Calculadora de Índices de Miller para Identificação de Planos Cristalinos
Calcule os índices de Miller a partir das interseções dos planos cristalinos com esta ferramenta fácil de usar. Essencial para aplicações em cristalografia, ciência dos materiais e física do estado sólido.
Calculadora de Índices de Miller
Interceptos do Plano Cristalino
Insira os interceptos do plano cristalino com os eixos x, y e z. Use '0' para planos paralelos a um eixo (intercepto infinito).
Insira um número ou 0 para infinito
Insira um número ou 0 para infinito
Insira um número ou 0 para infinito
Índices de Miller
Os índices de Miller para este plano são:
Visualização
O que são Índices de Miller?
Os índices de Miller são um sistema de notação usado em cristalografia para especificar planos e direções em redes cristalinas.
Para calcular os índices de Miller (h,k,l) a partir dos interceptos (a,b,c):
1. Pegue os recíprocos dos interceptos: (1/a, 1/b, 1/c) 2. Converta para o menor conjunto de inteiros com a mesma razão 3. Se um plano é paralelo a um eixo (intercepto = infinito), seu índice de Miller correspondente é 0
- Índices negativos são indicados com uma barra sobre o número, por exemplo, (h̄,k,l)
- A notação (hkl) representa um plano específico, enquanto {hkl} representa uma família de planos equivalentes
- Índices de direção são escritos entre colchetes [hkl], e famílias de direções são denotadas por <hkl>
Documentação
Calculadora de Índices de Miller
Introdução
A Calculadora de Índices de Miller é uma ferramenta poderosa para cristalógrafos, cientistas dos materiais e estudantes, que permite determinar os índices de Miller de planos cristalinos. Os índices de Miller são um sistema de notação usado em cristalografia para especificar planos e direções em redes cristalinas. Esta calculadora permite que você converta facilmente os interceptos de um plano cristalino com os eixos de coordenadas nos correspondentes índices de Miller, fornecendo uma maneira padronizada de identificar e comunicar sobre planos cristalinos específicos.
Os índices de Miller são fundamentais para entender estruturas cristalinas e suas propriedades. Ao representar planos com um conjunto simples de três inteiros (h,k,l), os índices de Miller permitem que os cientistas analisem padrões de difração de raios X, prevejam comportamentos de crescimento cristalino, calculem espaçamentos interplanares e estudem várias propriedades físicas que dependem da orientação cristalográfica.
O Que São Índices de Miller?
Os índices de Miller são um conjunto de três inteiros (h,k,l) que definem uma família de planos paralelos em uma rede cristalina. Esses índices são derivados dos recíprocos dos interceptos que um plano faz com os eixos cristalográficos. A notação fornece uma maneira padronizada de identificar planos específicos dentro de uma estrutura cristalina.
Representação Visual dos Índices de Miller
Fórmula para Calcular os Índices de Miller
Para calcular os índices de Miller (h,k,l) de um plano cristalino, siga estes passos matemáticos:
- Determine os interceptos do plano com os eixos x, y e z, dando valores a, b e c.
- Tome os recíprocos desses interceptos: 1/a, 1/b, 1/c.
- Converta esses recíprocos para o menor conjunto de inteiros que mantenha a mesma razão.
- Os três inteiros resultantes são os índices de Miller (h,k,l).
Matematicamente, isso pode ser expresso como:
Onde:
- (h,k,l) são os índices de Miller
- a, b, c são os interceptos do plano com os eixos x, y e z, respectivamente
Casos Especiais e Convenções
Vários casos especiais e convenções são importantes para entender:
-
Interceptos Infinito: Se um plano é paralelo a um eixo, seu intercepto é considerado infinito, e o índice de Miller correspondente se torna zero.
-
Índices Negativos: Se um plano intercepta um eixo no lado negativo da origem, o índice de Miller correspondente é negativo, denotado com uma barra sobre o número na notação cristalográfica, por exemplo, (h̄kl).
