Calculateur d'indices de Miller pour l'identification des plans cristallins

Calculez les indices de Miller à partir des intercepts des plans cristallins avec cet outil facile à utiliser. Essentiel pour la cristallographie, la science des matériaux et les applications en physique de l'état solide.

Calculateur d'indices de Miller

Intercepts de plan cristallin

Entrez les intercepts du plan cristallin avec les axes x, y et z. Utilisez '0' pour les plans parallèles à un axe (intercept infini).

Intercept de l'axe X

Entrez un nombre ou 0 pour l'infini

Intercept de l'axe Y

Entrez un nombre ou 0 pour l'infini

Intercept de l'axe Z

Entrez un nombre ou 0 pour l'infini

Indices de Miller

Les indices de Miller pour ce plan sont :

(1,1,1)

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Visualisation

Qu'est-ce que les indices de Miller ?

Les indices de Miller sont un système de notation utilisé en cristallographie pour spécifier les plans et les directions dans les réseaux cristallins.

Pour calculer les indices de Miller (h,k,l) à partir des intercepts (a,b,c) :

1. Prenez les réciproques des intercepts : (1/a, 1/b, 1/c) 2. Convertissez en le plus petit ensemble d'entiers avec le même rapport 3. Si un plan est parallèle à un axe (intercept = infini), son indice de Miller correspondant est 0

Les indices négatifs sont indiqués par une barre au-dessus du nombre, par exemple, (h̄,k,l)
La notation (hkl) représente un plan spécifique, tandis que {hkl} représente une famille de plans équivalents
Les indices de direction sont écrits entre crochets [hkl], et les familles de directions sont notées par <hkl>

📚

Documentation

Calculateur d'Indices de Miller

Introduction

Le Calculateur d'Indices de Miller est un outil puissant pour les cristallographes, les scientifiques des matériaux et les étudiants pour déterminer les indices de Miller des plans cristallins. Les indices de Miller sont un système de notation utilisé en cristallographie pour spécifier les plans et les directions dans les réseaux cristallins. Ce calculateur vous permet de convertir facilement les intercepts d'un plan cristallin avec les axes de coordonnées en les indices de Miller correspondants, fournissant ainsi un moyen standardisé d'identifier et de communiquer sur des plans cristallins spécifiques.

Les indices de Miller sont fondamentaux pour comprendre les structures cristallines et leurs propriétés. En représentant les plans par un ensemble simple de trois entiers (h,k,l), les indices de Miller permettent aux scientifiques d'analyser les motifs de diffraction des rayons X, de prédire les comportements de croissance cristalline, de calculer l'espacement interplan et d'étudier diverses propriétés physiques qui dépendent de l'orientation cristallographique.

Qu'est-ce que les Indices de Miller ?

Les indices de Miller sont un ensemble de trois entiers (h,k,l) qui définissent une famille de plans parallèles dans un réseau cristallin. Ces indices sont dérivés des réciproques des intercepts qu'un plan fait avec les axes cristallographiques. La notation fournit un moyen standardisé d'identifier des plans spécifiques au sein d'une structure cristalline.

Représentation Visuelle des Indices de Miller

x y z

a=2 b=3 c=6

(3,2,1) Plan

Indices de Miller (3,2,1) Plan Cristallin

Une visualisation 3D d'un plan cristallin avec des indices de Miller (3,2,1). Le plan intercepte les axes x, y et z aux points 2, 3 et 6 respectivement, ce qui donne des indices de Miller (3,2,1) après avoir pris les réciproques et trouvé le plus petit ensemble d'entiers avec le même rapport.

Formule pour Calculer les Indices de Miller

Pour calculer les indices de Miller (h,k,l) d'un plan cristallin, suivez ces étapes mathématiques :

Déterminez les intercepts du plan avec les axes cristallographiques x, y et z, donnant les valeurs a, b et c.
Prenez les réciproques de ces intercepts : 1/a, 1/b, 1/c.
Convertissez ces réciproques en le plus petit ensemble d'entiers qui maintient le même rapport.
Les trois entiers résultants sont les indices de Miller (h,k,l).

