ominaisuuksiin.

Mineralogy and Geology

Geologit käyttävät Miller-indeksejä kuvaamaan kristallipintoja ja halkeamatasoja mineraaleissa, mikä auttaa tunnistamisessa ja ymmärtämään muodostumisolosuhteita.

Educational Applications

Miller-indeksit ovat perustavanlaatuisia käsitteitä, joita opetetaan materiaalitieteessä, kristallografiassa ja kiinteästä fysiikasta, mikä tekee tästä laskimesta arvokkaan koulutustyökalun.

Alternatives to Miller Indices

Vaikka Miller-indeksit ovat yleisimmin käytetty merkintä kristallitasoille, useita vaihtoehtoisia järjestelmiä on olemassa:

Miller-Bravais-indeksit: Neljän indeksin merkintä (h,k,i,l), jota käytetään kuusikulmaisissa kristallijärjestelmissä, missä i = -(h+k). Tämä merkintä heijastaa paremmin kuusikulmaisten rakenteiden symmetriaa.
Weber-symbolit: Käytetään pääasiassa vanhemmassa kirjallisuudessa, erityisesti kuvaamaan suuntia kuutioissa.
Suorat verkko-vektorit: Joissakin tapauksissa tasoja kuvataan suoraan verkko-vektoreilla sen sijaan, että käytettäisiin Miller-indeksejä.
Wyckoff-asemat: Kuvastavat atomiasemia kristallirakenteissa sen sijaan, että käytettäisiin tasoja.

Huolimatta näistä vaihtoehdoista, Miller-indeksit pysyvät standardimerkintänä niiden yksinkertaisuuden ja yleisen sovellettavuuden vuoksi kaikissa kristallijärjestelmissä.

History of Miller Indices

Miller-indeksijärjestelmän kehitti brittiläinen mineralogi ja kristallografi William Hallowes Miller vuonna 1839, julkaistu teoksessaan "A Treatise on Crystallography". Millerin merkintä perustui aikaisempaan työhön Auguste Bravaisin ja muiden toimesta, mutta tarjosi elegantimman ja matemaattisesti johdonmukaisemman lähestymistavan.

Ennen Millerin järjestelmää käytettiin erilaisia merkintöjä kristallipintojen kuvaamiseen, mukaan lukien Weiss-parametrit ja Naumann-symbolit. Millerin innovaatio oli käyttää leikkauspisteiden käänteisarvoja, mikä yksinkertaisti monia kristallografisia laskelmia ja tarjosi intuitiivisemman esityksen rinnakkaisista tasoista.

Miller-indeksien omaksuminen kiihtyi Max von Laue'n X-ray-diffraktion löytämisen myötä vuonna 1912 ja William Lawrence Braggin ja William Henry Braggin myöhemmän työn myötä. Heidän tutkimuksensa osoitti Miller-indeksien käytännön hyödyn diffraktiokuvioiden tulkinnassa ja kristallirakenteiden määrittämisessä.

Koko 1900-luvun ajan, kun kristallografia tuli yhä tärkeämmäksi materiaalitieteissä, kiinteässä fysiikassa ja biokemiassa, Miller-indeksit vakiintuivat standardimerkinnäksi. Nykyään ne ovat edelleen välttämättömiä nykyaikaisissa materiaalin karakterisointitekniikoissa, laskennallisessa kristallografiassa ja nanomateriaalien suunnittelussa.

Code Examples for Calculating Miller Indices

1import math
2import numpy as np
3
4def calculate_miller_indices(intercepts):
5    """
6    Laske Miller-indeksit leikkauspisteistä
7    
8    Args:
9        intercepts: Kolmonen leikkauspisteitä [a, b, c]
10        
11    Returns:
12        Kolmonen Miller-indeksejä [h, k, l]
13    """
14    # Käsittele äärettömyysleikkauspisteitä (rinnakkain akselin kanssa)
15    reciprocals = []
16    for intercept in intercepts:
17        if intercept == 0 or math.isinf(intercept):
18            reciprocals.append(0)
19        else:
20            reciprocals.append(1 / intercept)
21    
22    # Etsi ei-nolla-arvot GCD-laskentaa varten
23    non_zero = [r for r in reciprocals if r != 0]
24    
25    if not non_zero:
26        return [0, 0, 0]
27    
28    # Skaalaa kohtuullisiin kokonaislukuihin (välttää liukulukujen ongelmat)
29    scale = 1000
30    scaled = [round(r * scale) for r in non_zero]
31    
32    # Etsi GCD
33    gcd_value = np.gcd.reduce(scaled)
34    
35    # Muunna takaisin pienimmiksi kokonaisluvuiksi
36    miller_indices = []
37    for r in reciprocals:
38        if r == 0:
39            miller_indices.append(0)
40        else:
41            miller_indices.append(round((r * scale) / gcd_value))
42    
43    return miller_indices
44
45# Esimerkkikäyttö
46intercepts = [2, 3, 6]
47indices = calculate_miller_indices(intercepts)
48print(f"Miller-indeksit leikkauspisteille {intercepts}: {indices}")  # Tuloste: [3, 2, 1]
49