-
Interceptos Fracionários: Se os interceptos são fracionários, eles são convertidos em inteiros multiplicando pelo mínimo múltiplo comum.
-
Simplificação: Os índices de Miller são sempre reduzidos ao menor conjunto de inteiros que mantenha a mesma razão.
Guia Passo a Passo para Usar a Calculadora
Nossa Calculadora de Índices de Miller fornece uma maneira direta de determinar os índices de Miller para qualquer plano cristalino. Aqui está como usá-la:
-
Insira os Interceptos: Digite os valores onde o plano intercepta os eixos x, y e z.
- Use números positivos para interceptos no lado positivo da origem.
- Use números negativos para interceptos no lado negativo.
- Digite "0" para planos que são paralelos a um eixo (intercepto infinito).
-
Visualize os Resultados: A calculadora calculará automaticamente e exibirá os índices de Miller (h,k,l) para o plano especificado.
-
Visualize o Plano: A calculadora inclui uma visualização 3D para ajudar você a entender a orientação do plano dentro da rede cristalina.
-
Copie os Resultados: Use o botão "Copiar para a Área de Transferência" para transferir facilmente os índices de Miller calculados para outros aplicativos.
Exemplo de Cálculo
Vamos passar por um exemplo:
Suponha que um plano intercepta os eixos x, y e z em pontos 2, 3 e 6 respectivamente.
- Os interceptos são (2, 3, 6).
- Tomando os recíprocos: (1/2, 1/3, 1/6).
- Para encontrar o menor conjunto de inteiros com a mesma razão, multiplique pelo mínimo múltiplo comum dos denominadores (MMC de 2, 3, 6 = 6): (1/2 × 6, 1/3 × 6, 1/6 × 6) = (3, 2, 1).
- Portanto, os índices de Miller são (3,2,1).
Casos de Uso para Índices de Miller
Os índices de Miller têm inúmeras aplicações em várias áreas científicas e de engenharia:
Cristalografia e Difração de Raios X
Os índices de Miller são essenciais para interpretar padrões de difração de raios X. O espaçamento entre planos cristalinos, identificados por seus índices de Miller, determina os ângulos em que os raios X são difratados, seguindo a lei de Bragg:
Onde:
- é um inteiro
- é o comprimento de onda dos raios X
- é o espaçamento entre planos com índices de Miller (h,k,l)
- é o ângulo de incidência
Ciência e Engenharia de Materiais
-
Análise de Energia de Superfície: Diferentes planos cristalográficos têm diferentes energias de superfície, afetando propriedades como crescimento cristalino, catálise e adesão.
-
Propriedades Mecânicas: A orientação dos planos cristalinos influencia propriedades mecânicas, como sistemas de deslizamento, planos de clivagem e comportamento de fratura.
-
Fabricação de Semicondutores: Na fabricação de semicondutores, planos cristalinos específicos são selecionados para crescimento epitaxial e fabricação de dispositivos devido às suas propriedades eletrônicas.
-
Análise de Textura: Os índices de Miller ajudam a caracterizar orientações preferenciais (textura) em materiais policristalinos, que afetam suas propriedades físicas.
Mineralogia e Geologia
Geólogos usam índices de Miller para descrever faces cristalinas e planos de clivagem em minerais, ajudando na identificação e compreensão das condições de formação.
Aplicações Educacionais
Os índices de Miller são conceitos fundamentais ensinados em cursos de ciência dos materiais, cristalografia e física do estado sólido, tornando esta calculadora uma ferramenta educacional valiosa.
Alternativas aos Índices de Miller
Embora os índices de Miller sejam a notação mais amplamente utilizada para planos cristalinos, vários sistemas alternativos existem:
-
Índices de Miller-Bravais: Uma notação de quatro índices (h,k,i,l) usada para sistemas cristalinos hexagonais, onde i = -(h+k). Esta notação reflete melhor a simetria das estruturas hexagonais.
