Miller Indices Kalkulator for Identifisering av Krystallplan

Beregn Miller-indekser fra krystallplanintersepter med dette brukervennlige verktøyet. Viktig for krystallografi, materialvitenskap og anvendelser innen faststofffysikk.

Miller Indices Kalkulator

Krystallplan Intercepter

Skriv inn intercepterne til krystallplanet med x-, y- og z-aksene. Bruk '0' for plan som er parallelle med en akse (uendelig intercept).

X-akse Intercept

Skriv inn et tall eller 0 for uendelig

Y-akse Intercept

Skriv inn et tall eller 0 for uendelig

Z-akse Intercept

Skriv inn et tall eller 0 for uendelig

Miller Indices

Miller-indeksene for dette planet er:

(1,1,1)

Kopier til utklippstavle

Visualisering

Hva er Miller Indices?

Miller-indekser er et notasjonssystem som brukes i krystallografi for å spesifisere plan og retninger i krystallgitter.

For å beregne Miller-indekser (h,k,l) fra intercepter (a,b,c):

1. Ta den gjensidige verdien av intercepterne: (1/a, 1/b, 1/c) 2. Konverter til det minste settet av heltall med samme forhold 3. Hvis et plan er parallelt med en akse (intercept = uendelig), er den tilsvarende Miller-indeksen 0

Negative indekser angis med en strek over tallet, f.eks. (h̄,k,l)
Notasjonen (hkl) representerer et spesifikt plan, mens {hkl} representerer en familie av ekvivalente plan
Retningsindekser skrives i firkantede parenteser [hkl], og familier av retninger betegnes med <hkl>

📚

Dokumentasjon

Miller Indices Kalkulator

Introduktion

Miller Indices Kalkulator er et kraftfuldt værktøj for krystallografer, materialeforskere og studerende til at bestemme Miller indekserne for krystalplaner. Miller indekser er et notationssystem, der anvendes i krystallografi til at specificere planer og retninger i krystalgitre. Denne kalkulator giver dig mulighed for nemt at konvertere skæringspunkterne af en krystalplan med koordinataksene til de tilsvarende Miller indekser, hvilket giver en standardiseret måde at identificere og kommunikere om specifikke krystalplaner.

Miller indekser er grundlæggende for at forstå krystalstrukturer og deres egenskaber. Ved at repræsentere planer med et simpelt sæt af tre heltal (h,k,l) gør Miller indekser det muligt for forskere at analysere røntgendiffraktionsmønstre, forudsige krystalvækstadfærd, beregne interplanarafstande og studere forskellige fysiske egenskaber, der afhænger af krystallografisk orientering.

Hvad er Miller Indekser?

Miller indekser er et sæt af tre heltal (h,k,l), der definerer en familie af parallelle planer i et krystalgitter. Disse indekser er afledt af de reciprokke værdier af de fraktionelle skæringspunkter, som et plan har med de krystallografiske akser. Notationen giver en standardiseret måde at identificere specifikke planer inden for en krystalstruktur.

Visuel Repræsentation af Miller Indekser

x y z

a=2 b=3 c=6

(3,2,1) Plan

Miller Indekser (3,2,1) Krystalplan

En 3D-visualisering af et krystalplan med Miller indekser (3,2,1). Planen skærer x-, y- og z-aksen ved punkterne 2, 3 og 6 henholdsvis, hvilket resulterer i Miller indekser (3,2,1) efter at have taget reciprokkerne og fundet det mindste sæt af heltal med samme forhold.

Formel til Beregning af Miller Indekser

For at beregne Miller indekserne (h,k,l) for en krystalplan, følg disse matematiske trin:

Bestem skæringspunkterne for planet med x-, y- og z-krystallografiske akser, hvilket giver værdierne a, b og c.
Tag de reciprokke værdier af disse skæringspunkter: 1/a, 1/b, 1/c.
Konverter disse reciprokker til det mindste sæt af heltal, der opretholder det samme forhold.
De resulterende tre heltal er Miller indekserne (h,k,l).

