حاسبة توزيع بواسون

آلة حاسبة لتوزيع بواسون

مقدمة

توزيع بواسون هو توزيع احتمالي منفصل يعبر عن احتمال حدوث عدد معين من الأحداث في فترة زمنية أو مكان ثابت، بافتراض أن هذه الأحداث تحدث بمعدل متوسط معروف وثابت وبشكل مستقل عن الوقت منذ الحدث الأخير. تتيح لك هذه الآلة الحاسبة تحديد احتمال حدوث عدد معين من الأحداث بناءً على متوسط معدل الحدوث.

الصيغة

تُعطى دالة الكتلة الاحتمالية لتوزيع بواسون بواسطة:

$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$

حيث:

• $\lambda$ (لامدا) هو متوسط عدد الأحداث لكل فترة
• $k$ هو عدد الأحداث التي نحسب احتمالها
• $e$ هو عدد أويلر (حوالي 2.71828)

كيفية استخدام هذه الآلة الحاسبة

1. أدخل معدل الحدوث المتوسط ($\lambda$)
2. أدخل عدد الأحداث التي تهمك ($k$)
3. انقر على زر "احسب" للحصول على الاحتمال
4. سيتم عرض النتيجة كعدد عشري بين 0 و 1

ملاحظة: يجب أن تكون كل من $\lambda$ و $k$ أعدادًا غير سالبة. بالإضافة إلى ذلك، يجب أن يكون $k$ عددًا صحيحًا.

التحقق من صحة المدخلات

تقوم الآلة الحاسبة بإجراء الفحوصات التالية على مدخلات المستخدم:

• يجب أن تكون $\lambda$ عددًا موجبًا
• يجب أن يكون $k$ عددًا صحيحًا غير سالب
• بالنسبة للقيم الكبيرة جدًا لـ $\lambda$ أو $k$، قد يتم عرض تحذير حول عدم الاستقرار العددي المحتمل

إذا تم اكتشاف مدخلات غير صالحة، سيتم عرض رسالة خطأ، ولن يتم المتابعة في الحساب حتى يتم تصحيحها.

الحساب

تستخدم الآلة الحاسبة صيغة توزيع بواسون لحساب الاحتمال بناءً على إدخال المستخدم. إليك شرح خطوة بخطوة للحساب:

1. احسب $e^{-\lambda}$
2. احسب $\lambda^k$
3. احسب $k!$ (عامل $k$)
4. اضرب نتائج الخطوتين 1 و 2
5. اقسم نتيجة الخطوة 4 على نتيجة الخطوة 3

النتيجة النهائية هي احتمال حدوث بالضبط $k$ أحداث في فترة يكون فيها متوسط عدد الأحداث هو $\lambda$.

حالات الاستخدام

لدى توزيع بواسون تطبيقات متنوعة عبر مجالات مختلفة:

1. إدارة مراكز الاتصال: التنبؤ بعدد المكالمات المستلمة في فترة زمنية معينة.

2. مراقبة الجودة: تقدير عدد العيوب في دفعة إنتاج.

3. علم الأحياء: نمذجة عدد الطفرات في تسلسل الحمض النووي.

4. التأمين: حساب احتمال حدوث عدد معين من المطالبات في فترة زمنية.

5. تدفق المرور: تقدير عدد المركبات التي تصل إلى تقاطع في فترة زمنية معينة.

6. التحلل الإشعاعي: التنبؤ بعدد الجسيمات المنبعثة في فترة زمنية ثابتة.

البدائل

بينما يعد توزيع بواسون مفيدًا للعديد من السيناريوهات، هناك توزيعات أخرى قد تكون أكثر ملاءمة في بعض الحالات:

1. توزيع ثنائي الحدين: عندما يكون هناك عدد ثابت من التجارب مع احتمال ثابت للنجاح.

2. توزيع ثنائي الحدين السالب: عندما تكون مهتمًا بعدد النجاحات قبل حدوث عدد محدد من الإخفاقات.

3. توزيع أسي: لنمذجة الوقت بين الأحداث الموزعة وفقًا لتوزيع بواسون.

4. توزيع غاما: تعميم للتوزيع الأسي، مفيد لنمذجة أوقات الانتظار.

التاريخ

تم اكتشاف توزيع بواسون بواسطة عالم الرياضيات الفرنسي سيميون ديني بواسون ونشره في عام 1838 في عمله "البحوث حول احتمال الأحكام في المسائل الجنائية والمدنية".

في البداية، لم تتلقَ أعمال بواسون الكثير من الاهتمام. لم يكن حتى أوائل القرن العشرين أن اكتسب التوزيع شهرة، لا سيما من خلال أعمال الإحصائيين مثل رونالد فيشر، الذي طبقها على المشاكل البيولوجية.

اليوم، يُستخدم توزيع بواسون على نطاق واسع عبر مجالات مختلفة، من الفيزياء الكمومية إلى أبحاث العمليات، مما يظهر مرونته وأهميته في نظرية الاحتمالات والإحصاء.