Mathématiquement, cela peut être exprimé comme :

$h : k : l = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$

Où :

(h,k,l) sont les indices de Miller
a, b, c sont les intercepts du plan avec les axes x, y et z, respectivement

Cas Particuliers et Conventions

Plusieurs cas particuliers et conventions sont importants à comprendre :

Intercepts à l'Infini : Si un plan est parallèle à un axe, son intercept est considéré comme infini, et l'indice de Miller correspondant devient zéro.
Indices Négatifs : Si un plan intercepte un axe du côté négatif de l'origine, l'indice de Miller correspondant est négatif, noté avec une barre au-dessus du nombre dans la notation cristallographique, par exemple, (h̄kl).
Intercepts Fractionnaires : Si les intercepts sont fractionnaires, ils sont convertis en entiers en multipliant par le plus petit multiple commun.
Simplification : Les indices de Miller sont toujours réduits au plus petit ensemble d'entiers qui maintient le même rapport.

Guide Étape par Étape pour Utiliser le Calculateur

Notre Calculateur d'Indices de Miller fournit un moyen simple de déterminer les indices de Miller pour n'importe quel plan cristallin. Voici comment l'utiliser :

Entrez les Intercepts : Saisissez les valeurs où le plan intersecte les axes x, y et z.
- Utilisez des nombres positifs pour les intercepts du côté positif de l'origine.
- Utilisez des nombres négatifs pour les intercepts du côté négatif.
- Entrez "0" pour les plans qui sont parallèles à un axe (intercept à l'infini).
Voir les Résultats : Le calculateur calculera automatiquement et affichera les indices de Miller (h,k,l) pour le plan spécifié.
Visualisez le Plan : Le calculateur comprend une visualisation 3D pour vous aider à comprendre l'orientation du plan au sein du réseau cristallin.
Copiez les Résultats : Utilisez le bouton "Copier dans le Presse-papiers" pour transférer facilement les indices de Miller calculés vers d'autres applications.

Exemple de Calcul

Passons par un exemple :

Supposons qu'un plan intercepte les axes x, y et z aux points 2, 3 et 6 respectivement.

Les intercepts sont (2, 3, 6).
Prenant les réciproques : (1/2, 1/3, 1/6).
Pour trouver le plus petit ensemble d'entiers avec le même rapport, multipliez par le plus petit multiple commun des dénominateurs (PPCM de 2, 3, 6 = 6) : (1/2 × 6, 1/3 × 6, 1/6 × 6) = (3, 2, 1).
Par conséquent, les indices de Miller sont (3,2,1).

Cas d'Utilisation des Indices de Miller

Les indices de Miller ont de nombreuses applications dans divers domaines scientifiques et techniques :

Cristallographie et Diffraction des Rayons X

Les indices de Miller sont essentiels pour interpréter les motifs de diffraction des rayons X. L'espacement entre les plans cristallins, identifiés par leurs indices de Miller, détermine les angles auxquels les rayons X sont diffractés, suivant la loi de Bragg :

$n\lambda = 2d_{hkl}\sin\theta$

Où :

$n$ est un entier
$\lambda$ est la longueur d'onde des rayons X
$d_{hkl}$ est l'espacement entre les plans avec les indices de Miller (h,k,l)
$\theta$ est l'angle d'incidence

Science des Matériaux et Ingénierie

Analyse de l'Énergie de Surface : Différents plans cristallins ont des énergies de surface différentes, affectant des propriétés telles que la croissance cristalline, la catalyse et l'adhésion.
Propriétés Mécaniques : L'orientation des plans cristallins influence les propriétés mécaniques telles que les systèmes de glissement, les plans de clivage et le comportement de fracture.
Fabrication de Semi-conducteurs : Dans la fabrication de semi-conducteurs, des plans cristallins spécifiques sont sélectionnés pour la croissance épitaxiale et la fabrication de dispositifs en raison de leurs propriétés électroniques.
Analyse de Texture : Les indices de Miller aident à caractériser les orientations préférées (texture) dans les matériaux polycristallins, ce qui affecte leurs propriétés physiques.

Minéralogie et Géologie

Les géologues utilisent les indices de Miller pour décrire les faces cristallines et les plans de clivage dans les minéraux, aidant à l'identification et à la compréhension des conditions de formation.

Applications Éducatives

Les indices de Miller sont des concepts fondamentaux enseignés dans les cours de science des matériaux, de cristallographie et de physique de l'état solide, faisant de ce calculateur un outil éducatif précieux.