-
Símbolos de Weber: Usados principalmente em literatura mais antiga, particularmente para descrever direções em cristais cúbicos.
-
Vetores de Rede Direta: Em alguns casos, os planos são descritos usando os vetores de rede direta em vez de índices de Miller.
-
Posições de Wyckoff: Para descrever posições atômicas dentro de estruturas cristalinas, em vez de planos.
Apesar dessas alternativas, os índices de Miller permanecem a notação padrão devido à sua simplicidade e aplicabilidade universal em todos os sistemas cristalinos.
História dos Índices de Miller
O sistema de índices de Miller foi desenvolvido pelo mineralogista e cristalógrafo britânico William Hallowes Miller em 1839, publicado em seu tratado "A Treatise on Crystallography". A notação de Miller baseou-se em trabalhos anteriores de Auguste Bravais e outros, mas forneceu uma abordagem mais elegante e matematicamente consistente.
Antes do sistema de Miller, várias notações eram usadas para descrever faces cristalinas, incluindo os parâmetros de Weiss e os símbolos de Naumann. A inovação de Miller foi usar os recíprocos dos interceptos, o que simplificou muitos cálculos cristalográficos e forneceu uma representação mais intuitiva de planos paralelos.
A adoção dos índices de Miller acelerou com a descoberta da difração de raios X por Max von Laue em 1912 e o trabalho subsequente de William Lawrence Bragg e William Henry Bragg. Sua pesquisa demonstrou a utilidade prática dos índices de Miller na interpretação de padrões de difração e na determinação de estruturas cristalinas.
Ao longo do século XX, à medida que a cristalografia se tornava cada vez mais importante na ciência dos materiais, física do estado sólido e bioquímica, os índices de Miller se firmaram como a notação padrão. Hoje, eles permanecem essenciais em técnicas modernas de caracterização de materiais, cristalografia computacional e design de nanomateriais.
Exemplos de Código para Calcular Índices de Miller
1import math
2import numpy as np
3
4def calculate_miller_indices(intercepts):
5 """
6 Calcular índices de Miller a partir de interceptos
7
8 Args:
9 intercepts: Lista de três interceptos [a, b, c]
10
11 Returns:
12 Lista de três índices de Miller [h, k, l]
13 """
14 # Lidar com interceptos infinitos (paralelo ao eixo)
15 reciprocals = []
16 for intercept in intercepts:
17 if intercept == 0 or math.isinf(intercept):
18 reciprocals.append(0)
19 else:
20 reciprocals.append(1 / intercept)
21
22 # Encontrar valores não zero para cálculo do MDC
23 non_zero = [r for r in reciprocals if r != 0]
24
25 if not non_zero:
26 return [0, 0, 0]
27
28 # Escalar para inteiros razoáveis (evitando problemas de ponto flutuante)
29 scale = 1000
30 scaled = [round(r * scale) for r in non_zero]
31
32 # Encontrar MDC
33 gcd_value = np.gcd.reduce(scaled)
34
35 # Converter de volta para os menores inteiros
36 miller_indices = []
37 for r in reciprocals:
38 if r == 0:
39 miller_indices.append(0)
40 else:
41 miller_indices.append(round((r * scale) / gcd_value))
42
43 return miller_indices
44
45# Exemplo de uso
46intercepts = [2, 3, 6]
