Kalkulator Indeksów Millera do Identyfikacji Płaszczyzn Kryształowych
Oblicz indeksy Millera na podstawie przecięć płaszczyzn kryształowych za pomocą tego łatwego w użyciu narzędzia. Niezbędne w krystalografii, naukach materiałowych i zastosowaniach fizyki ciała stałego.
Kalkulator Indeksów Millera
Przecięcia Płaszczyzny Kryształu
Wprowadź przecięcia płaszczyzny kryształu z osiami x, y i z. Użyj '0' dla płaszczyzn równoległych do osi (przecięcie w nieskończoności).
Wprowadź liczbę lub 0 dla nieskończoności
Wprowadź liczbę lub 0 dla nieskończoności
Wprowadź liczbę lub 0 dla nieskończoności
Indeksy Millera
Indeksy Millera dla tej płaszczyzny to:
Wizualizacja
Czym są Indeksy Millera?
Indeksy Millera to system notacji używany w krystalografii do określania płaszczyzn i kierunków w sieciach krystalicznych.
Aby obliczyć indeksy Millera (h,k,l) z przecięć (a,b,c):
1. Weź odwrotności przecięć: (1/a, 1/b, 1/c) 2. Przekształć na najmniejszy zbiór liczb całkowitych o tej samej proporcji 3. Jeśli płaszczyzna jest równoległa do osi (przecięcie = nieskończoność), jej odpowiadający indeks Millera to 0
- Indeksy ujemne są oznaczane kreską nad liczbą, np. (h̄,k,l)
- Notacja (hkl) reprezentuje konkretną płaszczyznę, podczas gdy {hkl} reprezentuje rodzinę równoważnych płaszczyzn
- Indeksy kierunkowe są zapisane w nawiasach kwadratowych [hkl], a rodziny kierunków są oznaczone przez <hkl>
Dokumentacja
Kalkulator Indeksów Millera
Wprowadzenie
Kalkulator Indeksów Millera to potężne narzędzie dla krystalografów, naukowców zajmujących się materiałami i studentów, które pozwala określić indeksy Millera płaszczyzn kryształowych. Indeksy Millera to system notacji używany w krystalografii do określania płaszczyzn i kierunków w sieciach krystalicznych. Ten kalkulator pozwala łatwo przekształcić przecięcia płaszczyzny kryształowej z osiami współrzędnych w odpowiadające indeksy Millera, zapewniając ustandaryzowany sposób identyfikacji i komunikacji na temat konkretnych płaszczyzn kryształowych.
Indeksy Millera są fundamentalne dla zrozumienia struktur kryształowych i ich właściwości. Reprezentując płaszczyzny za pomocą prostego zestawu trzech liczb całkowitych (h,k,l), indeksy Millera umożliwiają naukowcom analizowanie wzorców dyfrakcji rentgenowskiej, przewidywanie zachowań wzrostu kryształów, obliczanie odległości międzypłaszczyznowych oraz badanie różnych właściwości fizycznych, które zależą od orientacji krystalograficznej.
Czym są Indeksy Millera?
Indeksy Millera to zestaw trzech liczb całkowitych (h,k,l), które definiują rodzinę równoległych płaszczyzn w sieci krystalicznej. Te indeksy są wyprowadzane z odwrotności ułamkowych przecięć, które płaszczyzna wykonuje z osiami krystalograficznymi. Notacja ta zapewnia ustandaryzowany sposób identyfikacji konkretnych płaszczyzn w strukturze kryształu.
Wizualna Reprezentacja Indeksów Millera
Wzór na Obliczanie Indeksów Millera
Aby obliczyć indeksy Millera (h,k,l) płaszczyzny kryształowej, wykonaj następujące kroki matematyczne:
- Określ przecięcia płaszczyzny z osiami x, y i z, dając wartości a, b i c.
- Weź odwrotności tych przecięć: 1/a, 1/b, 1/c.
- Przekształć te odwrotności do najmniejszego zestawu liczb całkowitych, które zachowują tę samą proporcję.
- Otrzymane trzy liczby całkowite to indeksy Millera (h,k,l).