Alternatives aux Indices de Miller

Bien que les indices de Miller soient la notation la plus largement utilisée pour les plans cristallins, plusieurs systèmes alternatifs existent :

Indices de Miller-Bravais : Une notation à quatre indices (h,k,i,l) utilisée pour les systèmes cristallins hexagonaux, où i = -(h+k). Cette notation reflète mieux la symétrie des structures hexagonales.
Symboles de Weber : Utilisés principalement dans les anciennes publications, en particulier pour décrire les directions dans les cristaux cubiques.
Vecteurs de Réseau Directs : Dans certains cas, les plans sont décrits à l'aide des vecteurs de réseau directs plutôt qu'avec les indices de Miller.
Positions de Wyckoff : Pour décrire les positions atomiques au sein des structures cristallines plutôt que des plans.

Malgré ces alternatives, les indices de Miller restent la notation standard en raison de leur simplicité et de leur applicabilité universelle à tous les systèmes cristallins.

Histoire des Indices de Miller

Le système d'indices de Miller a été développé par le minéralogiste et cristallographe britannique William Hallowes Miller en 1839, publié dans son traité "A Treatise on Crystallography". La notation de Miller s'est appuyée sur les travaux antérieurs d'Auguste Bravais et d'autres, mais a fourni une approche plus élégante et mathématiquement cohérente.

Avant le système de Miller, diverses notations étaient utilisées pour décrire les faces cristallines, y compris les paramètres de Weiss et les symboles de Naumann. L'innovation de Miller a été d'utiliser les réciproques des intercepts, ce qui a simplifié de nombreux calculs cristallographiques et a fourni une représentation plus intuitive des plans parallèles.

L'adoption des indices de Miller a été accélérée par la découverte de la diffraction des rayons X par Max von Laue en 1912 et le travail ultérieur de William Lawrence Bragg et William Henry Bragg. Leurs recherches ont démontré l'utilité pratique des indices de Miller dans l'interprétation des motifs de diffraction et la détermination des structures cristallines.

Tout au long du 20ème siècle, alors que la cristallographie devenait de plus en plus importante dans la science des matériaux, la physique de l'état solide et la biochimie, les indices de Miller se sont fermement établis comme la notation standard. Aujourd'hui, ils restent essentiels dans les techniques modernes de caractérisation des matériaux, la cristallographie computationnelle et la conception de nanomatériaux.

Exemples de Code pour Calculer les Indices de Miller

1import math
2import numpy as np
3
4def calculate_miller_indices(intercepts):
5    """
6    Calculer les indices de Miller à partir des intercepts
7    
8    Args:
9        intercepts: Liste de trois intercepts [a, b, c]
10        
11    Returns:
12        Liste de trois indices de Miller [h, k, l]
13    """
14    # Gérer les intercepts à l'infini (parallèle à l'axe)
15    reciprocals = []
16    for intercept in intercepts:
17        if intercept == 0 or math.isinf(intercept):
18            reciprocals.append(0)
19        else:
20            reciprocals.append(1 / intercept)
21    
22    # Trouver les valeurs non nulles pour le calcul du PGCD
23    non_zero = [r for r in reciprocals if r != 0]
24    
25    if not non_zero:
26        return [0, 0, 0]
27    
28    # Échelle pour des entiers raisonnables (éviter les problèmes de flottants)
29    scale = 1000
30    scaled = [round(r * scale) for r in non_zero]
31    
32    # Trouver le PGCD
33    gcd_value = np.gcd.reduce(scaled)
34    
35    # Convertir en plus petits entiers
36    miller_indices = []
37    for r in reciprocals:
38        if r == 0:
39            miller_indices.append(0)
40        else:
41            miller_indices.append(round((r * scale) / gcd_value))
42    
43    return miller_indices
44
45# Exemple d'utilisation
46intercepts = [2, 3, 6]
47indices = calculate_miller_indices(intercepts)
48print(f"Indices de Miller pour les intercepts {intercepts}: {indices}")  # Sortie : [3, 2, 1]
49

