Miller-indices kalkylator för identifiering av kristallplan

Beräkna Miller-indices från kristallplans skärningar med detta användarvänliga verktyg. Avgörande för kristallografi, materialvetenskap och tillämpningar inom fast tillstånds fysik.

Miller Indices Kalkylator

Kristallplans Skärningar

Ange skärningarna av kristallplanet med x-, y- och z-axlarna. Använd '0' för plan som är parallella med en axel (oändlig skärning).

X-axel Skärning

Ange ett nummer eller 0 för oändlighet

Y-axel Skärning

Ange ett nummer eller 0 för oändlighet

Z-axel Skärning

Ange ett nummer eller 0 för oändlighet

Miller Indices

Miller-indices för detta plan är:

(1,1,1)

Kopiera till Urklipp

Visualisering

Vad är Miller Indices?

Miller-indices är ett notationssystem som används inom kristallografi för att specificera plan och riktningar i kristallgitter.

För att beräkna Miller-indices (h,k,l) från skärningar (a,b,c):

1. Ta reciprokalerna av skärningarna: (1/a, 1/b, 1/c) 2. Konvertera till den minsta uppsättningen heltal med samma förhållande 3. Om ett plan är parallellt med en axel (skärning = oändlighet), är dess motsvarande Miller-index 0

Negativa index anges med en linje över numret, t.ex. (h̄,k,l)
Notation (hkl) representerar ett specifikt plan, medan {hkl} representerar en familj av ekvivalenta plan
Riktningens index skrivs inom hakparenteser [hkl], och familjer av riktningar betecknas med <hkl>

📚

Dokumentation

Miller Indices Calculator

Introduktion

Miller Indices Calculator är ett kraftfullt verktyg för kristallografer, materialvetare och studenter för att bestämma Miller-index för kristallplan. Miller-index är ett notationssystem som används inom kristallografi för att specificera plan och riktningar i kristallgitter. Denna kalkylator gör det möjligt för dig att enkelt konvertera skärningspunkterna för ett kristallplan med koordinataxlarna till motsvarande Miller-index, vilket ger ett standardiserat sätt att identifiera och kommunicera om specifika kristallplan.

Miller-index är grundläggande för att förstå kristallstrukturer och deras egenskaper. Genom att representera plan med en enkel uppsättning av tre heltal (h,k,l) möjliggör Miller-index för forskare att analysera röntgendiffraktionsmönster, förutsäga kristalltillväxtbeteenden, beräkna interplanaravstånd och studera olika fysikaliska egenskaper som beror på kristallografisk orientering.

Vad är Miller-index?

Miller-index är en uppsättning av tre heltal (h,k,l) som definierar en familj av parallella plan i ett kristallgitter. Dessa index härleds från reciprokalerna av de fraktionella skärningspunkterna som ett plan gör med de kristallografiska axlarna. Notationen ger ett standardiserat sätt att identifiera specifika plan inom en kristallstruktur.

Visuell representation av Miller-index

x y z

a=2 b=3 c=6

(3,2,1) Plan

Miller-index (3,2,1) Kristallplan

En 3D-visualisering av ett kristallplan med Miller-index (3,2,1). Planet skär x-, y- och z-axlarna vid punkterna 2, 3 och 6 respektive, vilket resulterar i Miller-index (3,2,1) efter att ha tagit reciprokaler och funnit den minsta uppsättningen av heltal med samma förhållande.

Formel för att beräkna Miller-index

För att beräkna Miller-index (h,k,l) för ett kristallplan, följ dessa matematiska steg:

Bestäm skärningspunkterna för planet med x-, y- och z-kristallografiska axlar, vilket ger värdena a, b och c.
Ta reciprokalerna av dessa skärningspunkter: 1/a, 1/b, 1/c.
Konvertera dessa reciprokaler till den minsta uppsättningen av heltal som bibehåller samma förhållande.
De resulterande tre heltalen är Miller-index (h,k,l).