Matematycznie można to wyrazić jako:
Gdzie:
- (h,k,l) to indeksy Millera
- a, b, c to przecięcia płaszczyzny z osiami x, y i z, odpowiednio
Szczególne Przypadki i Konwencje
Kilka szczególnych przypadków i konwencji jest ważnych do zrozumienia:
-
Przecięcia w Nieskończoności: Jeśli płaszczyzna jest równoległa do osi, jej przecięcie uważane jest za nieskończoność, a odpowiadający indeks Millera staje się zerowy.
-
Indeksy Ujemne: Jeśli płaszczyzna przecina oś po stronie ujemnej początku, odpowiadający indeks Millera jest ujemny, oznaczony kreską nad liczbą w notacji krystalograficznej, np. (h̄kl).
-
Ułamkowe Przecięcia: Jeśli przecięcia są ułamkowe, przekształca się je na liczby całkowite, mnożąc przez najmniejszą wspólną wielokrotność.
-
Uproszczenie: Indeksy Millera zawsze są redukowane do najmniejszego zestawu liczb całkowitych, które zachowują tę samą proporcję.
Przewodnik Krok po Kroku do Użycia Kalkulatora
Nasz Kalkulator Indeksów Millera oferuje prosty sposób na określenie indeksów Millera dla dowolnej płaszczyzny kryształowej. Oto jak go używać:
-
Wprowadź Przecięcia: Wprowadź wartości, w których płaszczyzna przecina osie x, y i z.
- Użyj dodatnich liczb dla przecięć po dodatniej stronie początku.
- Użyj liczb ujemnych dla przecięć po stronie ujemnej.
- Wprowadź "0" dla płaszczyzn, które są równoległe do osi (przecięcie w nieskończoności).
-
Zobacz Wyniki: Kalkulator automatycznie obliczy i wyświetli indeksy Millera (h,k,l) dla określonej płaszczyzny.
-
Wizualizuj Płaszczyznę: Kalkulator zawiera wizualizację 3D, aby pomóc Ci zrozumieć orientację płaszczyzny w sieci kryształowej.
-
Skopiuj Wyniki: Użyj przycisku "Kopiuj do schowka", aby łatwo przenieść obliczone indeksy Millera do innych aplikacji.
Przykład Obliczenia
Przejdźmy przez przykład:
Załóżmy, że płaszczyzna przecina osie x, y i z w punktach 2, 3 i 6 odpowiednio.
- Przecięcia to (2, 3, 6).
- Biorąc odwrotności: (1/2, 1/3, 1/6).
- Aby znaleźć najmniejszy zestaw liczb całkowitych o tej samej proporcji, pomnóż przez najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników (LCM z 2, 3, 6 = 6): (1/2 × 6, 1/3 × 6, 1/6 × 6) = (3, 2, 1).
- Dlatego indeksy Millera to (3,2,1).
Zastosowania Indeksów Millera
Indeksy Millera mają liczne zastosowania w różnych dziedzinach nauki i inżynierii:
Krystalografia i Dyfrakcja Rentgenowska
Indeksy Millera są niezbędne do interpretacji wzorców dyfrakcji rentgenowskiej. Odległość między płaszczyznami kryształowymi, identyfikowanymi przez ich indeksy Millera, determinuje kąty, pod jakimi promienie rentgenowskie są dyfraktowane, zgodnie z prawem Bragga:
Gdzie:
- to liczba całkowita
- to długość fali promieniowania rentgenowskiego
- to odległość między płaszczyznami o indeksach Millera (h,k,l)
- to kąt padania
Nauka o Materiałach i Inżynieria
-
Analiza Energii Powierzchni: Różne płaszczyzny krystalograficzne mają różne energie powierzchni, co wpływa na właściwości takie jak wzrost kryształów, kataliza i adhezja.
-
Właściwości Mechaniczne: Orientacja płaszczyzn kryształowych wpływa na właściwości mechaniczne, takie jak systemy przesuwne, płaszczyzny łamania i zachowanie pęknięć.
-
Produkcja Półprzewodników: W produkcji półprzewodników wybiera się konkretne płaszczyzny kryształowe do wzrostu epitaksjalnego i wytwarzania urządzeń ze względu na ich właściwości elektroniczne.
-
Analiza Tekstury: Indeksy Millera pomagają charakteryzować preferowane orientacje (teksturę) w materiałach polikrystalicznych, co wpływa na ich właściwości fizyczne.
Mineralogia i Geologia
Geolodzy używają indeksów Millera do opisywania powierzchni kryształów i płaszczyzn łamania w minerałach, co pomaga w identyfikacji i zrozumieniu warunków formowania.