47indices = calculate_miller_indices(intercepts)
48print(f"Índices de Miller para interceptos {intercepts}: {indices}") # Saída: [3, 2, 1]
491function gcd(a, b) {
2 a = Math.abs(a);
3 b = Math.abs(b);
4
5 while (b !== 0) {
6 const temp = b;
7 b = a % b;
8 a = temp;
9 }
10
11 return a;
12}
13
14function gcdMultiple(numbers) {
15 return numbers.reduce((result, num) => gcd(result, num), numbers[0]);
16}
17
18function calculateMillerIndices(intercepts) {
19 // Lidar com interceptos infinitos
20 const reciprocals = intercepts.map(intercept => {
21 if (intercept === 0 || !isFinite(intercept)) {
22 return 0;
23 }
24 return 1 / intercept;
25 });
26
27 // Encontrar valores não zero para cálculo do MDC
28 const nonZeroReciprocals = reciprocals.filter(val => val !== 0);
29
30 if (nonZeroReciprocals.length === 0) {
31 return [0, 0, 0];
32 }
33
34 // Escalar para inteiros para evitar problemas de ponto flutuante
35 const scale = 1000;
36 const scaled = nonZeroReciprocals.map(val => Math.round(val * scale));
37
38 // Encontrar MDC
39 const divisor = gcdMultiple(scaled);
40
41 // Converter para os menores inteiros
42 const millerIndices = reciprocals.map(val =>
43 val === 0 ? 0 : Math.round((val * scale) / divisor)
44 );
45
46 return millerIndices;
47}
48
49// Exemplo
50const intercepts = [2, 3, 6];
51const indices = calculateMillerIndices(intercepts);
52console.log(`Índices de Miller para interceptos ${intercepts}: (${indices.join(',')})`);
53// Saída: Índices de Miller para interceptos 2,3,6: (3,2,1)
541import java.util.Arrays;
2
3public class MillerIndicesCalculator {
4
5 public static int gcd(int a, int b) {
6 a = Math.abs(a);
7 b = Math.abs(b);
8
9 while (b != 0) {
10 int temp = b;
11 b = a % b;
12 a = temp;
13 }
14
15 return a;
16 }
17
18 public static int gcdMultiple(int[] numbers) {
19 int result = numbers[0];
20 for (int i = 1; i < numbers.length; i++) {
21 result = gcd(result, numbers[i]);
22 }
23 return result;
24 }
25
26 public static int[] calculateMillerIndices(double[] intercepts) {
27 double[] reciprocals = new double[intercepts.length];
28
29 // Calcular recíprocos
30 for (int i = 0; i < intercepts.length; i++) {
31 if (intercepts[i] == 0 || Double.isInfinite(intercepts[i])) {
32 reciprocals[i] = 0;
33 } else {
34 reciprocals[i] = 1 / intercepts[i];
35 }
36 }
37
38 // Contar valores não zero
39 int nonZeroCount = 0;
40 for (double r : reciprocals) {
41 if (r != 0) nonZeroCount++;
42 }
43
44 if (nonZeroCount == 0) {
45 return new int[]{0, 0, 0};
46 }
47
48 // Escalar para inteiros
49 int scale = 1000;
50 int[] scaled = new int[nonZeroCount];
51 int index = 0;
52
53 for (double r : reciprocals) {
54 if (r != 0) {
55 scaled[index++] = (int) Math.round(r * scale);
56 }
57 }
58
59 // Encontrar MDC
60 int divisor = gcdMultiple(scaled);
61
62 // Converter para os menores inteiros
63 int[] millerIndices = new int[reciprocals.length];
64 for (int i = 0; i < reciprocals.length; i++) {
65 if (reciprocals[i] == 0) {
66 millerIndices[i] = 0;
67 } else {
68 millerIndices[i] = (int) Math.round((reciprocals[i] * scale) / divisor);
69 }
70 }
71
72 return millerIndices;
