Kristal Düzlem Tanımlama için Miller Indisleri Hesaplayıcı
Bu kullanımı kolay araç ile kristal düzlem kesişimlerinden Miller indislerini hesaplayın. Kristalografi, malzeme bilimi ve katı hal fiziği uygulamaları için gereklidir.
Miller Indisleri Hesaplayıcı
Kristal Düzlem Kesimleri
Kristal düzlemin x, y ve z eksenleri ile kesimlerini girin. Bir eksene paralel düzlemler için '0' kullanın (sonsuz kesim).
Sonsuz için bir sayı veya 0 girin
Sonsuz için bir sayı veya 0 girin
Sonsuz için bir sayı veya 0 girin
Miller Indisleri
Bu düzlem için Miller indisleri:
Görselleştirme
Miller Indisleri Nedir?
Miller indisleri, kristal kafesindeki düzlemleri ve yönleri belirtmek için kristalografi alanında kullanılan bir notasyon sistemidir.
Kesimlerden (a,b,c) Miller indislerini (h,k,l) hesaplamak için:
1. Kesimlerin tersini alın: (1/a, 1/b, 1/c) 2. Aynı oranla en küçük tam sayı setine dönüştürün 3. Bir düzlem bir eksene paralel ise (kesim = sonsuz), karşılık gelen Miller indeksi 0'dır
- Negatif indisler, sayının üzerinde bir çubuk ile gösterilir, örn. (h̄,k,l)
- Notasyon (hkl) belirli bir düzlemi temsil ederken, {hkl} eşdeğer düzlemler ailesini temsil eder
- Yön indisleri köşeli parantez içinde yazılır [hkl], yön aileleri ise <hkl> ile gösterilir
Belgeler
Miller Indices Hesaplayıcı
Giriş
Miller Indeksleri Hesaplayıcı, kristalograflar, malzeme bilimcileri ve öğrencilerin kristal düzlemlerinin Miller indekslerini belirlemeleri için güçlü bir araçtır. Miller indeksleri, kristal kafesindeki düzlemleri ve yönleri belirtmek için kristalografide kullanılan bir notasyon sistemidir. Bu hesaplayıcı, bir kristal düzleminin koordinat eksenleri ile kesişim noktalarını kolayca Miller indekslerine dönüştürmenizi sağlar ve belirli kristal düzlemlerini tanımlamak ve iletişim kurmak için standart bir yol sunar.
Miller indeksleri, kristal yapıların ve özelliklerinin anlaşılmasında temeldir. Düzlemleri üç tam sayı (h,k,l) ile temsil ederek, Miller indeksleri bilim insanlarının X-ışını kırınımı desenlerini analiz etmelerini, kristal büyüme davranışlarını tahmin etmelerini, düzlemler arası mesafeleri hesaplamalarını ve kristalografik yönelime bağlı çeşitli fiziksel özellikleri incelemelerini sağlar.
Miller İndeksleri Nedir?
Miller indeksleri, bir kristal kafesinde paralel düzlemler ailesini tanımlayan üç tam sayı (h,k,l) kümesidir. Bu indeksler, bir düzlemin kristalografik eksenlerle yaptığı kesişimlerin terslerinden türetilir. Notasyon, bir kristal yapısı içindeki belirli düzlemleri tanımlamak için standart bir yol sağlar.
Miller İndekslerinin Görsel Temsili
Miller İndekslerini Hesaplama Formülü
Bir kristal düzleminin Miller indekslerini (h,k,l) hesaplamak için şu matematiksel adımları izleyin:
- Düzlemin x, y ve z kristalografik eksenleri ile yaptığı kesişimleri belirleyin ve a, b, c değerlerini elde edin.
- Bu kesişimlerin terslerini alın: 1/a, 1/b, 1/c.
- Bu tersleri, aynı oranı koruyan en küçük tam sayı kümesine dönüştürün.
- Elde edilen üç tam sayı, Miller indeksleridir (h,k,l).