Matematisk kan dette udtrykkes som:

$h : k : l = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$

Hvor:

(h,k,l) er Miller indekserne
a, b, c er skæringspunkterne for planet med x-, y- og z-aksene, henholdsvis

Særlige Tilfælde og Konventioner

Flere særlige tilfælde og konventioner er vigtige at forstå:

Uendelige Skæringspunkter: Hvis et plan er parallelt med en akse, betragtes dets skæringspunkt som uendelig, og det tilsvarende Miller indeks bliver nul.
Negative Indekser: Hvis et plan skærer en akse på den negative side af oprindelsen, er det tilsvarende Miller indeks negativt, angivet med en streg over tallet i krystallografisk notation, f.eks. (h̄kl).
Brøk Skæringspunkter: Hvis skæringspunkterne er brøk, konverteres de til heltal ved at multiplicere med den mindste fælles multipel.
Forenkling: Miller indekser reduceres altid til det mindste sæt af heltal, der opretholder det samme forhold.

Trin-for-trin Guide til Brug af Kalkulatoren

Vores Miller Indices Kalkulator giver en ligetil måde at bestemme Miller indekserne for enhver krystalplan. Her er hvordan du bruger den:

Indtast Skæringspunkterne: Indtast værdierne, hvor planet skærer x-, y- og z-aksene.
- Brug positive tal for skæringspunkter på den positive side af oprindelsen.
- Brug negative tal for skæringspunkter på den negative side.
- Indtast "0" for planer, der er parallelle med en akse (uendeligt skæringspunkt).
Se Resultaterne: Kalkulatoren beregner automatisk og viser Miller indekserne (h,k,l) for det specificerede plan.
Visualiser Planen: Kalkulatoren inkluderer en 3D-visualisering for at hjælpe dig med at forstå orienteringen af planet inden for krystalgitteret.
Kopier Resultaterne: Brug knappen "Kopier til Udklipsholder" for nemt at overføre de beregnede Miller indekser til andre applikationer.

Eksempelberegning

Lad os gennemgå et eksempel:

Antag, at et plan skærer x-, y- og z-aksene ved punkterne 2, 3 og 6 henholdsvis.

Skæringspunkterne er (2, 3, 6).
Tag de reciprokke værdier: (1/2, 1/3, 1/6).
For at finde det mindste sæt af heltal med det samme forhold, multiplicer med den mindste fælles multipel af nævnerne (LCM af 2, 3, 6 = 6): (1/2 × 6, 1/3 × 6, 1/6 × 6) = (3, 2, 1).
Derfor er Miller indekserne (3,2,1).

Anvendelsesområder for Miller Indekser

Miller indekser har mange anvendelser på tværs af forskellige videnskabelige og ingeniørmæssige felter:

Krystallografi og Røntgendiffraktion

Miller indekser er essentielle for at fortolke røntgendiffraktionsmønstre. Afstanden mellem krystalplaner, identificeret ved deres Miller indekser, bestemmer de vinkler, hvormed røntgenstråler diffrakteres, i henhold til Braggs lov:

$n\lambda = 2d_{hkl}\sin\theta$

Hvor:

$n$ er et heltal
$\lambda$ er bølgelængden af røntgenstrålerne
$d_{hkl}$ er afstanden mellem planerne med Miller indekserne (h,k,l)
$\theta$ er indfaldsvinklen

Materialevidenskab og Ingeniørarbejde

Overfladeenergi Analyse: Forskellige krystallografiske planer har forskellige overfladeenergier, hvilket påvirker egenskaber som krystalvækst, katalyse og vedhæftning.
Mekaniske Egenskaber: Orienteringen af krystalplaner påvirker de mekaniske egenskaber såsom glidesystemer, kløvningsplaner og brudadfærd.
Halvlederfremstilling: I halvlederfremstilling vælges specifikke krystalplaner til epitaksial vækst og enhedsproduktion på grund af deres elektroniske egenskaber.
Teksturanalyse: Miller indekser hjælper med at karakterisere foretrukne orienteringer (tekstur) i polykrystallinske materialer, hvilket påvirker deres fysiske egenskaber.