73 }
74
75 public static void main(String[] args) {
76 double[] intercepts = {2, 3, 6};
77 int[] indices = calculateMillerIndices(intercepts);
78
79 System.out.println("Índices de Miller para interceptos " +
80 Arrays.toString(intercepts) + ": " +
81 Arrays.toString(indices));
82 // Saída: Índices de Miller para interceptos [2.0, 3.0, 6.0]: [3, 2, 1]
83 }
84}
851' Função VBA do Excel para Cálculo de Índices de Miller
2Function CalculateMillerIndices(x As Double, y As Double, z As Double) As String
3 Dim recipX As Double, recipY As Double, recipZ As Double
4 Dim nonZeroCount As Integer, i As Integer
5 Dim scale As Long, gcdVal As Long
6 Dim scaledVals() As Long
7 Dim millerH As Long, millerK As Long, millerL As Long
8
9 ' Calcular recíprocos
10 If x = 0 Then
11 recipX = 0
12 Else
13 recipX = 1 / x
14 End If
15
16 If y = 0 Then
17 recipY = 0
18 Else
19 recipY = 1 / y
20 End If
21
22 If z = 0 Then
23 recipZ = 0
24 Else
25 recipZ = 1 / z
26 End If
27
28 ' Contar valores não zero
29 nonZeroCount = 0
30 If recipX <> 0 Then nonZeroCount = nonZeroCount + 1
31 If recipY <> 0 Then nonZeroCount = nonZeroCount + 1
32 If recipZ <> 0 Then nonZeroCount = nonZeroCount + 1
33
34 If nonZeroCount = 0 Then
35 CalculateMillerIndices = "(0,0,0)"
36 Exit Function
37 End If
38
39 ' Escalar para inteiros
40 scale = 1000
41 ReDim scaledVals(1 To nonZeroCount)
42 i = 1
43
44 If recipX <> 0 Then
45 scaledVals(i) = Round(recipX * scale)
46 i = i + 1
47 End If
48
49 If recipY <> 0 Then
50 scaledVals(i) = Round(recipY * scale)
51 i = i + 1
52 End If
53
54 If recipZ <> 0 Then
55 scaledVals(i) = Round(recipZ * scale)
56 End If
57
58 ' Encontrar MDC
59 gcdVal = scaledVals(1)
60 For i = 2 To nonZeroCount
61 gcdVal = GCD(gcdVal, scaledVals(i))
62 Next i
63
64 ' Calcular índices de Miller
65 If recipX = 0 Then
66 millerH = 0
67 Else
68 millerH = Round((recipX * scale) / gcdVal)
69 End If
70
71 If recipY = 0 Then
72 millerK = 0
73 Else
74 millerK = Round((recipY * scale) / gcdVal)
75 End If
76
77 If recipZ = 0 Then
78 millerL = 0
79 Else
80 millerL = Round((recipZ * scale) / gcdVal)
81 End If
82
83 CalculateMillerIndices = "(" & millerH & "," & millerK & "," & millerL & ")"
84End Function
85
86Function GCD(a As Long, b As Long) As Long
87 Dim temp As Long
88
89 a = Abs(a)
90 b = Abs(b)
91
92 Do While b <> 0
93 temp = b
94 b = a Mod b
95 a = temp
96 Loop
97
98 GCD = a
99End Function
100
101' Uso no Excel:
102' =CalculateMillerIndices(2, 3, 6)
103' Resultado: (3,2,1)
1041#include <iostream>
2#include <vector>
3#include <cmath>
4#include <numeric>
5#include <algorithm>
6
7// Calcular MDC de dois números
8int gcd(int a, int b) {
9 a = std::abs(a);
10 b = std::abs(b);
11
12 while (b != 0) {
13 int temp = b;
14 b = a % b;
15 a = temp;
16 }
17
18 return a;
19}
20
21// Calcular MDC de múltiplos números
22int gcdMultiple(const std::vector<int>& numbers) {
23 int result = numbers[0];
24 for (size_t i = 1; i < numbers.size(); ++i) {
25 result = gcd(result, numbers[i]);
26 }
27 return result;
28}
29
30// Calcular índices de Miller a partir de interceptos