Matematiksel olarak bu şu şekilde ifade edilebilir:
Burada:
- (h,k,l) Miller indeksleridir
- a, b, c düzlemin x, y ve z eksenleri ile yaptığı kesişimlerdir
Özel Durumlar ve Konvansiyonlar
Anlaşılması gereken birkaç özel durum ve konvansiyon vardır:
-
Sonsuz Kesişimler: Eğer bir düzlem bir eksene paralel ise, kesişimi sonsuz olarak kabul edilir ve ilgili Miller indeksi sıfır olur.
-
Negatif İndeksler: Eğer bir düzlem bir ekseni negatif tarafta kesiyorsa, ilgili Miller indeksi negatif olur ve kristalografik notasyonda sayının üstünde bir çarpı ile gösterilir, örneğin (h̄kl).
-
Kesirli Kesişimler: Kesişimler kesirli ise, bunlar en küçük ortak kat ile çarpılarak tam sayılara dönüştürülür.
-
Sadeleştirme: Miller indeksleri her zaman aynı oranı koruyan en küçük tam sayı kümesine indirgenir.
Hesaplayıcıyı Kullanma Adım Adım Kılavuzu
Miller İndeksleri Hesaplayıcımız, herhangi bir kristal düzleminin Miller indekslerini belirlemek için basit bir yol sunar. İşte nasıl kullanacağınız:
-
Kesişimleri Girin: Düzlemin x, y ve z eksenleri ile kesiştiği değerleri girin.
- Orijinal tarafında pozitif sayılar kullanın.
- Negatif tarafında kesişimler için negatif sayılar kullanın.
- Bir eksene paralel olan düzlemler için "0" girin (sonsuz kesişim).
-
Sonuçları Görüntüleyin: Hesaplayıcı, belirtilen düzlem için otomatik olarak Miller indekslerini (h,k,l) hesaplayacak ve görüntüleyecektir.
-
Düzlemi Görselleştirin: Hesaplayıcı, düzlemin kristal kafesi içindeki yönelimini anlamanıza yardımcı olacak bir 3D görselleştirme içerir.
-
Sonuçları Kopyalayın: Hesaplanan Miller indekslerini diğer uygulamalara kolayca aktarmak için "Panoya Kopyala" butonunu kullanın.
Örnek Hesaplama
Bir örnek üzerinden geçelim:
Diyelim ki bir düzlem x, y ve z eksenlerinde sırasıyla 2, 3 ve 6 noktalarında kesişiyor.
- Kesişimler (2, 3, 6) dir.
- Terslerini alıyoruz: (1/2, 1/3, 1/6).
- Oranları koruyan en küçük tam sayı kümesini bulmak için, paydalardaki en küçük ortak kat (2, 3, 6'nın LCM = 6) ile çarpıyoruz: (1/2 × 6, 1/3 × 6, 1/6 × 6) = (3, 2, 1).
- Bu nedenle, Miller indeksleri (3,2,1) dir.
Miller İndekslerinin Kullanım Alanları
Miller indeksleri, çeşitli bilimsel ve mühendislik alanlarında birçok uygulamaya sahiptir:
Kristalografi ve X-ışını Kırınımı
Miller indeksleri, X-ışını kırınımı desenlerini yorumlamak için gereklidir. Miller indeksleri ile tanımlanan kristal düzlemleri arasındaki mesafe, X-ışınlarının kırıldığı açılara göre belirlenir ve Bragg yasasını takip eder:
Burada:
- bir tam sayıdır
- X-ışınlarının dalga boyudur
- Miller indeksleri (h,k,l) olan düzlemler arasındaki mesafedir
- gelen açıdır
Malzeme Bilimi ve Mühendislik
-
Yüzey Enerjisi Analizi: Farklı kristalografik düzlemlerin farklı yüzey enerjileri vardır, bu da kristal büyümesi, kataliz ve yapışma gibi özellikleri etkiler.