1function gcd(a, b) {
2  a = Math.abs(a);
3  b = Math.abs(b);
4  
5  while (b !== 0) {
6    const temp = b;
7    b = a % b;
8    a = temp;
9  }
10  
11  return a;
12}
13
14function gcdMultiple(numbers) {
15  return numbers.reduce((result, num) => gcd(result, num), numbers[0]);
16}
17
18function calculateMillerIndices(intercepts) {
19  // Gérer les intercepts à l'infini
20  const reciprocals = intercepts.map(intercept => {
21    if (intercept === 0 || !isFinite(intercept)) {
22      return 0;
23    }
24    return 1 / intercept;
25  });
26  
27  // Trouver les valeurs non nulles pour le calcul du PGCD
28  const nonZeroReciprocals = reciprocals.filter(val => val !== 0);
29  
30  if (nonZeroReciprocals.length === 0) {
31    return [0, 0, 0];
32  }
33  
34  // Échelle pour des entiers pour éviter les problèmes de flottants
35  const scale = 1000;
36  const scaled = nonZeroReciprocals.map(val => Math.round(val * scale));
37  
38  // Trouver le PGCD
39  const divisor = gcdMultiple(scaled);
40  
41  // Convertir en plus petits entiers
42  const millerIndices = reciprocals.map(val => 
43    val === 0 ? 0 : Math.round((val * scale) / divisor)
44  );
45  
46  return millerIndices;
47}
48
49// Exemple
50const intercepts = [2, 3, 6];
51const indices = calculateMillerIndices(intercepts);
52console.log(`Indices de Miller pour les intercepts ${intercepts}: (${indices.join(',')})`);
53// Sortie : Indices de Miller pour les intercepts 2,3,6: (3,2,1)
54

1import java.util.Arrays;
2
3public class MillerIndicesCalculator {
4    
5    public static int gcd(int a, int b) {
6        a = Math.abs(a);
7        b = Math.abs(b);
8        
9        while (b != 0) {
10            int temp = b;
11            b = a % b;
12            a = temp;
13        }
14        
15        return a;
16    }
17    
18    public static int gcdMultiple(int[] numbers) {
19        int result = numbers[0];
20        for (int i = 1; i < numbers.length; i++) {
21            result = gcd(result, numbers[i]);
22        }
23        return result;
24    }
25    
26    public static int[] calculateMillerIndices(double[] intercepts) {
27        double[] reciprocals = new double[intercepts.length];
28        
29        // Calculer les réciproques
30        for (int i = 0; i < intercepts.length; i++) {
31            if (intercepts[i] == 0 || Double.isInfinite(intercepts[i])) {
32                reciprocals[i] = 0;
33            } else {
34                reciprocals[i] = 1 / intercepts[i];
35            }
36        }
37        
38        // Compter les valeurs non nulles
39        int nonZeroCount = 0;
40        for (double r : reciprocals) {
41            if (r != 0) nonZeroCount++;
42        }
43        
44        if (nonZeroCount == 0) {
45            return new int[]{0, 0, 0};
46        }
47        
48        // Échelle pour des entiers pour éviter les problèmes de flottants
49        int scale = 1000;
50        int[] scaled = new int[nonZeroCount];
51        int index = 0;
52        
53        for (double r : reciprocals) {
54            if (r != 0) {
55                scaled[index++] = (int) Math.round(r * scale);
56            }
57        }
58        
59        // Trouver le PGCD
60        int divisor = gcdMultiple(scaled);
61        
62        // Convertir en plus petits entiers
63        int[] millerIndices = new int[reciprocals.length];
64        for (int i = 0; i < reciprocals.length; i++) {
65            if (reciprocals[i] == 0) {
66                millerIndices[i] = 0;
67            } else {
68                millerIndices[i] = (int) Math.round((reciprocals[i] * scale) / divisor);
69            }
70        }
71        
72        return millerIndices;
73    }
74    
75    public static void main(String[] args) {
76        double[] intercepts = {2, 3, 6};
77        int[] indices = calculateMillerIndices(intercepts);
78        
79        System.out.println("Indices de Miller pour les intercepts " + 
80                           Arrays.toString(intercepts) + ": " + 
81                           Arrays.toString(indices));
82        // Sortie : Indices de Miller pour les intercepts [2.0, 3.0, 6.0]: [3, 2, 1]
83    }
84}
85