Mineralogi og Geologi

Geologer bruger Miller indekser til at beskrive krystalflader og kløvningsplaner i mineraler, hvilket hjælper med identifikation og forståelse af dannelsesforhold.

Uddannelsesmæssige Anvendelser

Miller indekser er grundlæggende begreber, der undervises i materialeforskning, krystallografi og faststoffysik kurser, hvilket gør denne kalkulator til et værdifuldt uddannelsesværktøj.

Alternativer til Miller Indekser

Selvom Miller indekser er den mest udbredte notation for krystalplaner, findes der flere alternative systemer:

Miller-Bravais Indekser: En fire-indeks notation (h,k,i,l), der anvendes til hexagonale krystalsystemer, hvor i = -(h+k). Denne notation afspejler bedre symmetrien i hexagonale strukturer.
Weber Symboler: Bruges primært i ældre litteratur, især til at beskrive retninger i kubiske krystaller.
Direkte Gittervektorer: I nogle tilfælde beskrives planer ved hjælp af de direkte gittervektorer snarere end Miller indekser.
Wyckoff Positioner: Til at beskrive atompositioner inden for krystalstrukturer snarere end planer.

På trods af disse alternativer forbliver Miller indekser standardnotationen på grund af deres enkelhed og universelle anvendelighed på tværs af alle krystalsystemer.

Historie om Miller Indekser

Miller indekser systemet blev udviklet af den britiske mineralog og krystallograf William Hallowes Miller i 1839, offentliggjort i hans afhandling "A Treatise on Crystallography." Millers notation byggede videre på tidligere arbejde af Auguste Bravais og andre, men gav en mere elegant og matematisk konsistent tilgang.

Før Millers system blev der anvendt forskellige notationssystemer til at beskrive krystalflader, herunder Weiss-parametre og Naumann-symboler. Millers innovation var at bruge de reciprokke skæringspunkter, hvilket forenklede mange krystallografiske beregninger og gav en mere intuitiv repræsentation af parallelle planer.

Adoptionen af Miller indekser accelererede med opdagelsen af røntgendiffraktion af Max von Laue i 1912 og det efterfølgende arbejde af William Lawrence Bragg og William Henry Bragg. Deres forskning demonstrerede den praktiske nytte af Miller indekser i fortolkningen af diffraktionsmønstre og bestemmelse af krystalstrukturer.

Gennem det 20. århundrede, da krystallografi blev stadig vigtigere inden for materialeforskning, faststoffysik og biokemi, blev Miller indekser fast etableret som standardnotationen. I dag forbliver de essentielle i moderne materialekarakteriseringsteknikker, beregningskrystallografi og nanomaterialedesign.

Kodeeksempler til Beregning af Miller Indekser

1import math
2import numpy as np
3
4def calculate_miller_indices(intercepts):
5    """
6    Beregn Miller indekser fra skæringspunkter
7    
8    Args:
9        intercepts: Liste over tre skæringspunkter [a, b, c]
10        
11    Returns:
12        Liste over tre Miller indekser [h, k, l]
13    """
14    # Håndter uendelige skæringspunkter (parallelt med akse)
15    reciprocals = []
16    for intercept in intercepts:
17        if intercept == 0 or math.isinf(intercept):
18            reciprocals.append(0)
19        else:
20            reciprocals.append(1 / intercept)
21    
22    # Find ikke-nul værdier til GCD beregning
23    non_zero = [r for r in reciprocals if r != 0]
24    
25    if not non_zero:
26        return [0, 0, 0]
27    
28    # Skaler til rimelige heltal (undgå flydende punkt problemer)
29    scale = 1000
30    scaled = [round(r * scale) for r in non_zero]
31    
32    # Find GCD
33    gcd_value = np.gcd.reduce(scaled)
34    
35    # Konverter tilbage til mindste heltal
36    miller_indices = []
37    for r in reciprocals:
38        if r == 0:
39            miller_indices.append(0)
40        else:
41            miller_indices.append(round((r * scale) / gcd_value))
42    
43    return miller_indices
44
45# Eksempel på brug
46intercepts = [2, 3, 6]
47indices = calculate_miller_indices(intercepts)
48print(f"Miller indekser for skæringspunkter {intercepts}: {indices}")  # Output: [3, 2, 1]
49