-
Mekanik Özellikler: Kristal düzlemlerin yönelimi, kayma sistemleri, çatlama düzlemleri ve kırılma davranışı gibi mekanik özellikleri etkiler.
-
Yarı İletken Üretimi: Yarı iletken üretiminde, belirli kristal düzlemleri, elektronik özellikleri nedeniyle epitaksiyel büyüme ve cihaz üretimi için seçilir.
-
Doku Analizi: Miller indeksleri, polikristalin malzemelerde tercih edilen yönelimleri (doku) tanımlamaya yardımcı olur ve fiziksel özellikleri etkiler.
Mineralojik ve Jeolojik Uygulamalar
Jeologlar, minerallerde kristal yüzeylerini ve çatlama düzlemlerini tanımlamak için Miller indekslerini kullanır, bu da tanımlama ve oluşum koşullarını anlamaya yardımcı olur.
Eğitim Uygulamaları
Miller indeksleri, malzeme bilimi, kristalografi ve katı hal fiziği derslerinde öğretilen temel kavramlardır, bu nedenle bu hesaplayıcı değerli bir eğitim aracı olacaktır.
Miller İndekslerinin Alternatifleri
Miller indeksleri, kristal düzlemleri için en yaygın kullanılan notasyon olmasına rağmen, birkaç alternatif sistem vardır:
-
Miller-Bravais İndeksleri: Altıgen kristal sistemleri için kullanılan dört indeksli notasyon (h,k,i,l), burada i = -(h+k) şeklindedir. Bu notasyon, altıgen yapıların simetrisini daha iyi yansıtır.
-
Weber Sembolleri: Öncelikle daha eski literatürde, özellikle kübik kristallerde yönleri tanımlamak için kullanılır.
-
Doğrudan Kristal Vektörleri: Bazı durumlarda, düzlemler Miller indeksleri yerine doğrudan kristal vektörleri kullanılarak tanımlanır.
-
Wyckoff Pozisyonları: Kristal yapılar içindeki atom pozisyonlarını tanımlamak için kullanılır, düzlemler yerine.
Bu alternatiflere rağmen, Miller indeksleri basitlikleri ve tüm kristal sistemleri için evrensel uygulanabilirlikleri nedeniyle standart notasyon olarak kalmaktadır.
Miller İndekslerinin Tarihi
Miller indeksleri sistemi, 1839'da Britanyalı minerolog ve kristalograf William Hallowes Miller tarafından geliştirilmiş ve "A Treatise on Crystallography" adlı eserinde yayımlanmıştır. Miller'in notasyonu, Auguste Bravais ve diğerlerinin daha önceki çalışmalarına dayanıyordu, ancak birçok kristalografik hesaplamayı basitleştiren ve daha sezgisel bir temsil sağlayan daha zarif ve matematiksel olarak tutarlı bir yaklaşım sundu.
Miller'in sisteminden önce, kristal yüzeylerini tanımlamak için çeşitli notasyonlar kullanılıyordu, bunlar arasında Weiss parametreleri ve Naumann sembolleri bulunuyordu. Miller'in yeniliği, kesişimlerin terslerini kullanmak oldu; bu, birçok kristalografik hesaplamayı basitleştirdi ve paralel düzlemleri daha sezgisel bir şekilde temsil etti.
Miller indekslerinin benimsenmesi, Max von Laue tarafından 1912'de X-ışını kırınımının keşfi ve ardından William Lawrence Bragg ve William Henry Bragg'ın yaptığı çalışmalarla hızlandı. Bu araştırmalar, Miller indekslerinin kırınım desenlerini yorumlamada ve kristal yapılarını belirlemede pratik faydasını gösterdi.
- yüzyıl boyunca, kristalografi malzeme bilimi, katı hal fiziği ve biyokimya alanlarında giderek daha önemli hale geldikçe, Miller indeksleri standart notasyon olarak sağlam bir şekilde yerleşti. Bugün, modern malzeme karakterizasyon tekniklerinde, hesaplamalı kristalografide ve nanomaterial tasarımında hala temel bir öneme sahiptir.