31std::vector<int> calculateMillerIndices(const std::vector<double>& intercepts) {
32 std::vector<double> reciprocals;
33
34 // Calcular recíprocos
35 for (double intercept : intercepts) {
36 if (intercept == 0 || std::isinf(intercept)) {
37 reciprocals.push_back(0);
38 } else {
39 reciprocals.push_back(1.0 / intercept);
40 }
41 }
42
43 // Encontrar valores não zero
44 std::vector<double> nonZeroReciprocals;
45 for (double r : reciprocals) {
46 if (r != 0) {
47 nonZeroReciprocals.push_back(r);
48 }
49 }
50
51 if (nonZeroReciprocals.empty()) {
52 return {0, 0, 0};
53 }
54
55 // Escalar para inteiros
56 const int scale = 1000;
57 std::vector<int> scaled;
58 for (double r : nonZeroReciprocals) {
59 scaled.push_back(std::round(r * scale));
60 }
61
62 // Encontrar MDC
63 int divisor = gcdMultiple(scaled);
64
65 // Converter para os menores inteiros
66 std::vector<int> millerIndices;
67 for (double r : reciprocals) {
68 if (r == 0) {
69 millerIndices.push_back(0);
70 } else {
71 millerIndices.push_back(std::round((r * scale) / divisor));
72 }
73 }
74
75 return millerIndices;
76}
77
78int main() {
79 std::vector<double> intercepts = {2, 3, 6};
80 std::vector<int> indices = calculateMillerIndices(intercepts);
81
82 std::cout << "Índices de Miller para interceptos [";
83 for (size_t i = 0; i < intercepts.size(); ++i) {
84 std::cout << intercepts[i];
85 if (i < intercepts.size() - 1) std::cout << ", ";
86 }
87 std::cout << "]: (";
88
89 for (size_t i = 0; i < indices.size(); ++i) {
90 std::cout << indices[i];
91 if (i < indices.size() - 1) std::cout << ",";
92 }
93 std::cout << ")" << std::endl;
94
95 // Saída: Índices de Miller para interceptos [2, 3, 6]: (3,2,1)
96
97 return 0;
98}
99Exemplos Numéricos
Aqui estão alguns exemplos comuns de cálculos de índices de Miller:
-
Exemplo 1: Caso Padrão
- Interceptos: (2, 3, 6)
- Recíprocos: (1/2, 1/3, 1/6)
- Multiplique pelo MMC dos denominadores (6): (3, 2, 1)
- Índices de Miller: (3,2,1)
-
Exemplo 2: Plano Paralelo a um Eixo
- Interceptos: (1, ∞, 2)
- Recíprocos: (1, 0, 1/2)
- Multiplique por 2: (2, 0, 1)
- Índices de Miller: (2,0,1)
-
Exemplo 3: Interceptos Negativos
- Interceptos: (-1, 2, 3)
- Recíprocos: (-1, 1/2, 1/3)
- Multiplique por 6: (-6, 3, 2)
- Índices de Miller: (-6,3,2)
-
Exemplo 4: Interceptos Fracionários
- Interceptos: (1/2, 1/3, 1/4)
- Recíprocos: (2, 3, 4)
- Já estão na forma inteira
- Índices de Miller: (2,3,4)
-
Exemplo 5: Plano Especial (100)
- Interceptos: (1, ∞, ∞)
- Recíprocos: (1, 0, 0)
- Índices de Miller: (1,0,0)
Perguntas Frequentes
Para que servem os índices de Miller?
Os índices de Miller são usados para identificar e descrever planos e direções em redes cristalinas. Eles fornecem uma notação padronizada que ajuda cristalógrafos, cientistas dos materiais e engenheiros a se comunicarem sobre orientações cristalinas específicas. Os índices de Miller são essenciais para analisar padrões de difração de raios X, entender o crescimento cristalino, calcular espaçamentos interplanares e estudar várias propriedades físicas que dependem da orientação cristalográfica.
Como lido com um plano que é paralelo a um dos eixos?