1function gcd(a, b) {
2  a = Math.abs(a);
3  b = Math.abs(b);
4  
5  while (b !== 0) {
6    const temp = b;
7    b = a % b;
8    a = temp;
9  }
10  
11  return a;
12}
13
14function gcdMultiple(numbers) {
15  return numbers.reduce((result, num) => gcd(result, num), numbers[0]);
16}
17
18function calculateMillerIndices(intercepts) {
19  // Käsittele äärettömyysleikkauspisteitä
20  const reciprocals = intercepts.map(intercept => {
21    if (intercept === 0 || !isFinite(intercept)) {
22      return 0;
23    }
24    return 1 / intercept;
25  });
26  
27  // Etsi ei-nolla-arvot GCD-laskentaa varten
28  const nonZeroReciprocals = reciprocals.filter(val => val !== 0);
29  
30  if (nonZeroReciprocals.length === 0) {
31    return [0, 0, 0];
32  }
33  
34  // Skaalaa kokonaisluvuiksi välttääksesi liukulukujen ongelmat
35  const scale = 1000;
36  const scaled = nonZeroReciprocals.map(val => Math.round(val * scale));
37  
38  // Etsi GCD
39  const divisor = gcdMultiple(scaled);
40  
41  // Muunna pienimmiksi kokonaisluvuiksi
42  const millerIndices = reciprocals.map(val => 
43    val === 0 ? 0 : Math.round((val * scale) / divisor)
44  );
45  
46  return millerIndices;
47}
48
49// Esimerkki
50const intercepts = [2, 3, 6];
51const indices = calculateMillerIndices(intercepts);
52console.log(`Miller-indeksit leikkauspisteille ${intercepts}: (${indices.join(',')})`);
53// Tuloste: Miller-indeksit leikkauspisteille 2,3,6: (3,2,1)
54

1import java.util.Arrays;
2
3public class MillerIndicesCalculator {
4    
5    public static int gcd(int a, int b) {
6        a = Math.abs(a);
7        b = Math.abs(b);
8        
9        while (b != 0) {
10            int temp = b;
11            b = a % b;
12            a = temp;
13        }
14        
15        return a;
16    }
17    
18    public static int gcdMultiple(int[] numbers) {
19        int result = numbers[0];
20        for (int i = 1; i < numbers.length; i++) {
21            result = gcd(result, numbers[i]);
22        }
23        return result;
24    }
25    
26    public static int[] calculateMillerIndices(double[] intercepts) {
27        double[] reciprocals = new double[intercepts.length];
28        
29        // Laske käänteisarvot
30        for (int i = 0; i < intercepts.length; i++) {
31            if (intercepts[i] == 0 || Double.isInfinite(intercepts[i])) {
32                reciprocals[i] = 0;
33            } else {
34                reciprocals[i] = 1 / intercepts[i];
35            }
36        }
37        
38        // Laske ei-nolla-arvot
39        int nonZeroCount = 0;
40        for (double r : reciprocals) {
41            if (r != 0) nonZeroCount++;
42        }
43        
44        if (nonZeroCount == 0) {
45            return new int[]{0, 0, 0};
46        }
47        
48        // Skaalaa kokonaisluvuiksi
49        int scale = 1000;
50        int[] scaled = new int[nonZeroCount];
51        int index = 0;
52        
53        for (double r : reciprocals) {
54            if (r != 0) {
55                scaled[index++] = (int) Math.round(r * scale);
56            }
57        }
58        
59        // Etsi GCD
60        int divisor = gcdMultiple(scaled);
61        
62        // Laske Miller-indeksit
63        int[] millerIndices = new int[reciprocals.length];
64        for (int i = 0; i < reciprocals.length; i++) {
65            if (reciprocals[i] == 0) {
66                millerIndices[i] = 0;
67            } else {
68                millerIndices[i] = (int) Math.round((reciprocals[i] * scale) / divisor);
69            }
70        }
71        
72        return millerIndices;
73    }
74    
75    public static void main(String[] args) {
76        double[] intercepts = {2, 3, 6};
77        int[] indices = calculateMillerIndices(intercepts);
78        
79        System.out.println("Miller-indeksit leikkauspisteille " + 
80                           Arrays.toString(intercepts) + ": " + 
81                           Arrays.toString(indices));
82        // Tuloste: Miller-indeksit leikkauspisteille [2.0, 3.0, 6.0]: [3, 2, 1]
83    }
84}
85