Miller İndekslerini Hesaplamak için Kod Örnekleri
1import math
2import numpy as np
3
4def calculate_miller_indices(intercepts):
5 """
6 Kesişen noktalar ile Miller indekslerini hesapla
7
8 Args:
9 intercepts: Üç kesişim [a, b, c] listesi
10
11 Returns:
12 Üç Miller indeksi [h, k, l] listesi
13 """
14 # Sonsuz kesişimleri (eksene paralel) ele al
15 reciprocals = []
16 for intercept in intercepts:
17 if intercept == 0 or math.isinf(intercept):
18 reciprocals.append(0)
19 else:
20 reciprocals.append(1 / intercept)
21
22 # GCD hesaplama için sıfır olmayan değerleri bul
23 non_zero = [r for r in reciprocals if r != 0]
24
25 if not non_zero:
26 return [0, 0, 0]
27
28 # Tam sayılara ölçekleme (kayan nokta sorunlarını önlemek için)
29 scale = 1000
30 scaled = [round(r * scale) for r in non_zero]
31
32 # GCD'yi bul
33 gcd_value = np.gcd.reduce(scaled)
34
35 # En küçük tam sayılara dönüştür
36 miller_indices = []
37 for r in reciprocals:
38 if r == 0:
39 miller_indices.append(0)
40 else:
41 miller_indices.append(round((r * scale) / gcd_value))
42
43 return miller_indices
44
45# Örnek kullanım
46intercepts = [2, 3, 6]
47indices = calculate_miller_indices(intercepts)
48print(f"Kesişimler {intercepts} için Miller indeksleri: {indices}") # Çıktı: [3, 2, 1]
491function gcd(a, b) {
2 a = Math.abs(a);
3 b = Math.abs(b);
4
5 while (b !== 0) {
6 const temp = b;
7 b = a % b;
8 a = temp;
9 }
10
11 return a;
12}
13
14function gcdMultiple(numbers) {
15 return numbers.reduce((result, num) => gcd(result, num), numbers[0]);
16}
17
18function calculateMillerIndices(intercepts) {
19 // Sonsuz kesişimleri ele al
20 const reciprocals = intercepts.map(intercept => {
21 if (intercept === 0 || !isFinite(intercept)) {
22 return 0;
23 }
24 return 1 / intercept;
25 });
26
27 // GCD hesaplama için sıfır olmayan değerleri bul
28 const nonZeroReciprocals = reciprocals.filter(val => val !== 0);
29
30 if (nonZeroReciprocals.length === 0) {
31 return [0, 0, 0];
32 }
33
34 // Tam sayılara ölçekleme (kayan nokta sorunlarını önlemek için)
35 const scale = 1000;
36 const scaled = nonZeroReciprocals.map(val => Math.round(val * scale));
37
38 // GCD'yi bul
39 const divisor = gcdMultiple(scaled);
40
41 // En küçük tam sayılara dönüştür
42 const millerIndices = reciprocals.map(val =>
43 val === 0 ? 0 : Math.round((val * scale) / divisor)
44 );
45
46 return millerIndices;
47}
48
49// Örnek
50const intercepts = [2, 3, 6];
51const indices = calculateMillerIndices(intercepts);
52console.log(`Kesişimler ${intercepts} için Miller indeksleri: (${indices.join(',')})`);
53// Çıktı: Kesişimler 2,3,6 için Miller indeksleri: (3,2,1)
541import java.util.Arrays;
2
3public class MillerIndicesCalculator {
4
5 public static int gcd(int a, int b) {
6 a = Math.abs(a);
7 b = Math.abs(b);
8
9 while (b != 0) {
10 int temp = b;
11 b = a % b;
12 a = temp;
13 }
14
15 return a;
16 }