Matematiskt kan detta uttryckas som:

$h : k : l = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$

Där:

(h,k,l) är Miller-index
a, b, c är skärningspunkterna för planet med x-, y- och z-axlarna, respektive

Särskilda fall och konventioner

Flera särskilda fall och konventioner är viktiga att förstå:

Oändliga skärningspunkter: Om ett plan är parallellt med en axel, anses dess skärningspunkt vara oändlig, och det motsvarande Miller-indexet blir noll.
Negativa index: Om ett plan skär en axel på den negativa sidan av origo, blir det motsvarande Miller-indexet negativt, vilket anges med en överstrykning över numret i kristallografisk notation, t.ex. (h̄kl).
Fraktionella skärningspunkter: Om skärningspunkterna är fraktionella, konverteras de till heltal genom att multiplicera med det minsta gemensamma multiplet.
Förenkling: Miller-index reduceras alltid till den minsta uppsättningen av heltal som bibehåller samma förhållande.

Steg-för-steg-guide för att använda kalkylatorn

Vår Miller Indices Calculator erbjuder ett enkelt sätt att bestämma Miller-index för vilket kristallplan som helst. Så här använder du den:

Ange skärningspunkterna: Skriv in värdena där planet skär x-, y- och z-axlarna.
- Använd positiva tal för skärningspunkter på den positiva sidan av origo.
- Använd negativa tal för skärningspunkter på den negativa sidan.
- Ange "0" för plan som är parallella med en axel (oändlig skärning).
Visa resultaten: Kalkylatorn beräknar automatiskt och visar Miller-index (h,k,l) för det angivna planet.
Visualisera planet: Kalkylatorn inkluderar en 3D-visualisering för att hjälpa dig förstå planetens orientering inom kristallgittret.
Kopiera resultaten: Använd knappen "Kopiera till Urklipp" för att enkelt överföra de beräknade Miller-indexen till andra applikationer.

Exempelberäkning

Låt oss gå igenom ett exempel:

Anta att ett plan skär x-, y- och z-axlarna vid punkterna 2, 3 och 6 respektive.

Skärningspunkterna är (2, 3, 6).
Ta reciprokalerna: (1/2, 1/3, 1/6).
För att hitta den minsta uppsättningen av heltal med samma förhållande, multiplicera med det minsta gemensamma multiplet av nämnarna (LCM av 2, 3, 6 = 6): (1/2 × 6, 1/3 × 6, 1/6 × 6) = (3, 2, 1).
Därför är Miller-indexen (3,2,1).

Användningsområden för Miller-index

Miller-index har många tillämpningar inom olika vetenskapliga och tekniska områden:

Kristallografi och röntgendiffraktion

Miller-index är avgörande för tolkning av röntgendiffraktionsmönster. Avståndet mellan kristallplan, identifierade av deras Miller-index, bestämmer de vinklar vid vilka röntgenstrålar diffrakteras, enligt Braggs lag:

$n\lambda = 2d_{hkl}\sin\theta$

Där:

$n$ är ett heltal
$\lambda$ är våglängden av röntgenstrålarna
$d_{hkl}$ är avståndet mellan plan med Miller-index (h,k,l)
$\theta$ är infallsvinkeln

Materialvetenskap och ingenjörsvetenskap

Ytenergianalys: Olika kristallografiska plan har olika ytenergier, vilket påverkar egenskaper som kristalltillväxt, katalys och vidhäftning.
Mekaniska egenskaper: Orienteringen av kristallplan påverkar mekaniska egenskaper som glidningssystem, klyvningsplan och brottbeteende.
Halvledartillverkning: I halvledartillverkning väljs specifika kristallplan för epitaxiell tillväxt och enhetstillverkning på grund av deras elektroniska egenskaper.
Texturanalys: Miller-index hjälper till att karaktärisera föredragna orienteringar (textur) i polykrystallina material, vilket påverkar deras fysikaliska egenskaper.