1function gcd(a, b) {
2  a = Math.abs(a);
3  b = Math.abs(b);
4  
5  while (b !== 0) {
6    const temp = b;
7    b = a % b;
8    a = temp;
9  }
10  
11  return a;
12}
13
14function gcdMultiple(numbers) {
15  return numbers.reduce((result, num) => gcd(result, num), numbers[0]);
16}
17
18function calculateMillerIndices(intercepts) {
19  // Håndter uendelige skæringspunkter
20  const reciprocals = intercepts.map(intercept => {
21    if (intercept === 0 || !isFinite(intercept)) {
22      return 0;
23    }
24    return 1 / intercept;
25  });
26  
27  // Find ikke-nul værdier til GCD beregning
28  const nonZeroReciprocals = reciprocals.filter(val => val !== 0);
29  
30  if (nonZeroReciprocals.length === 0) {
31    return [0, 0, 0];
32  }
33  
34  // Skaler til heltal for at undgå flydende punkt problemer
35  const scale = 1000;
36  const scaled = nonZeroReciprocals.map(val => Math.round(val * scale));
37  
38  // Find GCD
39  const divisor = gcdMultiple(scaled);
40  
41  // Konverter til mindste heltal
42  const millerIndices = reciprocals.map(val => 
43    val === 0 ? 0 : Math.round((val * scale) / divisor)
44  );
45  
46  return millerIndices;
47}
48
49// Eksempel
50const intercepts = [2, 3, 6];
51const indices = calculateMillerIndices(intercepts);
52console.log(`Miller indekser for skæringspunkter ${intercepts}: (${indices.join(',')})`);
53// Output: Miller indekser for skæringspunkter 2,3,6: (3,2,1)
54

1import java.util.Arrays;
2
3public class MillerIndicesCalculator {
4    
5    public static int gcd(int a, int b) {
6        a = Math.abs(a);
7        b = Math.abs(b);
8        
9        while (b != 0) {
10            int temp = b;
11            b = a % b;
12            a = temp;
13        }
14        
15        return a;
16    }
17    
18    public static int gcdMultiple(int[] numbers) {
19        int result = numbers[0];
20        for (int i = 1; i < numbers.length; i++) {
21            result = gcd(result, numbers[i]);
22        }
23        return result;
24    }
25    
26    public static int[] calculateMillerIndices(double[] intercepts) {
27        double[] reciprocals = new double[intercepts.length];
28        
29        // Beregn reciprokker
30        for (int i = 0; i < intercepts.length; i++) {
31            if (intercepts[i] == 0 || Double.isInfinite(intercepts[i])) {
32                reciprocals[i] = 0;
33            } else {
34                reciprocals[i] = 1 / intercepts[i];
35            }
36        }
37        
38        // Tæl ikke-nul værdier
39        int nonZeroCount = 0;
40        for (double r : reciprocals) {
41            if (r != 0) nonZeroCount++;
42        }
43        
44        if (nonZeroCount == 0) {
45            return new int[]{0, 0, 0};
46        }
47        
48        // Skaler til heltal
49        int scale = 1000;
50        int[] scaled = new int[nonZeroCount];
51        int index = 0;
52        
53        for (double r : reciprocals) {
54            if (r != 0) {
55                scaled[index++] = (int) Math.round(r * scale);
56            }
57        }
58        
59        // Find GCD
60        int divisor = gcdMultiple(scaled);
61        
62        // Konverter til mindste heltal
63        int[] millerIndices = new int[reciprocals.length];
64        for (int i = 0; i < reciprocals.length; i++) {
65            if (reciprocals[i] == 0) {
66                millerIndices[i] = 0;
67            } else {
68                millerIndices[i] = (int) Math.round((reciprocals[i] * scale) / divisor);
69            }
70        }
71        
72        return millerIndices;
73    }
74    
75    public static void main(String[] args) {
76        double[] intercepts = {2, 3, 6};
77        int[] indices = calculateMillerIndices(intercepts);
78        
79        System.out.println("Miller indekser for skæringspunkter " + 
80                           Arrays.toString(intercepts) + ": " + 
81                           Arrays.toString(indices));
82        // Output: Miller indekser for skæringspunkter [2.0, 3.0, 6.0]: [3, 2, 1]
83    }
84}
85