17
18 public static int gcdMultiple(int[] numbers) {
19 int result = numbers[0];
20 for (int i = 1; i < numbers.length; i++) {
21 result = gcd(result, numbers[i]);
22 }
23 return result;
24 }
25
26 public static int[] calculateMillerIndices(double[] intercepts) {
27 double[] reciprocals = new double[intercepts.length];
28
29 // Tersleri hesapla
30 for (int i = 0; i < intercepts.length; i++) {
31 if (intercepts[i] == 0 || Double.isInfinite(intercepts[i])) {
32 reciprocals[i] = 0;
33 } else {
34 reciprocals[i] = 1 / intercepts[i];
35 }
36 }
37
38 // Sıfır olmayan değerleri say
39 int nonZeroCount = 0;
40 for (double r : reciprocals) {
41 if (r != 0) nonZeroCount++;
42 }
43
44 if (nonZeroCount == 0) {
45 return new int[]{0, 0, 0};
46 }
47
48 // Tam sayılara ölçekleme
49 int scale = 1000;
50 int[] scaled = new int[nonZeroCount];
51 int index = 0;
52
53 for (double r : reciprocals) {
54 if (r != 0) {
55 scaled[index++] = (int) Math.round(r * scale);
56 }
57 }
58
59 // GCD'yi bul
60 int divisor = gcdMultiple(scaled);
61
62 // En küçük tam sayılara dönüştür
63 int[] millerIndices = new int[reciprocals.length];
64 for (int i = 0; i < reciprocals.length; i++) {
65 if (reciprocals[i] == 0) {
66 millerIndices[i] = 0;
67 } else {
68 millerIndices[i] = (int) Math.round((reciprocals[i] * scale) / divisor);
69 }
70 }
71
72 return millerIndices;
73 }
74
75 public static void main(String[] args) {
76 double[] intercepts = {2, 3, 6};
77 int[] indices = calculateMillerIndices(intercepts);
78
79 System.out.println("Kesişimler " +
80 Arrays.toString(intercepts) + " için Miller indeksleri: " +
81 Arrays.toString(indices));
82 // Çıktı: Kesişimler [2.0, 3.0, 6.0] için Miller indeksleri: [3, 2, 1]
83 }
84}
851' Excel VBA Fonksiyonu Miller İndekslerini Hesaplamak için
2Function CalculateMillerIndices(x As Double, y As Double, z As Double) As String
3 Dim recipX As Double, recipY As Double, recipZ As Double
4 Dim nonZeroCount As Integer, i As Integer
5 Dim scale As Long, gcdVal As Long
6 Dim scaledVals() As Long
7 Dim millerH As Long, millerK As Long, millerL As Long
8
9 ' Tersleri hesapla
10 If x = 0 Then
11 recipX = 0
12 Else
13 recipX = 1 / x
14 End If
15
16 If y = 0 Then
17 recipY = 0
18 Else
19 recipY = 1 / y
20 End If
21
22 If z = 0 Then
23 recipZ = 0
24 Else
25 recipZ = 1 / z
26 End If
27
28 ' Sıfır olmayan değerleri say
29 nonZeroCount = 0
30 If recipX <> 0 Then nonZeroCount = nonZeroCount + 1
31 If recipY <> 0 Then nonZeroCount = nonZeroCount + 1
32 If recipZ <> 0 Then nonZeroCount = nonZeroCount + 1
33
34 If nonZeroCount = 0 Then
35 CalculateMillerIndices = "(0,0,0)"
36 Exit Function
37 End If
38
39 ' Tam sayılara ölçekleme
40 scale = 1000
41 ReDim scaledVals(1 To nonZeroCount)
42 i = 1
43
44 If recipX <> 0 Then
45 scaledVals(i) = Round(recipX * scale)
46 i = i + 1
47 End If
48
49 If recipY <> 0 Then
50 scaledVals(i) = Round(recipY * scale)