1' Fonction VBA Excel pour le calcul des indices de Miller
2Function CalculateMillerIndices(x As Double, y As Double, z As Double) As String
3    Dim recipX As Double, recipY As Double, recipZ As Double
4    Dim nonZeroCount As Integer, i As Integer
5    Dim scale As Long, gcdVal As Long
6    Dim scaledVals() As Long
7    Dim millerH As Long, millerK As Long, millerL As Long
8    
9    ' Calculer les réciproques
10    If x = 0 Then
11        recipX = 0
12    Else
13        recipX = 1 / x
14    End If
15    
16    If y = 0 Then
17        recipY = 0
18    Else
19        recipY = 1 / y
20    End If
21    
22    If z = 0 Then
23        recipZ = 0
24    Else
25        recipZ = 1 / z
26    End If
27    
28    ' Compter les valeurs non nulles
29    nonZeroCount = 0
30    If recipX <> 0 Then nonZeroCount = nonZeroCount + 1
31    If recipY <> 0 Then nonZeroCount = nonZeroCount + 1
32    If recipZ <> 0 Then nonZeroCount = nonZeroCount + 1
33    
34    If nonZeroCount = 0 Then
35        CalculateMillerIndices = "(0,0,0)"
36        Exit Function
37    End If
38    
39    ' Échelle pour des entiers
40    scale = 1000
41    ReDim scaledVals(1 To nonZeroCount)
42    i = 1
43    
44    If recipX <> 0 Then
45        scaledVals(i) = Round(recipX * scale)
46        i = i + 1
47    End If
48    
49    If recipY <> 0 Then
50        scaledVals(i) = Round(recipY * scale)
51        i = i + 1
52    End If
53    
54    If recipZ <> 0 Then
55        scaledVals(i) = Round(recipZ * scale)
56    End If
57    
58    ' Trouver le PGCD
59    gcdVal = scaledVals(1)
60    For i = 2 To nonZeroCount
61        gcdVal = GCD(gcdVal, scaledVals(i))
62    Next i
63    
64    ' Calculer les indices de Miller
65    If recipX = 0 Then
66        millerH = 0
67    Else
68        millerH = Round((recipX * scale) / gcdVal)
69    End If
70    
71    If recipY = 0 Then
72        millerK = 0
73    Else
74        millerK = Round((recipY * scale) / gcdVal)
75    End If
76    
77    If recipZ = 0 Then
78        millerL = 0
79    Else
80        millerL = Round((recipZ * scale) / gcdVal)
81    End If
82    
83    CalculateMillerIndices = "(" & millerH & "," & millerK & "," & millerL & ")"
84End Function
85
86Function GCD(a As Long, b As Long) As Long
87    Dim temp As Long
88    
89    a = Abs(a)
90    b = Abs(b)
91    
92    Do While b <> 0
93        temp = b
94        b = a Mod b
95        a = temp
96    Loop
97    
98    GCD = a
99End Function
100
101' Utilisation dans Excel :
102' =CalculateMillerIndices(2, 3, 6)
103' Résultat : (3,2,1)
104