Zastosowania Edukacyjne
Indeksy Millera to podstawowe pojęcia nauczane na kursach krystalografii, nauki o materiałach i fizyki ciała stałego, co czyni ten kalkulator cennym narzędziem edukacyjnym.
Alternatywy dla Indeksów Millera
Chociaż indeksy Millera są najczęściej używaną notacją dla płaszczyzn kryształowych, istnieje kilka alternatywnych systemów:
-
Indeksy Millera-Bravaisa: Czteronotacyjna notacja (h,k,i,l) używana dla heksagonalnych układów krystalicznych, gdzie i = -(h+k). Ta notacja lepiej odzwierciedla symetrię struktur heksagonalnych.
-
Symbole Webera: Używane głównie w starszej literaturze, szczególnie do opisywania kierunków w kryształach sześciennych.
-
Bezpośrednie Wektory Sieci: W niektórych przypadkach płaszczyzny opisuje się za pomocą bezpośrednich wektorów sieci zamiast indeksów Millera.
-
Pozycje Wyckoffa: Do opisywania pozycji atomowych w strukturach kryształowych, a nie płaszczyzn.
Pomimo tych alternatyw, indeksy Millera pozostają standardową notacją z powodu swojej prostoty i uniwersalnej zastosowalności w wszystkich układach krystalicznych.
Historia Indeksów Millera
System indeksów Millera został opracowany przez brytyjskiego mineraloga i krystalografa Williama Hallowesa Millera w 1839 roku, opublikowany w jego traktacie "A Treatise on Crystallography". Notacja Millera opierała się na wcześniejszej pracy Auguste'a Bravaisa i innych, ale zapewniała bardziej eleganckie i matematycznie spójne podejście.
Przed systemem Millera używano różnych notacji do opisywania powierzchni kryształowych, w tym parametrów Weiss'a i symboli Naumanna. Innowacją Millera było użycie odwrotności przecięć, co uprościło wiele obliczeń krystalograficznych i zapewniło bardziej intuicyjną reprezentację równoległych płaszczyzn.
Przyjęcie indeksów Millera przyspieszyło po odkryciu dyfrakcji rentgenowskiej przez Maxa von Laue w 1912 roku oraz późniejszej pracy Williama Lawrence'a Bragga i Williama Henry'ego Bragga. Ich badania wykazały praktyczne zastosowanie indeksów Millera w interpretacji wzorców dyfrakcji i określaniu struktur kryształowych.
W ciągu XX wieku, gdy krystalografia stała się coraz ważniejsza w nauce o materiałach, fizyce ciała stałego i biochemii, indeksy Millera stały się mocno ugruntowane jako standardowa notacja. Dziś pozostają niezbędne w nowoczesnych technikach charakteryzacji materiałów, obliczeniowej krystalografii i projektowaniu nanomateriałów.
Przykłady Kodów do Obliczania Indeksów Millera
1import math
2import numpy as np
3
4def calculate_miller_indices(intercepts):
5 """
6 Oblicz indeksy Millera z przecięć
7
8 Args:
9 intercepts: Lista trzech przecięć [a, b, c]
10
11 Returns:
12 Lista trzech indeksów Millera [h, k, l]
13 """
14 # Obsługuje przecięcia w nieskończoności (równoległe do osi)
15 reciprocals = []
16 for intercept in intercepts:
17 if intercept == 0 or math.isinf(intercept):
18 reciprocals.append(0)
19 else:
20 reciprocals.append(1 / intercept)
21
22 # Znajdź wartości różne od zera do obliczeń GCD
23 non_zero = [r for r in reciprocals if r != 0]
24
25 if not non_zero:
26 return [0, 0, 0]
27
28 # Skala do rozsądnych liczb całkowitych (unikanie problemów z liczbami zmiennoprzecinkowymi)
29 scale = 1000
30 scaled = [round(r * scale) for r in non_zero]
31
32 # Znajdź GCD
33 gcd_value = np.gcd.reduce(scaled)
34
