Калкулатор на Поасоново разпределение

Калкулатор на Поасоновото Разпределение

Въведение

Поасоновото разпределение е дискретно вероятностно разпределение, което изразява вероятността за даден брой събития, които се случват в фиксиран интервал от време или пространство, при условие че тези събития се случват с известна постоянна средна честота и независимо от времето от последното събитие. Този калкулатор ви позволява да определите вероятността за конкретен брой събития, въз основа на средната честота на настъпване.

Формула

Вероятностната функция на Поасоновото разпределение е дадена от:

$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$

Където:

• $\lambda$ (лямбда) е средният брой събития на интервал
• $k$ е броят на събитията, за които изчисляваме вероятността
• $e$ е числото на Ойлер (приблизително 2.71828)

Как да използвате този калкулатор

1. Въведете средната честота на настъпване ($\lambda$)
2. Въведете броя на събитията, които ви интересуват ($k$)
3. Кликнете върху бутона "Изчисли", за да получите вероятността
4. Резултатът ще бъде показан като десетично число между 0 и 1

Забележка: И $\lambda$, и $k$ трябва да бъдат неотрицателни числа. Освен това, $k$ трябва да бъде цяло число.

Валидация на входа

Калкулаторът извършва следните проверки на потребителските входове:

• $\lambda$ трябва да бъде положително число
• $k$ трябва да бъде неотрицателно цяло число
• За много големи стойности на $\lambda$ или $k$, може да бъде показано предупреждение за потенциална числова нестабилност

Ако бъдат открити невалидни входове, ще бъде показано съобщение за грешка и изчислението няма да продължи, докато не бъдат коригирани.

Изчисление

Калкулаторът използва формулата на Поасоновото разпределение, за да изчисли вероятността на базата на входа на потребителя. Ето стъпка по стъпка обяснение на изчислението:

1. Изчислете $e^{-\lambda}$
2. Изчислете $\lambda^k$
3. Изчислете $k!$ (факториел на $k$)
4. Умножете резултатите от стъпки 1 и 2
5. Разделете резултата от стъпка 4 на резултата от стъпка 3

Крайната стойност е вероятността за точно $k$ събития, които настъпват в интервал, където средният брой събития е $\lambda$.

Приложения

Поасоновото разпределение има различни приложения в различни области:

1. Управление на кол центрове: Предсказване на броя на получените обаждания в определен период от време.

2. Контрол на качеството: Оценка на броя на дефектите в производствена партида.

3. Биология: Моделиране на броя на мутациите в ДНК последователност.

4. Застраховане: Изчисляване на вероятността за определен брой искове в период от време.

5. Трафик: Оценка на броя на автомобилите, пристигащи на кръстовище в определен период.

6. Радиоактивен разпад: Предсказване на броя на частиците, излъчвани в фиксиран времеви интервал.

Алтернативи

Докато Поасоновото разпределение е полезно за много сценарии, има и други разпределения, които могат да бъдат по-подходящи в определени ситуации:

1. Биномиално разпределение: Когато има фиксиран брой опити с постоянна вероятност за успех.

2. Негативно биномиално разпределение: Когато ви интересува броят на успехите преди да настъпи определен брой неуспехи.

3. Експоненциално разпределение: За моделиране на времето между събития, разпределени по Поасоново.

4. Гамово разпределение: Обобщение на експоненциалното разпределение, полезно за моделиране на времето на чакане.

История

Поасоновото разпределение е открито от френския математик Симон Дени Поасон и публикувано през 1838 г. в неговата работа "Изследвания върху вероятността на присъдите в криминални и граждански дела".

Първоначално работата на Поасон не получава много внимание. Не беше до началото на 20-ти век, когато разпределението придоби популярност, особено чрез работата на статистици като Роналд Фишер, който го приложи в биологични проблеми.

Днес Поасоновото разпределение се използва широко в различни области, от квантова физика до операционни изследвания, демонстрирайки своята универсалност и важност в теорията на вероятностите и статистиката.