1#include <iostream>
2#include <vector>
3#include <cmath>
4#include <numeric>
5#include <algorithm>
6
7// Calculer le PGCD de deux nombres
8int gcd(int a, int b) {
9    a = std::abs(a);
10    b = std::abs(b);
11    
12    while (b != 0) {
13        int temp = b;
14        b = a % b;
15        a = temp;
16    }
17    
18    return a;
19}
20
21// Calculer le PGCD de plusieurs nombres
22int gcdMultiple(const std::vector<int>& numbers) {
23    int result = numbers[0];
24    for (size_t i = 1; i < numbers.size(); ++i) {
25        result = gcd(result, numbers[i]);
26    }
27    return result;
28}
29
30// Calculer les indices de Miller à partir des intercepts
31std::vector<int> calculateMillerIndices(const std::vector<double>& intercepts) {
32    std::vector<double> reciprocals;
33    
34    // Calculer les réciproques
35    for (double intercept : intercepts) {
36        if (intercept == 0 || std::isinf(intercept)) {
37            reciprocals.push_back(0);
38        } else {
39            reciprocals.push_back(1.0 / intercept);
40        }
41    }
42    
43    // Trouver les valeurs non nulles
44    std::vector<double> nonZeroReciprocals;
45    for (double r : reciprocals) {
46        if (r != 0) {
47            nonZeroReciprocals.push_back(r);
48        }
49    }
50    
51    if (nonZeroReciprocals.empty()) {
52        return {0, 0, 0};
53    }
54    
55    // Échelle pour des entiers
56    const int scale = 1000;
57    std::vector<int> scaled;
58    for (double r : nonZeroReciprocals) {
59        scaled.push_back(std::round(r * scale));
60    }
61    
62    // Trouver le PGCD
63    int divisor = gcdMultiple(scaled);
64    
65    // Convertir en plus petits entiers
66    std::vector<int> millerIndices;
67    for (double r : reciprocals) {
68        if (r == 0) {
69            millerIndices.push_back(0);
70        } else {
71            millerIndices.push_back(std::round((r * scale) / divisor));
72        }
73    }
74    
75    return millerIndices;
76}
77
78int main() {
79    std::vector<double> intercepts = {2, 3, 6};
80    std::vector<int> indices = calculateMillerIndices(intercepts);
81    
82    std::cout << "Indices de Miller pour les intercepts [";
83    for (size_t i = 0; i < intercepts.size(); ++i) {
84        std::cout << intercepts[i];
85        if (i < intercepts.size() - 1) std::cout << ", ";
86    }
87    std::cout << "]: (";
88    
89    for (size_t i = 0; i < indices.size(); ++i) {
90        std::cout << indices[i];
91        if (i < indices.size() - 1) std::cout << ",";
92    }
93    std::cout << ")" << std::endl;
94    
95    // Sortie : Indices de Miller pour les intercepts [2, 3, 6]: (3,2,1)
96    
97    return 0;
98}
99

Exemples Numériques

Voici quelques exemples courants de calculs d'indices de Miller :

Exemple 1 : Cas Standard
- Intercepts : (2, 3, 6)
- Réciprocals : (1/2, 1/3, 1/6)
- Multiplier par le PPCM des dénominateurs (6) : (3, 2, 1)
- Indices de Miller : (3,2,1)
Exemple 2 : Plan Parallèle à un Axe
- Intercepts : (1, ∞, 2)
- Réciprocals : (1, 0, 1/2)
- Multiplier par 2 : (2, 0, 1)
- Indices de Miller : (2,0,1)
Exemple 3 : Intercepts Négatifs
- Intercepts : (-1, 2, 3)
- Réciprocals : (-1, 1/2, 1/3)
- Multiplier par 6 : (-6, 3, 2)
- Indices de Miller : (-6,3,2)
Exemple 4 : Intercepts Fractionnaires
- Intercepts : (1/2, 1/3, 1/4)
- Réciprocals : (2, 3, 4)
- Déjà en forme entière
- Indices de Miller : (2,3,4)
Exemple 5 : Plan Spécial (100)
- Intercepts : (1, ∞, ∞)
- Réciprocals : (1, 0, 0)
- Indices de Miller : (1,0,0)

Questions Fréquemment Posées

À quoi servent les indices de Miller ?

Les indices de Miller sont utilisés pour identifier et décrire des plans et des directions dans des réseaux cristallins. Ils fournissent une notation standardisée qui aide les cristallographes, les scientifiques des matériaux et les ingénieurs à communiquer sur des orientations cristallines spécifiques. Les indices de Miller sont essentiels pour analyser les motifs de diffraction des rayons X, comprendre la croissance cristalline, calculer l'espacement interplan et étudier diverses propriétés physiques qui dépendent de l'orientation cristallographique.

Comment gérer un plan qui est parallèle à l'un des axes ?

Lorsqu'un plan est parallèle à un axe, il n'intercepte jamais cet axe, donc l'intercept est considéré comme étant à l'infini. Dans la notation des indices de Miller, le réciproque de l'infini est zéro, donc l'indice de Miller correspondant devient zéro. Par exemple, un plan parallèle à l'axe y aurait des intercepts (a, ∞, c) et des indices de Miller (h,0,l).

Que signifient les indices de Miller négatifs ?