51 i = i + 1
52 End If
53
54 If recipZ <> 0 Then
55 scaledVals(i) = Round(recipZ * scale)
56 End If
57
58 ' GCD'yi bul
59 gcdVal = scaledVals(1)
60 For i = 2 To nonZeroCount
61 gcdVal = GCD(gcdVal, scaledVals(i))
62 Next i
63
64 ' Miller indekslerini hesapla
65 If recipX = 0 Then
66 millerH = 0
67 Else
68 millerH = Round((recipX * scale) / gcdVal)
69 End If
70
71 If recipY = 0 Then
72 millerK = 0
73 Else
74 millerK = Round((recipY * scale) / gcdVal)
75 End If
76
77 If recipZ = 0 Then
78 millerL = 0
79 Else
80 millerL = Round((recipZ * scale) / gcdVal)
81 End If
82
83 CalculateMillerIndices = "(" & millerH & "," & millerK & "," & millerL & ")"
84End Function
85
86Function GCD(a As Long, b As Long) As Long
87 Dim temp As Long
88
89 a = Abs(a)
90 b = Abs(b)
91
92 Do While b <> 0
93 temp = b
94 b = a Mod b
95 a = temp
96 Loop
97
98 GCD = a
99End Function
100
101' Excel'de kullanım:
102' =CalculateMillerIndices(2, 3, 6)
103' Sonuç: (3,2,1)
1041#include <iostream>
2#include <vector>
3#include <cmath>
4#include <numeric>
5#include <algorithm>
6
7// İki sayının GCD'sini hesapla
8int gcd(int a, int b) {
9 a = std::abs(a);
10 b = std::abs(b);
11
12 while (b != 0) {
13 int temp = b;
14 b = a % b;
15 a = temp;
16 }
17
18 return a;
19}
20
21// Birden fazla sayının GCD'sini hesapla
22int gcdMultiple(const std::vector<int>& numbers) {
23 int result = numbers[0];
24 for (size_t i = 1; i < numbers.size(); ++i) {
25 result = gcd(result, numbers[i]);
26 }
27 return result;
28}
29
30// Kesişen noktalar ile Miller indekslerini hesapla
31std::vector<int> calculateMillerIndices(const std::vector<double>& intercepts) {
32 std::vector<double> reciprocals;
33
34 // Tersleri hesapla
35 for (double intercept : intercepts) {
36 if (intercept == 0 || std::isinf(intercept)) {
37 reciprocals.push_back(0);
38 } else {
39 reciprocals.push_back(1.0 / intercept);
40 }
41 }
42
43 // Sıfır olmayan değerleri bul
44 std::vector<double> nonZeroReciprocals;
45 for (double r : reciprocals) {
46 if (r != 0) {
47 nonZeroReciprocals.push_back(r);
48 }
49 }
50
51 if (nonZeroReciprocals.empty()) {
52 return {0, 0, 0};
53 }
54
55 // Tam sayılara ölçekleme
56 const int scale = 1000;
57 std::vector<int> scaled;
58 for (double r : nonZeroReciprocals) {
59 scaled.push_back(std::round(r * scale));
60 }
61
62 // GCD'yi bul
63 int divisor = gcdMultiple(scaled);
64
65 // En küçük tam sayılara dönüştür
66 std::vector<int> millerIndices;
67 for (double r : reciprocals) {
68 if (r == 0) {
69 millerIndices.push_back(0);
70 } else {
71 millerIndices.push_back(std::round((r * scale) / divisor));
72 }
73 }
74
75 return millerIndices;
76}
77
78int main() {
79 std::vector<double> intercepts = {2, 3, 6};
80 std::vector<int> indices = calculateMillerIndices(intercepts);
81
82 std::cout << "Kesişimler [";
83 for (size_t i = 0; i < intercepts.size(); ++i) {