Примери

Ето някои кодови примери за изчисление на вероятността на Поасоновото разпределение:

' Excel VBA Функция за вероятността на Поасоновото разпределение
Function PoissonProbability(lambda As Double, k As Integer) As Double
    PoissonProbability = (Exp(-lambda) * lambda ^ k) / Application.WorksheetFunction.Fact(k)
End Function
' Използване:
' =PoissonProbability(2, 3)

import math

def poisson_probability(lambda_param, k):
    return (math.exp(-lambda_param) * (lambda_param ** k)) / math.factorial(k)

## Пример за използване:
lambda_param = 2  # средна честота
k = 3  # брой настъпления
probability = poisson_probability(lambda_param, k)
print(f"Вероятност: {probability:.6f}")

function poissonProbability(lambda, k) {
  const factorial = (n) => (n === 0 || n === 1) ? 1 : n * factorial(n - 1);
  return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
}

// Пример за използване:
const lambda = 2; // средна честота
const k = 3; // брой настъпления
const probability = poissonProbability(lambda, k);
console.log(`Вероятност: ${probability.toFixed(6)}`);

public class PoissonDistributionCalculator {
    public static double poissonProbability(double lambda, int k) {
        return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
    }

    private static long factorial(int n) {
        if (n == 0 || n == 1) return 1;
        return n * factorial(n - 1);
    }

    public static void main(String[] args) {
        double lambda = 2.0; // средна честота
        int k = 3; // брой настъпления

        double probability = poissonProbability(lambda, k);
        System.out.printf("Вероятност: %.6f%n", probability);
    }
}

Тези примери демонстрират как да изчислите вероятността на Поасоновото разпределение за различни програмни езици. Можете да адаптирате тези функции към конкретните си нужди или да ги интегрирате в по-големи системи за статистически анализ.

Числени примери

1. Сценарий на кол център:

   • Среден брой обаждания на час ($\lambda$) = 5
   • Вероятност за точно 3 обаждания за час ($k$ = 3)
   • Вероятност ≈ 0.140373

2. Контрол на качеството в производството:

   • Среден брой дефекти на партида ($\lambda$) = 1.5
   • Вероятност за нула дефекти в партида ($k$ = 0)
   • Вероятност ≈ 0.223130

3. Радиоактивен разпад:

   • Среден брой излъчвания на минута ($\lambda$) = 3.5
   • Вероятност за точно 6 излъчвания на минута ($k$ = 6)
   • Вероятност ≈ 0.116422

4. Трафик:

   • Среден брой автомобили на минута ($\lambda$) = 2
   • Вероятност за точно 5 автомобила на минута ($k$ = 5)
   • Вероятност ≈ 0.036288

Гранични случаи и ограничения

1. Големи стойности на $\lambda$: За много големи стойности на $\lambda$ (например, $\lambda > 100$), изчислението може да стане числено нестабилно поради експоненциалните и факториелните термини. В такива случаи, приближения като нормалното разпределение могат да бъдат по-подходящи.

2. Големи стойности на $k$: Подобно на големите стойности на $\lambda$, много големите стойности на $k$ могат да доведат до числена нестабилност. Калкулаторът трябва да предупреждава потребителите, когато се приближават до тези граници.

3. Нецели $k$: Поасоновото разпределение е дефинирано само за цели числа $k$. Калкулаторът трябва да наложи това ограничение.

4. Малки вероятности: За комбинации от голямо $\lambda$ и малко $k$ (или обратно), получените вероятности могат да бъдат изключително малки, което потенциално може да доведе до проблеми с под- или надпълване в някои програмни езици.

5. Предположение за независимост: Поасоновото разпределение предполага, че събитията настъпват независимо. В реалния свят това предположение не винаги може да е валидно, което ограничава приложимостта на разпределението.

6. Предположение за постоянна честота: Поасоновото разпределение предполага постоянна средна честота. В много реални сценарии, честотата може да варира с времето или пространството.

7. Равенство на средна и вариация: В Поасоновото разпределение, средната стойност е равна на вариацията ($\lambda$). Това свойство, известно като равнодисперсия, може да не се запази в някои реални данни, което води до наддисперсия или поддисперсия.

Когато използвате калкулатора на Поасоновото разпределение, е важно да имате предвид тези ограничения и да обмислите дали разпределението е подходящо за конкретния сценарий.

Референции

1. Haight, Frank A. "Handbook of the Poisson Distribution." New York: John Wiley & Sons, 1967.
2. Cameron, A. Colin, and Pravin K. Trivedi. "Regression Analysis of Count Data." Cambridge University Press, 2013.
3. Ross, Sheldon M. "Introduction to Probability Models." Academic Press, 2014.
4. "Поасоново разпределение." Уикипедия, Фондация Уикимедия, https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution. Достъпно на 2 авг. 2024.
5. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp, and Samuel Kotz. "Univariate Discrete Distributions." John Wiley & Sons, 2005.