Mineralogi och geologi

Geologer använder Miller-index för att beskriva kristallansikten och klyvningsplan i mineraler, vilket hjälper till med identifiering och förståelse av bildningsförhållanden.

Utbildningsändamål

Miller-index är grundläggande koncept som undervisas i materialvetenskap, kristallografi och fast tillstånds fysik kurser, vilket gör denna kalkylator till ett värdefullt utbildningsverktyg.

Alternativ till Miller-index

Även om Miller-index är den mest använda notationen för kristallplan, finns det flera alternativa system:

Miller-Bravais-index: En fyrasiffrig notation (h,k,i,l) som används för hexagonala kristallsystem, där i = -(h+k). Denna notation återspeglar bättre symmetrin hos hexagonala strukturer.
Weber-symboler: Används främst i äldre litteratur, särskilt för att beskriva riktningar i kubiska kristaller.
Direkta gittervektorer: I vissa fall beskrivs plan med de direkta gittervektorerna snarare än Miller-index.
Wyckoff-positioner: För att beskriva atompositioner inom kristallstrukturer snarare än plan.

Trots dessa alternativ förblir Miller-index den standardiserade notationen på grund av dess enkelhet och universella tillämplighet i alla kristallsystem.

Historia om Miller-index

Miller-indexsystemet utvecklades av den brittiska mineralogen och kristallografen William Hallowes Miller år 1839, publicerat i hans avhandling "A Treatise on Crystallography." Millers notation byggde på tidigare arbete av Auguste Bravais och andra, men gav en mer elegant och matematiskt konsekvent metod.

Före Millers system användes olika notationssystem för att beskriva kristallansikten, inklusive Weiss-parametrar och Naumann-symboler. Millers innovation var att använda reciprokalerna av skärningspunkterna, vilket förenklade många kristallografiska beräkningar och gav en mer intuitiv representation av parallella plan.

Antagandet av Miller-index accelererade med upptäckten av röntgendiffraktion av Max von Laue år 1912 och det efterföljande arbetet av William Lawrence Bragg och William Henry Bragg. Deras forskning visade den praktiska nyttan av Miller-index i tolkningen av diffraktionsmönster och bestämningen av kristallstrukturer.

Under 1900-talet, när kristallografi blev allt viktigare inom materialvetenskap, fast tillstånds fysik och biokemi, blev Miller-index fast etablerade som standardnotation. Idag förblir de avgörande inom moderna materialkarakteriseringstekniker, beräkningskristallografi och design av nanomaterial.

Kodexempel för att beräkna Miller-index

1import math
2import numpy as np
3
4def calculate_miller_indices(intercepts):
5    """
6    Beräkna Miller-index från skärningspunkter
7    
8    Args:
9        intercepts: Lista med tre skärningspunkter [a, b, c]
10        
11    Returns:
12        Lista med tre Miller-index [h, k, l]
13    """
14    # Hantera oändliga skärningspunkter (parallella med axel)
15    reciprocals = []
16    for intercept in intercepts:
17        if intercept == 0 or math.isinf(intercept):
18            reciprocals.append(0)
19        else:
20            reciprocals.append(1 / intercept)
21    
22    # Hitta icke-nollvärden för GCD-beräkning
23    non_zero = [r for r in reciprocals if r != 0]
24    
25    if not non_zero:
26        return [0, 0, 0]
27    
28    # Skala till rimliga heltal (undvika flyttal)
29    scale = 1000
30    scaled = [round(r * scale) for r in non_zero]
31    
32    # Hitta GCD
33    gcd_value = np.gcd.reduce(scaled)
34    
35    # Konvertera tillbaka till minsta heltal
36    miller_indices = []
37    for r in reciprocals:
38        if r == 0:
39            miller_indices.append(0)
40        else:
41            miller_indices.append(round((r * scale) / gcd_value))
42    
43    return miller_indices
44
45# Exempelanvändning
46intercepts = [2, 3, 6]
47indices = calculate_miller_indices(intercepts)
48print(f"Miller-index för skärningspunkter {intercepts}: {indices}")  # Utdata: [3, 2, 1]
49