84 std::cout << intercepts[i];
85 if (i < intercepts.size() - 1) std::cout << ", ";
86 }
87 std::cout << "]: (";
88
89 for (size_t i = 0; i < indices.size(); ++i) {
90 std::cout << indices[i];
91 if (i < indices.size() - 1) std::cout << ",";
92 }
93 std::cout << ")" << std::endl;
94
95 // Çıktı: Kesişimler [2, 3, 6]: (3,2,1)
96
97 return 0;
98}
99Sayısal Örnekler
İşte bazı yaygın Miller indeksleri hesaplama örnekleri:
-
Örnek 1: Standart Durum
- Kesişimler: (2, 3, 6)
- Tersler: (1/2, 1/3, 1/6)
- Paydaların en küçük ortak katı ile çarp: (3, 2, 1)
- Miller indeksleri: (3,2,1)
-
Örnek 2: Bir Eksene Paralel Düzlem
- Kesişimler: (1, ∞, 2)
- Tersler: (1, 0, 1/2)
- 2 ile çarp: (2, 0, 1)
- Miller indeksleri: (2,0,1)
-
Örnek 3: Negatif Kesişimler
- Kesişimler: (-1, 2, 3)
- Tersler: (-1, 1/2, 1/3)
- 6 ile çarp: (-6, 3, 2)
- Miller indeksleri: (-6,3,2)
-
Örnek 4: Kesirli Kesişimler
- Kesişimler: (1/2, 1/3, 1/4)
- Tersler: (2, 3, 4)
- Zaten tam sayı formunda
- Miller indeksleri: (2,3,4)
-
Örnek 5: Özel Düzlem (100)
- Kesişimler: (1, ∞, ∞)
- Tersler: (1, 0, 0)
- Miller indeksleri: (1,0,0)
Sıkça Sorulan Sorular
Miller indeksleri ne için kullanılır?
Miller indeksleri, kristal kafesindeki düzlemleri ve yönleri tanımlamak ve belirtmek için kullanılır. Belirli kristal yönelimleri hakkında iletişim kurmak için standart bir notasyon sağlar. Miller indeksleri, X-ışını kırınımı desenlerini analiz etmek, kristal büyüme davranışlarını tahmin etmek, düzlemler arası mesafeleri hesaplamak ve kristalografik yönelime bağlı çeşitli fiziksel özellikleri incelemek için gereklidir.
Bir düzlemin bir eksene paralel olması durumunda ne yapmalıyım?
Bir düzlem bir eksene paralel olduğunda, o ekseni hiç kesmediği için kesişimi sonsuz olarak kabul edilir. Miller indeksleri notasyonunda, sonsuzun tersi sıfırdır, bu nedenle ilgili Miller indeksi sıfır olur. Örneğin, y eksenine paralel bir düzlem, kesişimleri (a, ∞, c) olduğunda Miller indeksleri (h,0,l) olur.
Negatif Miller indeksleri ne anlama gelir?
Negatif Miller indeksleri, düzlemin ilgili ekseni orijinin negatif tarafında kesmesi durumunda ortaya çıkar. Kristalografik notasyonda, negatif indeksler genellikle sayının üstünde bir çarpı ile gösterilir, örneğin (h̄kl). Negatif indeksler, fiziksel özellikler açısından pozitif karşıtlarıyla eşdeğer olan ancak farklı yönelimleri temsil eden düzlemleri ifade eder.
Miller indeksleri kristal yapısı ile nasıl ilişkilidir?
Miller indeksleri, bir kristal yapısındaki atomik düzenlemelerle doğrudan ilişkilidir. Belirli Miller indekslerine sahip düzlemler arasındaki mesafe (dhkl), kristal sistemine ve kafes parametrelerine bağlıdır. X-ışını kırınımında, bu düzlemler Bragg yasasına göre yansıtma düzlemleri olarak işlev görür ve kristal yapısını ortaya çıkaran karakteristik kırınım desenleri üretir.
Miller indeksleri ile Miller-Bravais indeksleri arasındaki fark nedir?