35 # Przekształć z powrotem do najmniejszych liczb całkowitych
36 miller_indices = []
37 for r in reciprocals:
38 if r == 0:
39 miller_indices.append(0)
40 else:
41 miller_indices.append(round((r * scale) / gcd_value))
42
43 return miller_indices
44
45# Przykład użycia
46intercepts = [2, 3, 6]
47indices = calculate_miller_indices(intercepts)
48print(f"Indeksy Millera dla przecięć {intercepts}: {indices}") # Wynik: [3, 2, 1]
491function gcd(a, b) {
2 a = Math.abs(a);
3 b = Math.abs(b);
4
5 while (b !== 0) {
6 const temp = b;
7 b = a % b;
8 a = temp;
9 }
10
11 return a;
12}
13
14function gcdMultiple(numbers) {
15 return numbers.reduce((result, num) => gcd(result, num), numbers[0]);
16}
17
18function calculateMillerIndices(intercepts) {
19 // Obsługuje przecięcia w nieskończoności
20 const reciprocals = intercepts.map(intercept => {
21 if (intercept === 0 || !isFinite(intercept)) {
22 return 0;
23 }
24 return 1 / intercept;
25 });
26
27 // Znajdź wartości różne od zera do obliczeń GCD
28 const nonZeroReciprocals = reciprocals.filter(val => val !== 0);
29
30 if (nonZeroReciprocals.length === 0) {
31 return [0, 0, 0];
32 }
33
34 // Skala do liczb całkowitych, aby uniknąć problemów z liczbami zmiennoprzecinkowymi
35 const scale = 1000;
36 const scaled = nonZeroReciprocals.map(val => Math.round(val * scale));
37
38 // Znajdź GCD
39 const divisor = gcdMultiple(scaled);
40
41 // Przekształć do najmniejszych liczb całkowitych
42 const millerIndices = reciprocals.map(val =>
43 val === 0 ? 0 : Math.round((val * scale) / divisor)
44 );
45
46 return millerIndices;
47}
48
49// Przykład
50const intercepts = [2, 3, 6];
51const indices = calculateMillerIndices(intercepts);
52console.log(`Indeksy Millera dla przecięć ${intercepts}: (${indices.join(',')})`);
53// Wynik: Indeksy Millera dla przecięć 2,3,6: (3,2,1)
541import java.util.Arrays;
2
3public class MillerIndicesCalculator {
4
5 public static int gcd(int a, int b) {
6 a = Math.abs(a);
7 b = Math.abs(b);
8
9 while (b != 0) {
10 int temp = b;
11 b = a % b;
12 a = temp;
13 }
14
15 return a;
16 }
17
18 public static int gcdMultiple(int[] numbers) {
19 int result = numbers[0];
20 for (int i = 1; i < numbers.length; i++) {
21 result = gcd(result, numbers[i]);
22 }
23 return result;
24 }
25
26 public static int[] calculateMillerIndices(double[] intercepts) {
27 double[] reciprocals = new double[intercepts.length];
28
29 // Oblicz odwrotności
30 for (int i = 0; i < intercepts.length; i++) {
31 if (intercepts[i] == 0 || Double.isInfinite(intercepts[i])) {
32 reciprocals[i] = 0;
33 } else {
34 reciprocals[i] = 1 / intercepts[i];
35 }
36 }
37
38 // Policz wartości różne od zera
39 int nonZeroCount = 0;
40 for (double r : reciprocals) {
41 if (r != 0) nonZeroCount++;
42 }
43
44 if (nonZeroCount == 0) {
45 return new int[]{0, 0, 0};
46 }
47
48 // Skala do liczb całkowitych
49 int scale = 1000;
50 int[] scaled = new int[nonZeroCount];
51 int index = 0;
52
53 for (double r : reciprocals) {
54 if (r != 0) {
55 scaled[index++] = (int) Math.round(r * scale);
56 }
57 }
58
59 // Znajdź GCD
60 int divisor = gcdMultiple(scaled);
61
62 // Przekształć do najmniejszych liczb całkowitych
63 int[] millerIndices = new int[reciprocals.length];
64 for (int i = 0; i < reciprocals.length; i++) {
65 if (reciprocals[i] == 0) {
66 millerIndices[i] = 0;
67 } else {