1function gcd(a, b) {
2  a = Math.abs(a);
3  b = Math.abs(b);
4  
5  while (b !== 0) {
6    const temp = b;
7    b = a % b;
8    a = temp;
9  }
10  
11  return a;
12}
13
14function gcdMultiple(numbers) {
15  return numbers.reduce((result, num) => gcd(result, num), numbers[0]);
16}
17
18function calculateMillerIndices(intercepts) {
19  // Hantera oändliga skärningspunkter
20  const reciprocals = intercepts.map(intercept => {
21    if (intercept === 0 || !isFinite(intercept)) {
22      return 0;
23    }
24    return 1 / intercept;
25  });
26  
27  // Hitta icke-nollvärden för GCD-beräkning
28  const nonZeroReciprocals = reciprocals.filter(val => val !== 0);
29  
30  if (nonZeroReciprocals.length === 0) {
31    return [0, 0, 0];
32  }
33  
34  // Skala till heltal för att undvika flyttalsproblem
35  const scale = 1000;
36  const scaled = nonZeroReciprocals.map(val => Math.round(val * scale));
37  
38  // Hitta GCD
39  const divisor = gcdMultiple(scaled);
40  
41  // Konvertera till minsta heltal
42  const millerIndices = reciprocals.map(val => 
43    val === 0 ? 0 : Math.round((val * scale) / divisor)
44  );
45  
46  return millerIndices;
47}
48
49// Exempel
50const intercepts = [2, 3, 6];
51const indices = calculateMillerIndices(intercepts);
52console.log(`Miller-index för skärningspunkter ${intercepts}: (${indices.join(',')})`);
53// Utdata: Miller-index för skärningspunkter 2,3,6: (3,2,1)
54

1import java.util.Arrays;
2
3public class MillerIndicesCalculator {
4    
5    public static int gcd(int a, int b) {
6        a = Math.abs(a);
7        b = Math.abs(b);
8        
9        while (b != 0) {
10            int temp = b;
11            b = a % b;
12            a = temp;
13        }
14        
15        return a;
16    }
17    
18    public static int gcdMultiple(int[] numbers) {
19        int result = numbers[0];
20        for (int i = 1; i < numbers.length; i++) {
21            result = gcd(result, numbers[i]);
22        }
23        return result;
24    }
25    
26    public static int[] calculateMillerIndices(double[] intercepts) {
27        double[] reciprocals = new double[intercepts.length];
28        
29        // Beräkna reciprokaler
30        for (int i = 0; i < intercepts.length; i++) {
31            if (intercepts[i] == 0 || Double.isInfinite(intercepts[i])) {
32                reciprocals[i] = 0;
33            } else {
34                reciprocals[i] = 1 / intercepts[i];
35            }
36        }
37        
38        // Räkna icke-nollvärden
39        int nonZeroCount = 0;
40        for (double r : reciprocals) {
41            if (r != 0) nonZeroCount++;
42        }
43        
44        if (nonZeroCount == 0) {
45            return new int[]{0, 0, 0};
46        }
47        
48        // Skala till heltal
49        int scale = 1000;
50        int[] scaled = new int[nonZeroCount];
51        int index = 0;
52        
53        for (double r : reciprocals) {
54            if (r != 0) {
55                scaled[index++] = (int) Math.round(r * scale);
56            }
57        }
58        
59        // Hitta GCD
60        int divisor = gcdMultiple(scaled);
61        
62        // Konvertera till minsta heltal
63        int[] millerIndices = new int[reciprocals.length];
64        for (int i = 0; i < reciprocals.length; i++) {
65            if (reciprocals[i] == 0) {
66                millerIndices[i] = 0;
67            } else {
68                millerIndices[i] = (int) Math.round((reciprocals[i] * scale) / divisor);
69            }
70        }
71        
72        return millerIndices;
73    }
74    
75    public static void main(String[] args) {
76        double[] intercepts = {2, 3, 6};
77        int[] indices = calculateMillerIndices(intercepts);
78        
79        System.out.println("Miller-index för skärningspunkter " + 
80                           Arrays.toString(intercepts) + ": " + 
81                           Arrays.toString(indices));
82        // Utdata: Miller-index för skärningspunkter [2.0, 3.0, 6.0]: [3, 2, 1]
83    }
84}
85