Les indices de Miller négatifs indiquent que le plan intercepte l'axe correspondant du côté négatif de l'origine. Dans la notation cristallographique, les indices négatifs sont généralement notés avec une barre au-dessus du nombre, comme (h̄kl). Les indices négatifs représentent des plans qui sont équivalents à leurs homologues positifs en termes de propriétés physiques, mais qui ont des orientations différentes.

Comment les indices de Miller se rapportent-ils à la structure cristalline ?

Les indices de Miller se rapportent directement à l'arrangement atomique dans une structure cristalline. L'espacement entre les plans avec des indices de Miller spécifiques (dhkl) dépend du système cristallin et des paramètres de réseau. Dans la diffraction des rayons X, ces plans agissent comme des plans de réflexion selon la loi de Bragg, produisant des motifs de diffraction caractéristiques qui révèlent la structure cristalline.

Quelle est la différence entre les indices de Miller et les indices de Miller-Bravais ?

Les indices de Miller utilisent trois entiers (h,k,l) et conviennent à la plupart des systèmes cristallins. Les indices de Miller-Bravais utilisent quatre entiers (h,k,i,l) et sont spécifiquement conçus pour les systèmes cristallins hexagonaux. Le quatrième indice, i, est redondant (i = -(h+k)) mais aide à maintenir la symétrie du système hexagonal et rend les plans équivalents plus facilement reconnaissables.

Comment calculer l'angle entre deux plans cristallins ?

L'angle θ entre deux plans avec des indices de Miller (h₁,k₁,l₁) et (h₂,k₂,l₂) dans un système cristallin cubique peut être calculé en utilisant :

$\cos\theta = \frac{h_1h_2 + k_1k_2 + l_1l_2}{\sqrt{(h_1^2 + k_1^2 + l_1^2)(h_2^2 + k_2^2 + l_2^2)}}$

Pour les systèmes non cubiques, le calcul est plus complexe et implique le tenseur métrique du système cristallin.

Les indices de Miller peuvent-ils être des fractions ?

Non, par convention, les indices de Miller sont toujours des entiers. Si le calcul donne initialement des fractions, elles sont converties en le plus petit ensemble d'entiers qui maintient le même rapport. Cela se fait en multipliant toutes les valeurs par le plus petit multiple commun des dénominateurs.

Comment déterminer les indices de Miller d'une face cristalline expérimentalement ?

Les indices de Miller des faces cristallines peuvent être déterminés expérimentalement en utilisant la diffraction des rayons X, la diffraction électronique ou la goniométrie optique. Dans la diffraction des rayons X, les angles auxquels la diffraction se produit sont liés à l'espacement interplan des plans cristallins par la loi de Bragg, qui peut être utilisée pour identifier les indices de Miller correspondants.

Quels sont les indices de Miller des plans cristallins courants ?

Certains plans cristallins courants et leurs indices de Miller incluent :

(100), (010), (001) : Faces cubiques principales
(110), (101), (011) : Faces diagonales dans les systèmes cubiques
(111) : Face octaédrique dans les systèmes cubiques
(112) : Plan de glissement commun dans les métaux à structure cubique centrée

Références

Miller, W. H. (1839). A Treatise on Crystallography. Cambridge : Pour J. & J.J. Deighton.
Ashcroft, N. W., & Mermin, N. D. (1976). Solid State Physics. Holt, Rinehart and Winston.
Hammond, C. (2015). The Basics of Crystallography and Diffraction (4e éd.). Oxford University Press.
Cullity, B. D., & Stock, S. R. (2014). Elements of X-ray Diffraction (3e éd.). Pearson Education.
Kittel, C. (2004). Introduction to Solid State Physics (8e éd.). Wiley.
Kelly, A., & Knowles, K. M. (2012). Crystallography and Crystal Defects (2e éd.). Wiley.
Union Internationale de Cristallographie. (2016). International Tables for Crystallography, Volume A: Space-group symmetry. Wiley.
Giacovazzo, C., Monaco, H. L., Artioli, G., Viterbo, D., Ferraris, G., Gilli, G., Zanotti, G., & Catti, M. (2011). Fundamentals of Crystallography (3e éd.). Oxford University Press.
Buerger, M. J. (1978). Elementary Crystallography: An Introduction to the Fundamental Geometrical Features of Crystals. MIT Press.
Tilley, R. J. (2006). Crystals and Crystal Structures. Wiley.

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