1' Excel VBA Funktion til Beregning af Miller Indekser
2Function CalculateMillerIndices(x As Double, y As Double, z As Double) As String
3    Dim recipX As Double, recipY As Double, recipZ As Double
4    Dim nonZeroCount As Integer, i As Integer
5    Dim scale As Long, gcdVal As Long
6    Dim scaledVals() As Long
7    Dim millerH As Long, millerK As Long, millerL As Long
8    
9    ' Beregn reciprokker
10    If x = 0 Then
11        recipX = 0
12    Else
13        recipX = 1 / x
14    End If
15    
16    If y = 0 Then
17        recipY = 0
18    Else
19        recipY = 1 / y
20    End If
21    
22    If z = 0 Then
23        recipZ = 0
24    Else
25        recipZ = 1 / z
26    End If
27    
28    ' Tæl ikke-nul værdier
29    nonZeroCount = 0
30    If recipX <> 0 Then nonZeroCount = nonZeroCount + 1
31    If recipY <> 0 Then nonZeroCount = nonZeroCount + 1
32    If recipZ <> 0 Then nonZeroCount = nonZeroCount + 1
33    
34    If nonZeroCount = 0 Then
35        CalculateMillerIndices = "(0,0,0)"
36        Exit Function
37    End If
38    
39    ' Skaler til heltal
40    scale = 1000
41    ReDim scaledVals(1 To nonZeroCount)
42    i = 1
43    
44    If recipX <> 0 Then
45        scaledVals(i) = Round(recipX * scale)
46        i = i + 1
47    End If
48    
49    If recipY <> 0 Then
50        scaledVals(i) = Round(recipY * scale)
51        i = i + 1
52    End If
53    
54    If recipZ <> 0 Then
55        scaledVals(i) = Round(recipZ * scale)
56    End If
57    
58    ' Find GCD
59    gcdVal = scaledVals(1)
60    For i = 2 To nonZeroCount
61        gcdVal = GCD(gcdVal, scaledVals(i))
62    Next i
63    
64    ' Beregn Miller indekser
65    If recipX = 0 Then
66        millerH = 0
67    Else
68        millerH = Round((recipX * scale) / gcdVal)
69    End If
70    
71    If recipY = 0 Then
72        millerK = 0
73    Else
74        millerK = Round((recipY * scale) / gcdVal)
75    End If
76    
77    If recipZ = 0 Then
78        millerL = 0
79    Else
80        millerL = Round((recipZ * scale) / gcdVal)
81    End If
82    
83    CalculateMillerIndices = "(" & millerH & "," & millerK & "," & millerL & ")"
84End Function
85
86Function GCD(a As Long, b As Long) As Long
87    Dim temp As Long
88    
89    a = Abs(a)
90    b = Abs(b)
91    
92    Do While b <> 0
93        temp = b
94        b = a Mod b
95        a = temp
96    Loop
97    
98    GCD = a
99End Function
100
101' Brug i Excel:
102' =CalculateMillerIndices(2, 3, 6)
103' Resultat: (3,2,1)
104