1' Excel VBA -toiminto Miller-indeksien laskemiseen
2Function CalculateMillerIndices(x As Double, y As Double, z As Double) As String
3    Dim recipX As Double, recipY As Double, recipZ As Double
4    Dim nonZeroCount As Integer, i As Integer
5    Dim scale As Long, gcdVal As Long
6    Dim scaledVals() As Long
7    Dim millerH As Long, millerK As Long, millerL As Long
8    
9    ' Laske käänteisarvot
10    If x = 0 Then
11        recipX = 0
12    Else
13        recipX = 1 / x
14    End If
15    
16    If y = 0 Then
17        recipY = 0
18    Else
19        recipY = 1 / y
20    End If
21    
22    If z = 0 Then
23        recipZ = 0
24    Else
25        recipZ = 1 / z
26    End If
27    
28    ' Laske ei-nolla-arvot
29    nonZeroCount = 0
30    If recipX <> 0 Then nonZeroCount = nonZeroCount + 1
31    If recipY <> 0 Then nonZeroCount = nonZeroCount + 1
32    If recipZ <> 0 Then nonZeroCount = nonZeroCount + 1
33    
34    If nonZeroCount = 0 Then
35        CalculateMillerIndices = "(0,0,0)"
36        Exit Function
37    End If
38    
39    ' Skaalaa kokonaisluvuiksi
40    scale = 1000
41    ReDim scaledVals(1 To nonZeroCount)
42    i = 1
43    
44    If recipX <> 0 Then
45        scaledVals(i) = Round(recipX * scale)
46        i = i + 1
47    End If
48    
49    If recipY <> 0 Then
50        scaledVals(i) = Round(recipY * scale)
51        i = i + 1
52    End If
53    
54    If recipZ <> 0 Then
55        scaledVals(i) = Round(recipZ * scale)
56    End If
57    
58    ' Etsi GCD
59    gcdVal = scaledVals(1)
60    For i = 2 To nonZeroCount
61        gcdVal = GCD(gcdVal, scaledVals(i))
62    Next i
63    
64    ' Laske Miller-indeksit
65    If recipX = 0 Then
66        millerH = 0
67    Else
68        millerH = Round((recipX * scale) / gcdVal)
69    End If
70    
71    If recipY = 0 Then
72        millerK = 0
73    Else
74        millerK = Round((recipY * scale) / gcdVal)
75    End If
76    
77    If recipZ = 0 Then
78        millerL = 0
79    Else
80        millerL = Round((recipZ * scale) / gcdVal)
81    End If
82    
83    CalculateMillerIndices = "(" & millerH & "," & millerK & "," & millerL & ")"
84End Function
85
86Function GCD(a As Long, b As Long) As Long
87    Dim temp As Long
88    
89    a = Abs(a)
90    b = Abs(b)
91    
92    Do While b <> 0
93        temp = b
94        b = a Mod b
95        a = temp
96    Loop
97    
98    GCD = a
99End Function
100
101' Käyttö Excelissä:
102' =CalculateMillerIndices(2, 3, 6)
103' Tuloste: (3,2,1)
104