Quando um plano é paralelo a um eixo, ele nunca intercepta esse eixo, então o intercepto é considerado infinito. Na notação de índices de Miller, o recíproco do infinito é zero, então o índice de Miller correspondente se torna zero. Por exemplo, um plano paralelo ao eixo y teria interceptos (a, ∞, c) e índices de Miller (h,0,l).
O que significam os índices de Miller negativos?
Os índices de Miller negativos indicam que o plano intercepta o eixo correspondente no lado negativo da origem. Na notação cristalográfica, índices negativos são tipicamente denotados com uma barra sobre o número, como (h̄kl). Índices negativos representam planos que são equivalentes aos seus correspondentes positivos em termos de propriedades físicas, mas têm orientações diferentes.
Como os índices de Miller se relacionam com a estrutura cristalina?
Os índices de Miller se relacionam diretamente com a disposição atômica em uma estrutura cristalina. O espaçamento entre planos com índices de Miller específicos (dhkl) depende do sistema cristalino e dos parâmetros de rede. Na difração de raios X, esses planos atuam como planos de reflexão de acordo com a lei de Bragg, produzindo padrões de difração característicos que revelam a estrutura cristalina.
Qual é a diferença entre índices de Miller e índices de Miller-Bravais?
Os índices de Miller usam três inteiros (h,k,l) e são adequados para a maioria dos sistemas cristalinos. Os índices de Miller-Bravais usam quatro inteiros (h,k,i,l) e são projetados especificamente para sistemas cristalinos hexagonais. O quarto índice, i, é redundante (i = -(h+k)) mas ajuda a manter a simetria do sistema hexagonal e torna planos equivalentes mais facilmente reconhecíveis.
Como calcular o ângulo entre dois planos cristalinos?
O ângulo θ entre dois planos com índices de Miller (h₁,k₁,l₁) e (h₂,k₂,l₂) em um sistema cristalino cúbico pode ser calculado usando:
Para sistemas que não são cúbicos, o cálculo é mais complexo e envolve o tensor métrico do sistema cristalino.
Qual é a relação entre índices de Miller e d-spacing?
O d-spacing (espaçamento interplanar) para planos com índices de Miller (h,k,l) depende do sistema cristalino. Para um cristal cúbico com parâmetro de rede a, a relação é:
Para outros sistemas cristalinos, fórmulas mais complexas se aplicam que incorporam os parâmetros de rede específicos.
Os índices de Miller podem ser frações?
Não, por convenção, os índices de Miller são sempre inteiros. Se o cálculo inicialmente resultar em frações, elas são convertidas para o menor conjunto de inteiros que mantenha a mesma razão. Isso é feito multiplicando todos os valores pelo mínimo múltiplo comum dos denominadores.
Como determinar os índices de Miller de uma face cristalina experimentalmente?
Os índices de Miller de faces cristalinas podem ser determinados experimentalmente usando difração de raios X, difração eletrônica ou goniometria óptica. Na difração de raios X, os ângulos em que a difração ocorre estão relacionados ao d-spacing de planos cristalinos através da lei de Bragg, que pode ser usada para identificar os índices de Miller correspondentes.
Quais são os índices de Miller de planos cristalinos comuns?
Alguns planos cristalinos comuns e seus índices de Miller incluem:
- (100), (010), (001): Faces cúbicas primárias
- (110), (101), (011): Faces diagonais em sistemas cúbicos
- (111): Face octaédrica em sistemas cúbicos
- (112): Plano de deslizamento comum em metais de estrutura cúbica de corpo centrado
Referências
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Miller, W. H. (1839). A Treatise on Crystallography. Cambridge: For J. & J.J. Deighton.
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Buerger, M. J. (1978). Elementary Crystallography: An Introduction to the Fundamental Geometrical Features of Crystals. MIT Press.
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Tilley, R. J. (2006). Crystals and Crystal Structures. Wiley.
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