أمثلة

إليك بعض أمثلة التعليمات البرمجية لحساب احتمال توزيع بواسون:

' دالة VBA في Excel لحساب احتمال توزيع بواسون
Function PoissonProbability(lambda As Double, k As Integer) As Double
    PoissonProbability = (Exp(-lambda) * lambda ^ k) / Application.WorksheetFunction.Fact(k)
End Function
' الاستخدام:
' =PoissonProbability(2, 3)

import math

def poisson_probability(lambda_param, k):
    return (math.exp(-lambda_param) * (lambda_param ** k)) / math.factorial(k)

## مثال على الاستخدام:
lambda_param = 2  # معدل متوسط
k = 3  # عدد الحدوث
probability = poisson_probability(lambda_param, k)
print(f"الاحتمال: {probability:.6f}")

function poissonProbability(lambda, k) {
  const factorial = (n) => (n === 0 || n === 1) ? 1 : n * factorial(n - 1);
  return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
}

// مثال على الاستخدام:
const lambda = 2; // معدل متوسط
const k = 3; // عدد الحدوث
const probability = poissonProbability(lambda, k);
console.log(`الاحتمال: ${probability.toFixed(6)}`);

public class PoissonDistributionCalculator {
    public static double poissonProbability(double lambda, int k) {
        return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
    }

    private static long factorial(int n) {
        if (n == 0 || n == 1) return 1;
        return n * factorial(n - 1);
    }

    public static void main(String[] args) {
        double lambda = 2.0; // معدل متوسط
        int k = 3; // عدد الحدوث

        double probability = poissonProbability(lambda, k);
        System.out.printf("الاحتمال: %.6f%n", probability);
    }
}

توضح هذه الأمثلة كيفية حساب احتمال توزيع بواسون للغات برمجة مختلفة. يمكنك تعديل هذه الوظائف لتناسب احتياجاتك المحددة أو دمجها في أنظمة تحليل إحصائي أكبر.

أمثلة عددية

1. سيناريو مركز الاتصال:

   • متوسط المكالمات في الساعة ($\lambda$) = 5
   • احتمال حدوث 3 مكالمات بالضبط في ساعة ($k$ = 3)
   • الاحتمال ≈ 0.140373

2. مراقبة الجودة في التصنيع:

   • متوسط العيوب في الدفعة ($\lambda$) = 1.5
   • احتمال عدم وجود عيوب في دفعة ($k$ = 0)
   • الاحتمال ≈ 0.223130

3. التحلل الإشعاعي:

   • متوسط الانبعاثات في الدقيقة ($\lambda$) = 3.5
   • احتمال حدوث 6 انبعاثات بالضبط في دقيقة ($k$ = 6)
   • الاحتمال ≈ 0.116422

4. تدفق المرور:

   • متوسط السيارات في الدقيقة ($\lambda$) = 2
   • احتمال حدوث 5 سيارات بالضبط في دقيقة ($k$ = 5)
   • الاحتمال ≈ 0.036288

الحالات الحدية والقيود

1. قيم $\lambda$ الكبيرة: بالنسبة لقيم $\lambda$ الكبيرة جدًا (مثل $\lambda > 100$)، قد يصبح الحساب غير مستقر عدديًا بسبب الحدود الأسية وعوامل $k$. في هذه الحالات، قد تكون التقديرات مثل التوزيع الطبيعي أكثر ملاءمة.

2. قيم $k$ الكبيرة: مشابه لقيم $\lambda$ الكبيرة، يمكن أن تؤدي قيم $k$ الكبيرة جدًا إلى عدم استقرار عددي. يجب أن تحذر الآلة الحاسبة المستخدمين عند الاقتراب من هذه الحدود.

3. $k$ غير صحيح: يتم تعريف توزيع بواسون فقط للأعداد الصحيحة $k$. يجب أن تفرض الآلة الحاسبة هذه القيود.

4. احتمالات صغيرة: بالنسبة لمجموعات من $\lambda$ الكبيرة و$k$ الصغيرة (أو العكس)، يمكن أن تكون الاحتمالات الناتجة صغيرة جدًا، مما قد يؤدي إلى مشاكل انحدار في بعض لغات البرمجة.

5. فرضية الاستقلال: يفترض توزيع بواسون أن الأحداث تحدث بشكل مستقل. في السيناريوهات الواقعية، قد لا تكون هذه الفرضية صحيحة دائمًا، مما يحد من تطبيق التوزيع.

6. فرضية المعدل الثابت: يفترض توزيع بواسون وجود معدل متوسط ثابت. في العديد من السيناريوهات الواقعية، قد يتغير المعدل بمرور الوقت أو المكان.

7. تساوي المتوسط والتباين: في توزيع بواسون، يتساوى المتوسط مع التباين ($\lambda$). قد لا تنطبق هذه الخاصية، المعروفة بالتوزيع المتساوي، على بعض البيانات الواقعية، مما يؤدي إلى زيادة أو نقص في التوزيع.

عند استخدام آلة حاسبة لتوزيع بواسون، من المهم أن تضع هذه القيود في الاعتبار وأن تفكر فيما إذا كان التوزيع مناسبًا للسيناريو المحدد المعني.

المراجع

1. Haight, Frank A. "Handbook of the Poisson Distribution." New York: John Wiley & Sons, 1967.
2. Cameron, A. Colin, and Pravin K. Trivedi. "Regression Analysis of Count Data." Cambridge University Press, 2013.
3. Ross, Sheldon M. "Introduction to Probability Models." Academic Press, 2014.
4. "Poisson Distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution. Accessed 2 Aug. 2024.
5. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp, and Samuel Kotz. "Univariate Discrete Distributions." John Wiley & Sons, 2005.