1#include <iostream>
2#include <vector>
3#include <cmath>
4#include <numeric>
5#include <algorithm>
6
7// Laske kahden numeron GCD
8int gcd(int a, int b) {
9    a = std::abs(a);
10    b = std::abs(b);
11    
12    while (b != 0) {
13        int temp = b;
14        b = a % b;
15        a = temp;
16    }
17    
18    return a;
19}
20
21// Laske useiden numeroiden GCD
22int gcdMultiple(const std::vector<int>& numbers) {
23    int result = numbers[0];
24    for (size_t i = 1; i < numbers.size(); ++i) {
25        result = gcd(result, numbers[i]);
26    }
27    return result;
28}
29
30// Laske Miller-indeksit leikkauspisteistä
31std::vector<int> calculateMillerIndices(const std::vector<double>& intercepts) {
32    std::vector<double> reciprocals;
33    
34    // Laske käänteisarvot
35    for (double intercept : intercepts) {
36        if (intercept == 0 || std::isinf(intercept)) {
37            reciprocals.push_back(0);
38        } else {
39            reciprocals.push_back(1.0 / intercept);
40        }
41    }
42    
43    // Etsi ei-nolla-arvot
44    std::vector<double> nonZeroReciprocals;
45    for (double r : reciprocals) {
46        if (r != 0) {
47            nonZeroReciprocals.push_back(r);
48        }
49    }
50    
51    if (nonZeroReciprocals.empty()) {
52        return {0, 0, 0};
53    }
54    
55    // Skaalaa kokonaisluvuiksi
56    const int scale = 1000;
57    std::vector<int> scaled;
58    for (double r : nonZeroReciprocals) {
59        scaled.push_back(std::round(r * scale));
60    }
61    
62    // Etsi GCD
63    int divisor = gcdMultiple(scaled);
64    
65    // Muunna pienimmiksi kokonaisluvuiksi
66    std::vector<int> millerIndices;
67    for (double r : reciprocals) {
68        if (r == 0) {
69            millerIndices.push_back(0);
70        } else {
71            millerIndices.push_back(std::round((r * scale) / divisor));
72        }
73    }
74    
75    return millerIndices;
76}
77
78int main() {
79    std::vector<double> intercepts = {2, 3, 6};
80    std::vector<int> indices = calculateMillerIndices(intercepts);
81    
82    std::cout << "Miller-indeksit leikkauspisteille [";
83    for (size_t i = 0; i < intercepts.size(); ++i) {
84        std::cout << intercepts[i];
85        if (i < intercepts.size() - 1) std::cout << ", ";
86    }
87    std::cout << "]: (";
88    
89    for (size_t i = 0; i < indices.size(); ++i) {
90        std::cout << indices[i];
91        if (i < indices.size() - 1) std::cout << ",";
92    }
93    std::cout << ")" << std::endl;
94    
95    // Tuloste: Miller-indeksit leikkauspisteille [2, 3, 6]: (3,2,1)
96    
97    return 0;
98}
99

Numerical Examples

Tässä on joitakin yleisiä esimerkkejä Miller-indeksien laskennasta:

Esimerkki 1: Vakio tapaus
- Leikkauspisteet: (2, 3, 6)
- Käänteisarvot: (1/2, 1/3, 1/6)
- Kertomalla pienimmällä yhteisellä monikerralla (6): (3, 2, 1)
- Miller-indeksit: (3,2,1)
Esimerkki 2: Taso rinnakkain akselin kanssa
- Leikkauspisteet: (1, ∞, 2)
- Käänteisarvot: (1, 0, 1/2)
- Kertomalla 2: (2, 0, 1)
- Miller-indeksit: (2,0,1)
Esimerkki 3: Negatiiviset leikkauspisteet
- Leikkauspisteet: (-1, 2, 3)
- Käänteisarvot: (-1, 1/2, 1/3)
- Kertomalla 6: (-6, 3, 2)
- Miller-indeksit: (-6,3,2)
Esimerkki 4: Murtoluku leikkauspisteet
- Leikkauspisteet: (1/2, 1/3, 1/4)
- Käänteisarvot: (2, 3, 4)
- Jo kokonaislukumuodossa
- Miller-indeksit: (2,3,4)
Esimerkki 5: Erityinen taso (100)
- Leikkauspisteet: (1, ∞, ∞)
- Käänteisarvot: (1, 0, 0)
- Miller-indeksit: (1,0,0)

Frequently Asked Questions

What are Miller indices used for?