1' Excel VBA-funktion för beräkning av Miller-index
2Function CalculateMillerIndices(x As Double, y As Double, z As Double) As String
3    Dim recipX As Double, recipY As Double, recipZ As Double
4    Dim nonZeroCount As Integer, i As Integer
5    Dim scale As Long, gcdVal As Long
6    Dim scaledVals() As Long
7    Dim millerH As Long, millerK As Long, millerL As Long
8    
9    ' Beräkna reciprokaler
10    If x = 0 Then
11        recipX = 0
12    Else
13        recipX = 1 / x
14    End If
15    
16    If y = 0 Then
17        recipY = 0
18    Else
19        recipY = 1 / y
20    End If
21    
22    If z = 0 Then
23        recipZ = 0
24    Else
25        recipZ = 1 / z
26    End If
27    
28    ' Räkna icke-nollvärden
29    nonZeroCount = 0
30    If recipX <> 0 Then nonZeroCount = nonZeroCount + 1
31    If recipY <> 0 Then nonZeroCount = nonZeroCount + 1
32    If recipZ <> 0 Then nonZeroCount = nonZeroCount + 1
33    
34    If nonZeroCount = 0 Then
35        CalculateMillerIndices = "(0,0,0)"
36        Exit Function
37    End If
38    
39    ' Skala till heltal
40    scale = 1000
41    ReDim scaledVals(1 To nonZeroCount)
42    i = 1
43    
44    If recipX <> 0 Then
45        scaledVals(i) = Round(recipX * scale)
46        i = i + 1
47    End If
48    
49    If recipY <> 0 Then
50        scaledVals(i) = Round(recipY * scale)
51        i = i + 1
52    End If
53    
54    If recipZ <> 0 Then
55        scaledVals(i) = Round(recipZ * scale)
56    End If
57    
58    ' Hitta GCD
59    gcdVal = scaledVals(1)
60    For i = 2 To nonZeroCount
61        gcdVal = GCD(gcdVal, scaledVals(i))
62    Next i
63    
64    ' Beräkna Miller-index
65    If recipX = 0 Then
66        millerH = 0
67    Else
68        millerH = Round((recipX * scale) / gcdVal)
69    End If
70    
71    If recipY = 0 Then
72        millerK = 0
73    Else
74        millerK = Round((recipY * scale) / gcdVal)
75    End If
76    
77    If recipZ = 0 Then
78        millerL = 0
79    Else
80        millerL = Round((recipZ * scale) / gcdVal)
81    End If
82    
83    CalculateMillerIndices = "(" & millerH & "," & millerK & "," & millerL & ")"
84End Function
85
86Function GCD(a As Long, b As Long) As Long
87    Dim temp As Long
88    
89    a = Abs(a)
90    b = Abs(b)
91    
92    Do While b <> 0
93        temp = b
94        b = a Mod b
95        a = temp
96    Loop
97    
98    GCD = a
99End Function
100
101' Användning i Excel:
102' =CalculateMillerIndices(2, 3, 6)
103' Resultat: (3,2,1)
104