68 millerIndices[i] = (int) Math.round((reciprocals[i] * scale) / divisor);
69 }
70 }
71
72 return millerIndices;
73 }
74
75 public static void main(String[] args) {
76 double[] intercepts = {2, 3, 6};
77 int[] indices = calculateMillerIndices(intercepts);
78
79 System.out.println("Indeksy Millera dla przecięć " +
80 Arrays.toString(intercepts) + ": " +
81 Arrays.toString(indices));
82 // Wynik: Indeksy Millera dla przecięć [2.0, 3.0, 6.0]: [3, 2, 1]
83 }
84}
851' Funkcja VBA w Excelu do obliczania Indeksów Millera
2Function CalculateMillerIndices(x As Double, y As Double, z As Double) As String
3 Dim recipX As Double, recipY As Double, recipZ As Double
4 Dim nonZeroCount As Integer, i As Integer
5 Dim scale As Long, gcdVal As Long
6 Dim scaledVals() As Long
7 Dim millerH As Long, millerK As Long, millerL As Long
8
9 ' Oblicz odwrotności
10 If x = 0 Then
11 recipX = 0
12 Else
13 recipX = 1 / x
14 End If
15
16 If y = 0 Then
17 recipY = 0
18 Else
19 recipY = 1 / y
20 End If
21
22 If z = 0 Then
23 recipZ = 0
24 Else
25 recipZ = 1 / z
26 End If
27
28 ' Policz wartości różne od zera
29 nonZeroCount = 0
30 If recipX <> 0 Then nonZeroCount = nonZeroCount + 1
31 If recipY <> 0 Then nonZeroCount = nonZeroCount + 1
32 If recipZ <> 0 Then nonZeroCount = nonZeroCount + 1
33
34 If nonZeroCount = 0 Then
35 CalculateMillerIndices = "(0,0,0)"
36 Exit Function
37 End If
38
39 ' Skala do liczb całkowitych
40 scale = 1000
41 ReDim scaledVals(1 To nonZeroCount)
42 i = 1
43
44 If recipX <> 0 Then
45 scaledVals(i) = Round(recipX * scale)
46 i = i + 1
47 End If
48
49 If recipY <> 0 Then
50 scaledVals(i) = Round(recipY * scale)
51 i = i + 1
52 End If
53
54 If recipZ <> 0 Then
55 scaledVals(i) = Round(recipZ * scale)
56 End If
57
58 ' Znajdź GCD
59 gcdVal = scaledVals(1)
60 For i = 2 To nonZeroCount
61 gcdVal = GCD(gcdVal, scaledVals(i))
62 Next i
63
64 ' Oblicz Indeksy Millera
65 If recipX = 0 Then
66 millerH = 0
67 Else
68 millerH = Round((recipX * scale) / gcdVal)
69 End If
70
71 If recipY = 0 Then
72 millerK = 0
73 Else
74 millerK = Round((recipY * scale) / gcdVal)
75 End If
76
77 If recipZ = 0 Then
78 millerL = 0
79 Else
80 millerL = Round((recipZ * scale) / gcdVal)
81 End If
82
83 CalculateMillerIndices = "(" & millerH & "," & millerK & "," & millerL & ")"
84End Function
85
86Function GCD(a As Long, b As Long) As Long
87 Dim temp As Long
88
89 a = Abs(a)
90 b = Abs(b)
91
92 Do While b <> 0
93 temp = b
94 b = a Mod b
95 a = temp
96 Loop
97
98 GCD = a
99End Function
100
101' Użycie w Excelu:
102' =CalculateMillerIndices(2, 3, 6)
103' Wynik: (3,2,1)
1041#include <iostream>
2#include <vector>
3#include <cmath>
4#include <numeric>
5#include <algorithm>
6
7// Oblicz GCD dwóch liczb
8int gcd(int a, int b) {
9 a = std::abs(a);
10 b = std::abs(b);
11
12 while (b != 0) {
13 int temp = b;
14 b = a % b;
15 a = temp;
16 }
17
18 return a;
19}
20
21// Oblicz GCD wielu liczb
22int gcdMultiple(const std::vector<int>& numbers) {
23 int result = numbers[0];
24 for (size_t i = 1; i < numbers.size(); ++i) {
25 result = gcd(result, numbers[i]);
26 }
27 return result;
28}
29
30// Oblicz indeksy Millera z przecięć
31std::vector<int> calculateMillerIndices(const std::vector<double>& intercepts) {
32 std::vector<double> reciprocals;
33
34 // Oblicz odwrotności
35 for (double intercept : intercepts) {