Miller-indeksejä käytetään kristallitasojen ja suuntien tunnistamiseen ja kuvaamiseen. Ne tarjoavat standardoidun merkintätavan, joka auttaa kristallografeja, materiaalitieteilijöitä ja insinöörejä kommunikoimaan erityisistä kristallisuunnista. Miller-indeksit ovat välttämättömiä X-ray-diffraktiokuvioiden analysoimisessa, kristallikasvun ymmärtämisessä, tasovälin laskemisessa ja erilaisten fysikaalisten ominaisuuksien tutkimisessa, jotka riippuvat kristallografisesta suuntauksesta.

How do I handle a plane that is parallel to one of the axes?

Kun taso on rinnakkain akselin kanssa, se ei koskaan leikkaa kyseistä akselia, joten leikkauspiste katsotaan olevan äärettömyys. Miller-indeksimerkinnässä äärettömyyden käänteisarvo on nolla, joten vastaava Miller-indeksi tulee nollaksi. Esimerkiksi taso, joka on rinnakkain y-akselin kanssa, olisi leikkauspisteet (a, ∞, c) ja Miller-indeksit (h,0,l).

What do negative Miller indices mean?

Negatiiviset Miller-indeksit tarkoittavat, että taso leikkaa vastaavan akselin negatiivisella puolella alkuperästä. Kristallografiassa negatiiviset indeksit merkitään yleensä viivalla numeron ylle, kuten (h̄kl). Negatiiviset indeksit edustavat tasoja, jotka ovat vastaavia positiivisten vastineidensa kanssa fysikaalisten ominaisuuksien suhteen, mutta niillä on erilaiset suuntaukset.

How do Miller indices relate to crystal structure?

Miller-indeksit liittyvät suoraan atomijärjestykseen kristallirakenteessa. Tason, jolla on erityiset Miller-indeksit, väli (dhkl) riippuu kristallijärjestelmästä ja verkko-parametreista. X-ray-diffraktiossa nämä tasot toimivat heijastustasoina Braggin lain mukaan, tuottaen tyypillisiä diffraktiokuvioita, jotka paljastavat kristallirakenteen.

What is the difference between Miller indices and Miller-Bravais indices?

Miller-indeksit käyttävät kolmea kokonaislukua (h,k,l) ja ovat sopivia useimmille kristallijärjestelmille. Miller-Bravais-indeksit käyttävät neljää kokonaislukua (h,k,i,l) ja on erityisesti suunniteltu kuusikulmaisille kristallijärjestelmille. Neljäs indeksi, i, on ylimääräinen (i = -(h+k)), mutta auttaa ylläpitämään kuusikulmaisten järjestelmien symmetriaa ja tekee vastaavista tasoista helpommin tunnistettavia.

How do I calculate the angle between two crystal planes?

Kahden tason, joiden Miller-indeksit ovat (h₁,k₁,l₁) ja (h₂,k₂,l₂) kuutioisessa kristallijärjestelmässä, väli θ voidaan laskea seuraavasti:

$\cos\theta = \frac{h_1h_2 + k_1k_2 + l_1l_2}{\sqrt{(h_1^2 + k_1^2 + l_1^2)(h_2^2 + k_2^2 + l_2^2)}}$

Ei-kuutioisissa järjestelmissä laskenta on monimutkaisempaa ja siihen liittyy kristallijärjestelmän metriikkatensorin käyttö.

What is the relationship between Miller indices and d-spacing?

d-väli (tasoväli) tasoilla, joilla on Miller-indeksit (h,k,l), riippuu kristallijärjestelmästä. Kuutioisessa kristallissa, jonka verkko-parametri on a, suhde on:

$d_{hkl} = \frac{a}{\sqrt{h^2 + k^2 + l^2}}$

Muille kristallijärjestelmille sovelletaan monimutkaisempia kaavoja, jotka sisältävät erityiset verkko-parametrit.

Can Miller indices be fractions?

Ei, perinteisesti Miller-indeksit ovat aina kokonaislukuja. Jos laskenta tuottaa aluksi murtolukuja, ne muunnetaan pienimmiksi kokonaisluvuiksi, jotka säilyttävät saman suhteen. Tämä tapahtuu kertomalla kaikki arvot pienimmällä yhteisellä monikerralla.

How do I determine the Miller indices of a crystal face experimentally?