1#include <iostream>
2#include <vector>
3#include <cmath>
4#include <numeric>
5#include <algorithm>
6
7// Beräkna GCD av två tal
8int gcd(int a, int b) {
9    a = std::abs(a);
10    b = std::abs(b);
11    
12    while (b != 0) {
13        int temp = b;
14        b = a % b;
15        a = temp;
16    }
17    
18    return a;
19}
20
21// Beräkna GCD av flera tal
22int gcdMultiple(const std::vector<int>& numbers) {
23    int result = numbers[0];
24    for (size_t i = 1; i < numbers.size(); ++i) {
25        result = gcd(result, numbers[i]);
26    }
27    return result;
28}
29
30// Beräkna Miller-index från skärningspunkter
31std::vector<int> calculateMillerIndices(const std::vector<double>& intercepts) {
32    std::vector<double> reciprocals;
33    
34    // Beräkna reciprokaler
35    for (double intercept : intercepts) {
36        if (intercept == 0 || std::isinf(intercept)) {
37            reciprocals.push_back(0);
38        } else {
39            reciprocals.push_back(1.0 / intercept);
40        }
41    }
42    
43    // Hitta icke-nollvärden
44    std::vector<double> nonZeroReciprocals;
45    for (double r : reciprocals) {
46        if (r != 0) {
47            nonZeroReciprocals.push_back(r);
48        }
49    }
50    
51    if (nonZeroReciprocals.empty()) {
52        return {0, 0, 0};
53    }
54    
55    // Skala till heltal
56    const int scale = 1000;
57    std::vector<int> scaled;
58    for (double r : nonZeroReciprocals) {
59        scaled.push_back(std::round(r * scale));
60    }
61    
62    // Hitta GCD
63    int divisor = gcdMultiple(scaled);
64    
65    // Konvertera till minsta heltal
66    std::vector<int> millerIndices;
67    for (double r : reciprocals) {
68        if (r == 0) {
69            millerIndices.push_back(0);
70        } else {
71            millerIndices.push_back(std::round((r * scale) / divisor));
72        }
73    }
74    
75    return millerIndices;
76}
77
78int main() {
79    std::vector<double> intercepts = {2, 3, 6};
80    std::vector<int> indices = calculateMillerIndices(intercepts);
81    
82    std::cout << "Miller-index för skärningspunkter [";
83    for (size_t i = 0; i < intercepts.size(); ++i) {
84        std::cout << intercepts[i];
85        if (i < intercepts.size() - 1) std::cout << ", ";
86    }
87    std::cout << "]: (";
88    
89    for (size_t i = 0; i < indices.size(); ++i) {
90        std::cout << indices[i];
91        if (i < indices.size() - 1) std::cout << ",";
92    }
93    std::cout << ")" << std::endl;
94    
95    // Utdata: Miller-index för skärningspunkter [2, 3, 6]: (3,2,1)
96    
97    return 0;
98}
99

Numeriska exempel

Här är några vanliga exempel på beräkningar av Miller-index:

Exempel 1: Standardfall
- Skärningspunkter: (2, 3, 6)
- Reciprokaler: (1/2, 1/3, 1/6)
- Multiplicera med LCM av nämnarna (6): (3, 2, 1)
- Miller-index: (3,2,1)
Exempel 2: Plan parallellt med en axel
- Skärningspunkter: (1, ∞, 2)
- Reciprokaler: (1, 0, 1/2)
- Multiplicera med 2: (2, 0, 1)
- Miller-index: (2,0,1)
Exempel 3: Negativa skärningspunkter
- Skärningspunkter: (-1, 2, 3)
- Reciprokaler: (-1, 1/2, 1/3)
- Multiplicera med 6: (-6, 3, 2)
- Miller-index: (-6,3,2)
Exempel 4: Fraktionella skärningspunkter
- Skärningspunkter: (1/2, 1/3, 1/4)
- Reciprokaler: (2, 3, 4)
- Redan i heltalsform
- Miller-index: (2,3,4)
Exempel 5: Särskilt plan (100)
- Skärningspunkter: (1, ∞, ∞)
- Reciprokaler: (1, 0, 0)
- Miller-index: (1,0,0)

Vanliga frågor

Vad används Miller-index till?

