Konwerter Systemów Liczbowych: Binarny, Heksadecymalny, Dziesiętny i Ósemkowy

Konwerter systemów liczbowych

Konwerter systemów liczbowych zmienia sposób zapisu liczby z jednego pozycyjnego systemu liczbowego na inny, nie zmieniając jej wartości. Może przekształcić zapis binarny na dziesiętny, dziesiętny na szesnastkowy albo konwertować między dowolnymi dwiema podstawami od 2 do 36.

Czym jest podstawa systemu liczbowego?

Podstawa systemu liczbowego, zwana także bazą (radix), to liczba różnych cyfr używanych przez system, zanim zaczną się one powtarzać na nowej pozycji. System dziesiętny, używany do codziennego liczenia, ma podstawę 10. Wykorzystuje dziesięć cyfr: od 0 do 9. System binarny ma podstawę 2 i używa tylko cyfr 0 oraz 1. Gdy podstawa przekracza 10, brakujące cyfry zastępuje się literami: A oznacza 10, B oznacza 11 i tak dalej aż do Z, które oznacza 35. Pozwala to uzyskać podstawę 36, najwyższą podstawę obsługiwaną przez większość konwerterów, przy użyciu tylko 26 liter alfabetu oraz 10 cyfr.

Wartość pozycyjna każdej cyfry w liczbie zależy od potęg podstawy. W systemie dziesiętnym liczba zapisana jako „205” oznacza 2 setki, 0 dziesiątek i 5 jedności, ponieważ 100 i 10 są potęgami 10. Ta sama zasada obowiązuje w każdej podstawie: cyfrę najbardziej wysuniętą w prawo mnoży się przez podstawę⁰, następną przez podstawę¹, kolejną przez podstawę² i tak dalej.

Jak przekonwertować liczbę na inną podstawę

Konwersja liczby na system dziesiętny

Aby przekształcić liczbę zapisaną w dowolnej podstawie na system dziesiętny, należy pomnożyć każdą cyfrę przez podstawę podniesioną do potęgi odpowiadającej jej pozycji, licząc od 0 po prawej stronie, a następnie dodać otrzymane wyniki.

Wzór: wartość = dₙ × podstawaⁿ + ... + d₁ × podstawa¹ + d₀ × podstawa⁰

Przykład: Przekształć liczbę 101 w systemie o podstawie 5 na system dziesiętny.

• (1 × 5²) + (0 × 5¹) + (1 × 5⁰)
• = 25 + 0 + 1
• = 26

Zatem 101 w systemie o podstawie 5 równa się 26 w systemie dziesiętnym.

Konwersja z systemu dziesiętnego na inną podstawę

Aby przekształcić liczbę dziesiętną na inną podstawę, należy wielokrotnie dzielić ją przez docelową podstawę i zapisywać każdą resztę. Należy zakończyć, gdy liczba osiągnie 0, a następnie odczytać reszty od ostatniej uzyskanej do pierwszej.

Przykład: Przekształć liczbę dziesiętną 26 na system o podstawie 5.

• 26 ÷ 5 = 5, reszta 1
• 5 ÷ 5 = 1, reszta 0
• 1 ÷ 5 = 0, reszta 1
• Odczytanie reszt od dołu do góry: 101

Potwierdza to wcześniejszy przykład: 26 w systemie dziesiętnym to 101 w systemie o podstawie 5.

Przykład obliczeń

Z systemu binarnego na dziesiętny: Liczbę binarną 1101 przekształca się na system dziesiętny następująco: (1×2³) + (1×2²) + (0×2¹) + (1×2⁰) = 8 + 4 + 0 + 1 = 13.

Z systemu dziesiętnego na szesnastkowy: Liczbę dziesiętną 202 przekształca się na system szesnastkowy następująco: 202 ÷ 16 = 12, reszta 10, następnie 12 ÷ 16 = 0, reszta 12. W systemie szesnastkowym 10 zapisuje się jako A, a 12 jako C. Odczytanie reszt od dołu do góry daje CA. Zatem 202 w systemie dziesiętnym to CA w systemie szesnastkowym.