Miller-indeksit kristallipinnoille voidaan määrittää kokeellisesti käyttämällä X-ray-diffraktiota, elektronidiffraktiota tai optista goniometriaa. X-ray-diffraktiossa kulmat, joilla diffraktio tapahtuu, liittyvät tasoväliin kristallitasoilla Braggin lain kautta, mikä voi auttaa tunnistamaan vastaavat Miller-indeksit.

What are the Miller indices of common crystal planes?

Joihinkin yleisiin kristallitasoihin ja niiden Miller-indekseihin kuuluvat:

(100), (010), (001): Pääkuutioiset pinnat
(110), (101), (011): Kuutioiden diagonaaliset pinnat
(111): Oktaedrinen pinta kuutioisissa järjestelmissä
(112): Yleinen liukutasot kehon keskipisteen kuutioisissa metalleissa

References

Miller, W. H. (1839). A Treatise on Crystallography. Cambridge: For J. & J.J. Deighton.
Ashcroft, N. W., & Mermin, N. D. (1976). Solid State Physics. Holt, Rinehart and Winston.
Hammond, C. (2015). The Basics of Crystallography and Diffraction (4th ed.). Oxford University Press.
Cullity, B. D., & Stock, S. R. (2014). Elements of X-ray Diffraction (3rd ed.). Pearson Education.
Kittel, C. (2004). Introduction to Solid State Physics (8th ed.). Wiley.
Kelly, A., & Knowles, K. M. (2012). Crystallography and Crystal Defects (2nd ed.). Wiley.
International Union of Crystallography. (2016). International Tables for Crystallography, Volume A: Space-group symmetry. Wiley.
Giacovazzo, C., Monaco, H. L., Artioli, G., Viterbo, D., Ferraris, G., Gilli, G., Zanotti, G., & Catti, M. (2011). Fundamentals of Crystallography (3rd ed.). Oxford University Press.
Buerger, M. J. (1978). Elementary Crystallography: An Introduction to the Fundamental Geometrical Features of Crystals. MIT Press.
Tilley, R. J. (2006). Crystals and Crystal Structures. Wiley.

Käytä Miller Indices Calculatoria tänään, jotta voit nopeasti ja tarkasti määrittää Miller-indeksit mille tahansa kristallitasolle. Olitpa opiskelija, joka oppii kristallografiaa, tutkija, joka analysoi materiaalirakenteita, tai insinööri, joka suunnittelee uusia materiaaleja, tämä työkalu auttaa sinua tunnistamaan ja ymmärtämään kristallitasoja vaivattomasti.

🔗

Liittyvät Työkalut

Löydä lisää työkaluja, jotka saattavat olla hyödyllisiä työnkulullesi

Millerin indeksit laskin kiteen tasojen tunnistamiseen

Miller-indeksien laskin

Kiteen tason leikkaukset

Miller-indeksit

Visualisointi

Mitä ovat Miller-indeksit?

Dokumentaatio

Miller Indices Calculator

Introduction

What Are Miller Indices?

Visual Representation of Miller Indices

Formula for Calculating Miller Indices

Special Cases and Conventions

Step-by-Step Guide to Using the Calculator

Example Calculation

Use Cases for Miller Indices

Crystallography and X-ray Diffraction

Materials Science and Engineering

Mineralogy and Geology

Educational Applications

Alternatives to Miller Indices

History of Miller Indices

Code Examples for Calculating Miller Indices

Numerical Examples

Frequently Asked Questions

What are Miller indices used for?

How do I handle a plane that is parallel to one of the axes?

What do negative Miller indices mean?

How do Miller indices relate to crystal structure?

What is the difference between Miller indices and Miller-Bravais indices?

How do I calculate the angle between two crystal planes?

What is the relationship between Miller indices and d-spacing?

Can Miller indices be fractions?

How do I determine the Miller indices of a crystal face experimentally?

What are the Miller indices of common crystal planes?

References

Liittyvät Työkalut

Six Sigma -laskin: Mittaa prosessisi laatua

Molekyylipainon Laskin - Ilmainen Kemiallisten Kaavojen Työkalu

Binomijakauman laskin: Laskentatyökalu tilastotieteelle

Gamma-jakauman laskin käyttäjän parametreilla

Betonikannan laskin: Tilavuus ja tarvittavat säkit

Aikavälin laskin: Laske aika kahden päivämäärän välillä