36 if (intercept == 0 || std::isinf(intercept)) {
37 reciprocals.push_back(0);
38 } else {
39 reciprocals.push_back(1.0 / intercept);
40 }
41 }
42
43 // Znajdź wartości różne od zera
44 std::vector<double> nonZeroReciprocals;
45 for (double r : reciprocals) {
46 if (r != 0) {
47 nonZeroReciprocals.push_back(r);
48 }
49 }
50
51 if (nonZeroReciprocals.empty()) {
52 return {0, 0, 0};
53 }
54
55 // Skala do liczb całkowitych
56 const int scale = 1000;
57 std::vector<int> scaled;
58 for (double r : nonZeroReciprocals) {
59 scaled.push_back(std::round(r * scale));
60 }
61
62 // Znajdź GCD
63 int divisor = gcdMultiple(scaled);
64
65 // Przekształć do najmniejszych liczb całkowitych
66 std::vector<int> millerIndices;
67 for (double r : reciprocals) {
68 if (r == 0) {
69 millerIndices.push_back(0);
70 } else {
71 millerIndices.push_back(std::round((r * scale) / divisor));
72 }
73 }
74
75 return millerIndices;
76}
77
78int main() {
79 std::vector<double> intercepts = {2, 3, 6};
80 std::vector<int> indices = calculateMillerIndices(intercepts);
81
82 std::cout << "Indeksy Millera dla przecięć [";
83 for (size_t i = 0; i < intercepts.size(); ++i) {
84 std::cout << intercepts[i];
85 if (i < intercepts.size() - 1) std::cout << ", ";
86 }
87 std::cout << "]: (";
88
89 for (size_t i = 0; i < indices.size(); ++i) {
90 std::cout << indices[i];
91 if (i < indices.size() - 1) std::cout << ",";
92 }
93 std::cout << ")" << std::endl;
94
95 // Wynik: Indeksy Millera dla przecięć [2, 3, 6]: (3,2,1)
96
97 return 0;
98}
99Przykłady Liczbowe
Oto kilka powszechnych przykładów obliczeń indeksów Millera:
-
Przykład 1: Standardowy Przypadek
- Przecięcia: (2, 3, 6)
- Odwrotności: (1/2, 1/3, 1/6)
- Pomnóż przez LCM mianowników (6): (3, 2, 1)
- Indeksy Millera: (3,2,1)
-
Przykład 2: Płaszczyzna Równoległa do Osi
- Przecięcia: (1, ∞, 2)
- Odwrotności: (1, 0, 1/2)
- Pomnóż przez 2: (2, 0, 1)
- Indeksy Millera: (2,0,1)
-
Przykład 3: Ujemne Przecięcia
- Przecięcia: (-1, 2, 3)
- Odwrotności: (-1, 1/2, 1/3)
- Pomnóż przez 6: (-6, 3, 2)
- Indeksy Millera: (-6,3,2)
-
Przykład 4: Ułamkowe Przecięcia
- Przecięcia: (1/2, 1/3, 1/4)
- Odwrotności: (2, 3, 4)
- Już w formie całkowitej
- Indeksy Millera: (2,3,4)
-
Przykład 5: Szczególna Płaszczyzna (100)
- Przecięcia: (1, ∞, ∞)
- Odwrotności: (1, 0, 0)
- Indeksy Millera: (1,0,0)
Często Zadawane Pytania
Do czego służą indeksy Millera?
Indeksy Millera są używane do identyfikacji i opisywania płaszczyzn oraz kierunków w sieciach krystalicznych. Zapewniają ustandaryzowaną notację, która pomaga krystalografom, naukowcom zajmującym się materiałami i inżynierom komunikować się na temat konkretnych orientacji kryształów. Indeksy Millera są niezbędne do analizy wzorców dyfrakcji rentgenowskiej, zrozumienia wzrostu kryształów, obliczania odległości międzypłaszczyznowych oraz badania różnych właściwości fizycznych, które zależą od orientacji krystalograficznej.
Jak obsłużyć płaszczyznę, która jest równoległa do jednej z osi?
Gdy płaszczyzna jest równoległa do osi, nigdy nie przecina tej osi, więc przecięcie uważane jest za nieskończoność. W notacji indeksów Millera odwrotność nieskończoności to zero, więc odpowiadający indeks Millera staje się zerowy. Na przykład, płaszczyzna równoległa do osi y miałaby przecięcia (a, ∞, c) i indeksy Millera (h,0,l).