Z systemu ósemkowego na binarny: Liczbę ósemkową 17 najpierw przekształca się na system dziesiętny: (1×8¹) + (7×8⁰) = 15. Następnie liczbę dziesiętną 15 przekształca się na binarną jako 1111. Zatem 17 w systemie ósemkowym równa się 1111 w systemie binarnym.

Najczęściej używane systemy liczbowe

Bardzo duże liczby

Niektóre konwersje obejmują liczby zbyt duże, aby standardowe obliczenia podwójnej precyzji mogły obsłużyć je dokładnie, na przykład wartość szesnastkową o długości 64 bitów, taką jak FFFFFFFFFFFFFFFF. Ten konwerter obsługuje liczby całkowite o dowolnym rozmiarze, korzystając z arytmetyki całkowitoliczbowej o dowolnej precyzji, dlatego nie zaokrągla ani nie gubi cyfr w długich wartościach.

Jakie dane akceptuje konwerter

Narzędzie odczytuje nieujemne liczby całkowite zapisane za pomocą cyfr źródłowej podstawy. Litery można wpisywać małymi lub wielkimi znakami, więc ff i FF oznaczają 255 w systemie o podstawie 16. Spacje przed liczbą i po niej są ignorowane. Każdy inny znak, taki jak znak minus lub kropka dziesiętna, zostaje odrzucony z komunikatem „Dane wejściowe zawierają nieprawidłowe znaki dla podstawy 16”, w którym wskazana jest ustawiona źródłowa podstawa.

Najczęściej zadawane pytania

Jaka jest różnica między systemem binarnym a szesnastkowym?

System binarny używa tylko dwóch cyfr: 0 i 1. System szesnastkowy używa szesnastu symboli: od 0 do 9 oraz od A do F. Ponieważ 16 = 2⁴, każda pojedyncza cyfra szesnastkowa odpowiada dokładnie czterem cyfrom binarnym, dlatego system szesnastkowy często służy jako skrócony zapis wartości binarnych.

Jak ręcznie przekształcić liczbę dziesiętną na binarną?

Należy wielokrotnie dzielić liczbę dziesiętną przez 2 i zapisywać każdą resztę. Reszty trzeba odczytać w odwrotnej kolejności, od ostatniego dzielenia do pierwszego. Na przykład 13 ÷ 2 = 6, reszta 1, 6 ÷ 2 = 3, reszta 0, 3 ÷ 2 = 1, reszta 1, 1 ÷ 2 = 0, reszta 1. Odczytanie od dołu do góry daje 1101, czyli 13 w systemie binarnym.

Jaka jest największa podstawa obsługiwana przez to narzędzie?

Narzędzie obsługuje podstawy od 2 do 36. Podstawa 36 jest najwyższą podstawą, jaką można uzyskać przy użyciu tylko dziesięciu cyfr 0–9 i dwudziestu sześciu liter A–Z, ponieważ daje to dokładnie 36 różnych symboli.

Czy to narzędzie może konwertować liczby ujemne?

Nie. Akceptuje wyłącznie zero i dodatnie liczby całkowite. Aby przekonwertować liczbę ujemną, należy przekonwertować jej wartość bezwzględną, a następnie ręcznie dodać znak minus do wyniku.

Dlaczego istnieją systemy szesnastkowy i ósemkowy, skoro komputery wewnętrznie używają systemu binarnego?

Długie ciągi 1 i 0 są trudne do odczytania przez ludzi i łatwo pomylić ich liczbę. Ponieważ 16 i 8 są potęgami 2, cyfry szesnastkowe i ósemkowe odpowiadają bezpośrednio stałym grupom cyfr binarnych: odpowiednio cztery bity dla systemu szesnastkowego i trzy bity dla ósemkowego. Dzięki temu długie wartości binarne są krótsze i łatwiejsze do sprawdzenia wzrokowo.

Czy istnieje ograniczenie rozmiaru liczby, którą to narzędzie może przekonwertować?

Nie ma praktycznego ograniczenia. Narzędzie korzysta z arytmetyki o dowolnej precyzji zamiast ze standardowych liczb zmiennoprzecinkowych, dlatego konwertuje bardzo długie wartości, w tym większe niż te, które typowy kalkulator może dokładnie reprezentować, bez błędów zaokrągleń.