Miller-index används för att identifiera och beskriva plan och riktningar i kristallgitter. De ger en standardiserad notation som hjälper kristallografer, materialvetare och ingenjörer att kommunicera om specifika kristallorienteringar. Miller-index är avgörande för att analysera röntgendiffraktionsmönster, förstå kristalltillväxt, beräkna interplanaravstånd och studera olika fysikaliska egenskaper som beror på kristallografisk orientering.

Hur hanterar jag ett plan som är parallellt med en av axlarna?

När ett plan är parallellt med en axel, skär det aldrig den axeln, så skärningspunkten anses vara oändlig. I Miller-indexnotation är reciprokalen av oändlighet noll, så det motsvarande Miller-indexet blir noll. Till exempel skulle ett plan parallellt med y-axeln ha skärningspunkter (a, ∞, c) och Miller-index (h,0,l).

Vad betyder negativa Miller-index?

Negativa Miller-index indikerar att planet skär den motsvarande axeln på den negativa sidan av origo. I kristallografisk notation anges negativa index vanligtvis med en överstrykning över numret, såsom (h̄kl). Negativa index representerar plan som är ekvivalenta med sina positiva motsvarigheter när det gäller fysiska egenskaper men har olika orienteringar.

Hur relaterar Miller-index till kristallstruktur?

Miller-index relaterar direkt till atomarrangemanget i en kristallstruktur. Avståndet mellan plan med specifika Miller-index (dhkl) beror på kristallsystemet och gitterparametrarna. I röntgendiffraktion fungerar dessa plan som reflektionsplan enligt Braggs lag, vilket producerar karaktäristiska diffraktionsmönster som avslöjar kristallstrukturen.

Vad är skillnaden mellan Miller-index och Miller-Bravais-index?

Miller-index använder tre heltal (h,k,l) och är lämpliga för de flesta kristallsystem. Miller-Bravais-index använder fyra heltal (h,k,i,l) och är specifikt utformade för hexagonala kristallsystem. Det fjärde indexet, i, är överflödigt (i = -(h+k)) men hjälper till att bibehålla symmetrin hos det hexagonala systemet och gör motsvarande plan mer lättigenkännliga.

Hur beräknar jag vinkeln mellan två kristallplan?

Vinkeln θ mellan två plan med Miller-index (h₁,k₁,l₁) och (h₂,k₂,l₂) i ett kubiskt kristallsystem kan beräknas med:

$\cos\theta = \frac{h_1h_2 + k_1k_2 + l_1l_2}{\sqrt{(h_1^2 + k_1^2 + l_1^2)(h_2^2 + k_2^2 + l_2^2)}}$

För icke-kubiska system är beräkningen mer komplex och involverar den metriska tensorn för kristallsystemet.

Vad är förhållandet mellan Miller-index och d-avstånd?

D-avståndet (interplanaravstånd) för plan med Miller-index (h,k,l) beror på kristallsystemet. För en kubisk kristall med gitterparameter a är förhållandet:

$d_{hkl} = \frac{a}{\sqrt{h^2 + k^2 + l^2}}$

För andra kristallsystem gäller mer komplexa formler som inkluderar de specifika gitterparametrarna.

Kan Miller-index vara fraktioner?

Nej, enligt konvention är Miller-index alltid heltal. Om beräkningen initialt ger fraktioner, konverteras de till den minsta uppsättningen av heltal som bibehåller samma förhållande. Detta görs genom att multiplicera alla värden med det minsta gemensamma multiplet.

Hur bestämmer jag Miller-index för ett kristallansikte experimentellt?

Miller-index för kristallansikten kan bestämmas experimentellt med hjälp av röntgendiffraktion, elektrondiffraktion eller optisk goniometri. I röntgendiffraktion är de vinklar vid vilka diffraktion sker relaterade till d-avståndet för kristallplan genom Braggs lag, vilket kan användas för att identifiera motsvarande Miller-index.