1#include <iostream>
2#include <vector>
3#include <cmath>
4#include <numeric>
5#include <algorithm>
6
7// Beregn GCD af to tal
8int gcd(int a, int b) {
9    a = std::abs(a);
10    b = std::abs(b);
11    
12    while (b != 0) {
13        int temp = b;
14        b = a % b;
15        a = temp;
16    }
17    
18    return a;
19}
20
21// Beregn GCD af flere tal
22int gcdMultiple(const std::vector<int>& numbers) {
23    int result = numbers[0];
24    for (size_t i = 1; i < numbers.size(); ++i) {
25        result = gcd(result, numbers[i]);
26    }
27    return result;
28}
29
30// Beregn Miller indekser fra skæringspunkter
31std::vector<int> calculateMillerIndices(const std::vector<double>& intercepts) {
32    std::vector<double> reciprocals;
33    
34    // Beregn reciprokker
35    for (double intercept : intercepts) {
36        if (intercept == 0 || std::isinf(intercept)) {
37            reciprocals.push_back(0);
38        } else {
39            reciprocals.push_back(1.0 / intercept);
40        }
41    }
42    
43    // Find ikke-nul værdier
44    std::vector<double> nonZeroReciprocals;
45    for (double r : reciprocals) {
46        if (r != 0) {
47            nonZeroReciprocals.push_back(r);
48        }
49    }
50    
51    if (nonZeroReciprocals.empty()) {
52        return {0, 0, 0};
53    }
54    
55    // Skaler til heltal
56    const int scale = 1000;
57    std::vector<int> scaled;
58    for (double r : nonZeroReciprocals) {
59        scaled.push_back(std::round(r * scale));
60    }
61    
62    // Find GCD
63    int divisor = gcdMultiple(scaled);
64    
65    // Konverter til mindste heltal
66    std::vector<int> millerIndices;
67    for (double r : reciprocals) {
68        if (r == 0) {
69            millerIndices.push_back(0);
70        } else {
71            millerIndices.push_back(std::round((r * scale) / divisor));
72        }
73    }
74    
75    return millerIndices;
76}
77
78int main() {
79    std::vector<double> intercepts = {2, 3, 6};
80    std::vector<int> indices = calculateMillerIndices(intercepts);
81    
82    std::cout << "Miller indekser for skæringspunkter [";
83    for (size_t i = 0; i < intercepts.size(); ++i) {
84        std::cout << intercepts[i];
85        if (i < intercepts.size() - 1) std::cout << ", ";
86    }
87    std::cout << "]: (";
88    
89    for (size_t i = 0; i < indices.size(); ++i) {
90        std::cout << indices[i];
91        if (i < indices.size() - 1) std::cout << ",";
92    }
93    std::cout << ")" << std::endl;
94    
95    // Output: Miller indekser for skæringspunkter [2, 3, 6]: (3,2,1)
96    
97    return 0;
98}
99

Numeriske Eksempler

Her er nogle almindelige eksempler på beregning af Miller indekser:

Eksempel 1: Standard Case
- Skæringspunkter: (2, 3, 6)
- Reciprokker: (1/2, 1/3, 1/6)
- Multiplicer med LCM af nævnerne (6): (3, 2, 1)
- Miller indekser: (3,2,1)
Eksempel 2: Plan Parallelt med en Akse
- Skæringspunkter: (1, ∞, 2)
- Reciprokker: (1, 0, 1/2)
- Multiplicer med 2: (2, 0, 1)
- Miller indekser: (2,0,1)
Eksempel 3: Negative Skæringspunkter
- Skæringspunkter: (-1, 2, 3)
- Reciprokker: (-1, 1/2, 1/3)
- Multiplicer med 6: (-6, 3, 2)
- Miller indekser: (-6,3,2)
Eksempel 4: Brøk Skæringspunkter
- Skæringspunkter: (1/2, 1/3, 1/4)
- Reciprokker: (2, 3, 4)
- Allerede i heltalsform
- Miller indekser: (2,3,4)
Eksempel 5: Særligt Plan (100)
- Skæringspunkter: (1, ∞, ∞)
- Reciprokker: (1, 0, 0)
- Miller indekser: (1,0,0)

Ofte Stillede Spørgsmål

Hvad bruges Miller indekser til?