Miller indeksleri, üç tam sayı (h,k,l) kullanır ve çoğu kristal sistemi için uygundur. Miller-Bravais indeksleri, altıgen kristal sistemleri için dört tam sayı (h,k,i,l) kullanır. Dördüncü indeks olan i, gereksizdir (i = -(h+k)) ancak altıgen sistemin simetrisini korumaya yardımcı olur ve eşdeğer düzlemleri daha belirgin hale getirir.
İki kristal düzlemi arasındaki açıyı nasıl hesaplarım?
Miller indeksleri (h₁,k₁,l₁) ve (h₂,k₂,l₂) olan iki düzlem arasındaki açı θ, kübik bir kristal sisteminde şu şekilde hesaplanabilir:
Kübik olmayan sistemler için hesaplama daha karmaşıktır ve kristal sisteminin metrik tensörünü içerir.
Miller indeksleri kesir olabilir mi?
Hayır, geleneksel olarak Miller indeksleri her zaman tam sayılardır. Hesaplama başlangıçta kesirler verirse, bunlar aynı oranı koruyan en küçük tam sayı kümesine dönüştürülür. Bu, tüm değerlerin paydalarının en küçük ortak katı ile çarpılmasıyla yapılır.
Kristal yüzeylerinin Miller indekslerini deneysel olarak nasıl belirlerim?
Kristal yüzeylerinin Miller indeksleri, X-ışını kırınımı, elektron kırınımı veya optik goniometri kullanılarak deneysel olarak belirlenebilir. X-ışını kırınımında, kırınımın meydana geldiği açılar, düzlemler arasındaki d-mesafesi ile ilişkilidir ve Bragg yasası kullanılarak ilgili Miller indeksleri tanımlanabilir.
Yaygın kristal düzlemlerinin Miller indeksleri nelerdir?
Bazı yaygın kristal düzlemleri ve Miller indeksleri şunlardır:
- (100), (010), (001): Kübik ana yüzeyler
- (110), (101), (011): Kübik sistemlerde çapraz yüzeyler
- (111): Kübik sistemlerde oktahedral yüz
- (112): Vücut merkezli kübik metallerde yaygın kayma düzlemi
Referanslar
-
Miller, W. H. (1839). A Treatise on Crystallography. Cambridge: For J. & J.J. Deighton.
-
Ashcroft, N. W., & Mermin, N. D. (1976). Solid State Physics. Holt, Rinehart and Winston.
-
Hammond, C. (2015). The Basics of Crystallography and Diffraction (4th ed.). Oxford University Press.
-
Cullity, B. D., & Stock, S. R. (2014). Elements of X-ray Diffraction (3rd ed.). Pearson Education.
-
Kittel, C. (2004). Introduction to Solid State Physics (8th ed.). Wiley.
-
Kelly, A., & Knowles, K. M. (2012). Crystallography and Crystal Defects (2nd ed.). Wiley.
-
International Union of Crystallography. (2016). International Tables for Crystallography, Volume A: Space-group symmetry. Wiley.
-
Giacovazzo, C., Monaco, H. L., Artioli, G., Viterbo, D., Ferraris, G., Gilli, G., Zanotti, G., & Catti, M. (2011). Fundamentals of Crystallography (3rd ed.). Oxford University Press.
-
Buerger, M. J. (1978). Elementary Crystallography: An Introduction to the Fundamental Geometrical Features of Crystals. MIT Press.
-
Tilley, R. J. (2006). Crystals and Crystal Structures. Wiley.
Miller İndeksleri Hesaplayıcımızı bugün deneyin ve herhangi bir kristal düzlemi için Miller indekslerini hızlı ve doğru bir şekilde belirleyin. İster kristalografiyi öğrenen bir öğrenci, ister malzeme yapılarını analiz eden bir araştırmacı, ister yeni malzemeler tasarlayan bir mühendis olun, bu araç size kristal düzlemlerini tanımlamada ve anlamada kolaylık sağlayacaktır.
İlgili Araçlar
İş akışınız için faydalı olabilecek daha fazla aracı keşfedin