Vad är Miller-index för vanliga kristallplan?

Några vanliga kristallplan och deras Miller-index inkluderar:

(100), (010), (001): Primära kubiska ansikten
(110), (101), (011): Diagonalplan i kubiska system
(111): Oktahydralt ansikte i kubiska system
(112): Vanligt glidningsplan i kroppscentrerade kubiska metaller

Referenser

Miller, W. H. (1839). A Treatise on Crystallography. Cambridge: For J. & J.J. Deighton.
Ashcroft, N. W., & Mermin, N. D. (1976). Solid State Physics. Holt, Rinehart and Winston.
Hammond, C. (2015). The Basics of Crystallography and Diffraction (4th ed.). Oxford University Press.
Cullity, B. D., & Stock, S. R. (2014). Elements of X-ray Diffraction (3rd ed.). Pearson Education.
Kittel, C. (2004). Introduction to Solid State Physics (8th ed.). Wiley.
Kelly, A., & Knowles, K. M. (2012). Crystallography and Crystal Defects (2nd ed.). Wiley.
International Union of Crystallography. (2016). International Tables for Crystallography, Volume A: Space-group symmetry. Wiley.
Giacovazzo, C., Monaco, H. L., Artioli, G., Viterbo, D., Ferraris, G., Gilli, G., Zanotti, G., & Catti, M. (2011). Fundamentals of Crystallography (3rd ed.). Oxford University Press.
Buerger, M. J. (1978). Elementary Crystallography: An Introduction to the Fundamental Geometrical Features of Crystals. MIT Press.
Tilley, R. J. (2006). Crystals and Crystal Structures. Wiley.

Prova vår Miller Indices Calculator idag för att snabbt och noggrant bestämma Miller-index för vilket kristallplan som helst. Oavsett om du är student som lär dig kristallografi, forskare som analyserar materialstrukturer eller ingenjör som designar nya material, kommer detta verktyg att hjälpa dig att identifiera och förstå kristallplan med lätthet.

🔗

Relaterade verktyg

Upptäck fler verktyg som kan vara användbara för din arbetsflöde

Miller-indices kalkylator för identifiering av kristallplan

Miller Indices Kalkylator

Kristallplans Skärningar

Miller Indices

Visualisering

Vad är Miller Indices?

Dokumentation

Miller Indices Calculator

Introduktion

Vad är Miller-index?

Visuell representation av Miller-index

Formel för att beräkna Miller-index

Särskilda fall och konventioner

Steg-för-steg-guide för att använda kalkylatorn

Exempelberäkning

Användningsområden för Miller-index

Kristallografi och röntgendiffraktion

Materialvetenskap och ingenjörsvetenskap

Mineralogi och geologi

Utbildningsändamål

Alternativ till Miller-index

Historia om Miller-index

Kodexempel för att beräkna Miller-index

Numeriska exempel

Vanliga frågor

Vad används Miller-index till?

Hur hanterar jag ett plan som är parallellt med en av axlarna?

Vad betyder negativa Miller-index?

Hur relaterar Miller-index till kristallstruktur?

Vad är skillnaden mellan Miller-index och Miller-Bravais-index?

Hur beräknar jag vinkeln mellan två kristallplan?

Vad är förhållandet mellan Miller-index och d-avstånd?

Kan Miller-index vara fraktioner?

Hur bestämmer jag Miller-index för ett kristallansikte experimentellt?

Vad är Miller-index för vanliga kristallplan?

Referenser

Relaterade verktyg

Six Sigma-kalkylator: Mät din processkvalitet

Molekylvikt Kalkylator - Gratis Kemisk Formel Verktyg

Binomialfördelning Kalkylator för Sannolikhetsberäkning

Gammafördelningsräknare för statistisk analys och visualisering

Betongpelarcalkylator: Volym & Nödvändiga påsar

Tidsintervallberäknare: Hitta tid mellan två datum