Miller indekser bruges til at identificere og beskrive planer og retninger i krystalgitre. De giver en standardiseret notation, der hjælper krystallografer, materialeforskere og ingeniører med at kommunikere om specifikke krystalorienteringer. Miller indekser er essentielle for at analysere røntgendiffraktionsmønstre, forstå krystalvækst, beregne interplanarafstande og studere forskellige fysiske egenskaber, der afhænger af krystallografisk orientering.

Hvordan håndterer jeg et plan, der er parallelt med en af akserne?

Når et plan er parallelt med en akse, skærer det aldrig den akse, så skæringspunktet betragtes som uendeligt. I Miller indekser notation er den reciprokke af uendelig nul, så det tilsvarende Miller indeks bliver nul. For eksempel ville et plan parallelt med y-aksen have skæringspunkter (a, ∞, c) og Miller indekser (h,0,l).

Hvad betyder negative Miller indekser?

Negative Miller indekser indikerer, at planet skærer den tilsvarende akse på den negative side af oprindelsen. I krystallografisk notation angives negative indekser typisk med en streg over tallet, såsom (h̄kl). Negative indekser repræsenterer planer, der er ækvivalente med deres positive modparter med hensyn til fysiske egenskaber, men har forskellige orienteringer.

Hvordan relaterer Miller indekser sig til krystalstruktur?

Miller indekser relaterer direkte til atomarrangementet i en krystalstruktur. Afstanden mellem planer med specifikke Miller indekser (dhkl) afhænger af krystalsystemet og gitterparametrene. I røntgendiffraktion fungerer disse planer som refleksionsplaner i henhold til Braggs lov, hvilket producerer karakteristiske diffraktionsmønstre, der afslører krystalstrukturen.

Hvad er forskellen mellem Miller indekser og Miller-Bravais indekser?

Miller indekser bruger tre heltal (h,k,l) og er velegnede til de fleste krystalsystemer. Miller-Bravais indekser bruger fire heltal (h,k,i,l) og er specifikt designet til hexagonale krystalsystemer. Den fjerde indeks, i, er overflødig (i = -(h+k)) men hjælper med at opretholde symmetrien i det hexagonale system og gør ækvivalente planer lettere genkendelige.

Hvordan beregner jeg vinklen mellem to krystalplaner?

Vinklen θ mellem to planer med Miller indekser (h₁,k₁,l₁) og (h₂,k₂,l₂) i et kubisk krystalsystem kan beregnes ved hjælp af:

$\cos\theta = \frac{h_1h_2 + k_1k_2 + l_1l_2}{\sqrt{(h_1^2 + k_1^2 + l_1^2)(h_2^2 + k_2^2 + l_2^2)}}$

For ikke-kubiske systemer er beregningen mere kompleks og involverer den metriske tensor af krystalsystemet.

Kan Miller indekser være brøker?

Nej, efter konvention er Miller indekser altid heltal. Hvis beregningen oprindeligt giver brøker, konverteres de til det mindste sæt af heltal, der opretholder det samme forhold. Dette gøres ved at multiplicere alle værdier med den mindste fælles multipel af nævnerne.

Hvordan bestemmer jeg Miller indekserne for en krystalflade eksperimentelt?

Miller indekserne for krystalflader kan bestemmes eksperimentelt ved hjælp af røntgendiffraktion, elektrondiffraktion eller optisk goniometri. I røntgendiffraktion er de vinkler, hvormed diffraktion finder sted, relateret til d-afstanden af krystalplaner gennem Braggs lov, som kan bruges til at identificere de tilsvarende Miller indekser.

Hvad er Miller indekserne for almindelige krystalplaner?