Co oznaczają ujemne indeksy Millera?
Ujemne indeksy Millera wskazują, że płaszczyzna przecina odpowiadającą oś po stronie ujemnej początku. W notacji krystalograficznej ujemne indeksy zazwyczaj oznaczane są kreską nad liczbą, np. (h̄kl). Ujemne indeksy reprezentują płaszczyzny, które są równoważne swoim dodatnim odpowiednikom pod względem właściwości fizycznych, ale mają różne orientacje.
Jak indeksy Millera odnoszą się do struktury kryształu?
Indeksy Millera bezpośrednio odnoszą się do rozmieszczenia atomów w strukturze kryształu. Odległość między płaszczyznami o konkretnych indeksach Millera (dhkl) zależy od układu krystalicznego i parametrów sieci. W dyfrakcji rentgenowskiej te płaszczyzny działają jako płaszczyzny odbicia zgodnie z prawem Bragga, produkując charakterystyczne wzory dyfrakcji, które ujawniają strukturę kryształu.
Jaka jest różnica między indeksami Millera a indeksami Millera-Bravaisa?
Indeksy Millera używają trzech liczb całkowitych (h,k,l) i są odpowiednie dla większości układów krystalicznych. Indeksy Millera-Bravaisa używają czterech liczb całkowitych (h,k,i,l) i są specjalnie zaprojektowane dla heksagonalnych układów krystalicznych. Czwarty indeks, i, jest zbędny (i = -(h+k)), ale pomaga utrzymać symetrię heksagonalnego układu i ułatwia rozpoznawanie równoważnych płaszczyzn.
Jak obliczyć kąt między dwiema płaszczyznami kryształowymi?
Kąt θ między dwiema płaszczyznami o indeksach Millera (h₁,k₁,l₁) i (h₂,k₂,l₂) w sześciennym układzie krystalicznym można obliczyć za pomocą:
Dla układów innych niż sześcienne obliczenia są bardziej złożone i obejmują tensor metryczny układu krystalicznego.
Jakie są indeksy Millera powszechnych płaszczyzn kryształowych?
Niektóre powszechne płaszczyzny kryształowe i ich indeksy Millera to:
- (100), (010), (001): Główne sześcienne powierzchnie
- (110), (101), (011): Płaszczyzny diagonalne w układach sześciennych
- (111): Płaszczyzna ośmiościenna w układach sześciennych
- (112): Powszechna płaszczyzna przesuwna w metalach o strukturze ciała centralnego.
Bibliografia
-
Miller, W. H. (1839). A Treatise on Crystallography. Cambridge: For J. & J.J. Deighton.
-
Ashcroft, N. W., & Mermin, N. D. (1976). Solid State Physics. Holt, Rinehart and Winston.
-
Hammond, C. (2015). The Basics of Crystallography and Diffraction (4th ed.). Oxford University Press.
-
Cullity, B. D., & Stock, S. R. (2014). Elements of X-ray Diffraction (3rd ed.). Pearson Education.
-
Kittel, C. (2004). Introduction to Solid State Physics (8th ed.). Wiley.
-
Kelly, A., & Knowles, K. M. (2012). Crystallography and Crystal Defects (2nd ed.). Wiley.
-
International Union of Crystallography. (2016). International Tables for Crystallography, Volume A: Space-group symmetry. Wiley.
-
Giacovazzo, C., Monaco, H. L., Artioli, G., Viterbo, D., Ferraris, G., Gilli, G., Zanotti, G., & Catti, M. (2011). Fundamentals of Crystallography (3rd ed.). Oxford University Press.
-
Buerger, M. J. (1978). Elementary Crystallography: An Introduction to the Fundamental Geometrical Features of Crystals. MIT Press.
-
Tilley, R. J. (2006). Crystals and Crystal Structures. Wiley.
Wypróbuj nasz Kalkulator Indeksów Millera już dziś, aby szybko i dokładnie określić indeksy Millera dla dowolnej płaszczyzny kryształowej. Niezależnie od tego, czy jesteś studentem uczącym się krystalografii, badaczem analizującym struktury materiałów, czy inżynierem projektującym nowe materiały, to narzędzie pomoże Ci zidentyfikować i zrozumieć płaszczyzny kryształowe z łatwością.
Powiązane narzędzia
Odkryj więcej narzędzi, które mogą być przydatne dla Twojego przepływu pracy