Nogle almindelige krystalplaner og deres Miller indekser inkluderer:

(100), (010), (001): Primære kubiske flader
(110), (101), (011): Diagonale flader i kubiske systemer
(111): Oktaedrisk flade i kubiske systemer
(112): Almindeligt glidende plan i krop-centered kubiske metaller

Referencer

Miller, W. H. (1839). A Treatise on Crystallography. Cambridge: For J. & J.J. Deighton.
Ashcroft, N. W., & Mermin, N. D. (1976). Solid State Physics. Holt, Rinehart and Winston.
Hammond, C. (2015). The Basics of Crystallography and Diffraction (4. udg.). Oxford University Press.
Cullity, B. D., & Stock, S. R. (2014). Elements of X-ray Diffraction (3. udg.). Pearson Education.
Kittel, C. (2004). Introduction to Solid State Physics (8. udg.). Wiley.
Kelly, A., & Knowles, K. M. (2012). Crystallography and Crystal Defects (2. udg.). Wiley.
International Union of Crystallography. (2016). International Tables for Crystallography, Volume A: Space-group symmetry. Wiley.
Giacovazzo, C., Monaco, H. L., Artioli, G., Viterbo, D., Ferraris, G., Gilli, G., Zanotti, G., & Catti, M. (2011). Fundamentals of Crystallography (3. udg.). Oxford University Press.
Buerger, M. J. (1978). Elementary Crystallography: An Introduction to the Fundamental Geometrical Features of Crystals. MIT Press.
Tilley, R. J. (2006). Crystals and Crystal Structures. Wiley.

Prøv vores Miller Indices Kalkulator i dag for hurtigt og præcist at bestemme Miller indekserne for enhver krystalplan. Uanset om du er studerende, der lærer om krystallografi, forsker, der analyserer materialestrukturer, eller ingeniør, der designer nye materialer, vil dette værktøj hjælpe dig med at identificere og forstå krystalplaner med lethed.

🔗

Relaterte verktøy

Oppdag flere verktøy som kan være nyttige for arbeidsflyten din

Miller Indices Kalkulator for Identifisering av Krystallplan

Miller Indices Kalkulator

Krystallplan Intercepter

Miller Indices

Visualisering

Hva er Miller Indices?

Dokumentasjon

Miller Indices Kalkulator

Introduktion

Hvad er Miller Indekser?

Visuel Repræsentation af Miller Indekser

Formel til Beregning af Miller Indekser

Særlige Tilfælde og Konventioner

Trin-for-trin Guide til Brug af Kalkulatoren

Eksempelberegning

Anvendelsesområder for Miller Indekser

Krystallografi og Røntgendiffraktion

Materialevidenskab og Ingeniørarbejde

Mineralogi og Geologi

Uddannelsesmæssige Anvendelser

Alternativer til Miller Indekser

Historie om Miller Indekser

Kodeeksempler til Beregning af Miller Indekser

Numeriske Eksempler

Ofte Stillede Spørgsmål

Hvad bruges Miller indekser til?

Hvordan håndterer jeg et plan, der er parallelt med en af akserne?

Hvad betyder negative Miller indekser?

Hvordan relaterer Miller indekser sig til krystalstruktur?

Hvad er forskellen mellem Miller indekser og Miller-Bravais indekser?

Hvordan beregner jeg vinklen mellem to krystalplaner?

Kan Miller indekser være brøker?

Hvordan bestemmer jeg Miller indekserne for en krystalflade eksperimentelt?

Hvad er Miller indekserne for almindelige krystalplaner?

Referencer

Relaterte verktøy

Six Sigma Kalkulator: Mål Prosesskvaliteten Din

Molekylvekt Kalkulator - Gratis Kjemisk Formel Verktøy

Binomisk Fordelingskalkulator for Sannsynlighetsberegning

Gammafordeling Kalkulator for Statistisk Analyse og Visualisering

Betongsøyle Kalkulator: Volum & Antall Sekker Nødvendig

Tidsintervall Kalkulator: Finn tid mellom to datoer