Calculadora de Distribució de Poisson

Introducció

La distribució de Poisson és una distribució de probabilitat discreta que expressa la probabilitat d'un nombre determinat d'esdeveniments que ocorren en un interval fix de temps o espai, assumint que aquests esdeveniments ocorren amb una taxa mitjana constant coneguda i de manera independent del temps transcorregut des de l'últim esdeveniment. Aquesta calculadora us permet determinar la probabilitat d'un nombre específic d'esdeveniments que ocorren en funció de la taxa mitjana d'ocurrència.

Fórmula

La funció de massa de probabilitat de la distribució de Poisson es dóna per:

$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$

On:

• $\lambda$ (lambda) és el nombre mitjà d'esdeveniments per interval
• $k$ és el nombre d'esdeveniments per als quals estem calculant la probabilitat
• $e$ és el nombre d'Euler (aproximadament 2.71828)

Com Utilitzar Aquesta Calculadora

1. Introduïu la taxa mitjana d'ocurrència ($\lambda$)
2. Introduïu el nombre d'esdeveniments que us interessa ($k$)
3. Feu clic al botó "Calcular" per obtenir la probabilitat
4. El resultat es mostrarà com un decimal entre 0 i 1

Nota: Tant $\lambda$ com $k$ han de ser nombres no negatius. A més, $k$ ha de ser un enter.

Validació d'Entrada

La calculadora realitza les següents comprovacions sobre les entrades de l'usuari:

• $\lambda$ ha de ser un nombre positiu
• $k$ ha de ser un enter no negatiu
• Per a valors molt grans de $\lambda$ o $k$, es pot mostrar una advertència sobre la possible inestabilitat numèrica

Si es detecten entrades no vàlides, es mostrarà un missatge d'error, i el càlcul no es procedirà fins que es corregeixin.

Càlcul

La calculadora utilitza la fórmula de la distribució de Poisson per calcular la probabilitat en funció de les entrades de l'usuari. Aquí teniu una explicació pas a pas del càlcul:

1. Calculeu $e^{-\lambda}$
2. Calculeu $\lambda^k$
3. Calculeu $k!$ (factorial de $k$)
4. Multipliqueu els resultats dels passos 1 i 2
5. Dividiu el resultat del pas 4 pel resultat del pas 3

El resultat final és la probabilitat que exactament $k$ esdeveniments ocorren en un interval on el nombre mitjà d'esdeveniments és $\lambda$.

Casos d'Ús

La distribució de Poisson té diverses aplicacions en diferents camps:

1. Gestió de Centres d'Atenció: Preveure el nombre de trucades rebudes en un període de temps determinat.

2. Control de Qualitat: Estimar el nombre de defectes en un lot de producció.

3. Biologia: Modelar el nombre de mutacions en una seqüència de DNA.

4. Assegurances: Calcular la probabilitat d'un cert nombre de reclamacions en un període de temps.

5. Flux de Trànsit: Estimar el nombre de vehicles que arriben a una intersecció en un temps determinat.

6. Desintegració Radioactiva: Preveure el nombre de partícules emeses en un interval de temps fix.

Alternatives

Si bé la distribució de Poisson és útil per a molts escenaris, hi ha altres distribucions que podrien ser més adequades en certes situacions:

1. Distribució Binomial: Quan hi ha un nombre fix de proves amb una probabilitat constant d'èxit.

2. Distribució Binomial Negativa: Quan us interessa el nombre d'èxits abans que es produeixi un nombre especificat de fracassos.

3. Distribució Exponencial: Per modelar el temps entre esdeveniments distribuïts segons Poisson.

4. Distribució Gamma: Una generalització de la distribució exponencial, útil per modelar temps d'espera.

Història

La distribució de Poisson va ser descoberta pel matemàtic francès Siméon Denis Poisson i publicada el 1838 en la seva obra "Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile" (Investigacions sobre la Probabilitat de Judicis en Matèria Criminal i Civil).

Inicialment, el treball de Poisson no va rebre molta atenció. No va ser fins a principis del segle XX que la distribució va guanyar prominència, particularment a través del treball de estadístics com Ronald Fisher, que la van aplicar a problemes biològics.

Avui dia, la distribució de Poisson s'utilitza àmpliament en diversos camps, des de la física quàntica fins a la investigació operativa, demostrant la seva versatilitat i importància en la teoria de probabilitats i estadística.

Exemple

Aquí teniu alguns exemples de codi per calcular la probabilitat de distribució de Poisson:

1' Funció VBA d'Excel per a la Probabilitat de Distribució de Poisson
2Function PoissonProbability(lambda As Double, k As Integer) As Double
3    PoissonProbability = (Exp(-lambda) * lambda ^ k) / Application.WorksheetFunction.Fact(k)
4End Function
5' Ús:
6' =PoissonProbability(2, 3)
7

1import math
2
3def poisson_probability(lambda_param, k):
4    return (math.exp(-lambda_param) * (lambda_param ** k)) / math.factorial(k)
5
6## Exemple d'ús:
7lambda_param = 2  # taxa mitjana
8k = 3  # nombre d'ocurrències
9probability = poisson_probability(lambda_param, k)
10print(f"Probabilitat: {probability:.6f}")
11

1function poissonProbability(lambda, k) {
2  const factorial = (n) => (n === 0 || n === 1) ? 1 : n * factorial(n - 1);
3  return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
4}
5
6// Exemple d'ús:
7const lambda = 2; // taxa mitjana
8const k = 3; // nombre d'ocurrències
9const probability = poissonProbability(lambda, k);
10console.log(`Probabilitat: ${probability.toFixed(6)}`);
11

1public class PoissonDistributionCalculator {
2    public static double poissonProbability(double lambda, int k) {
3        return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
4    }
5
6    private static long factorial(int n) {
7        if (n == 0 || n == 1) return 1;
8        return n * factorial(n - 1);
9    }
10
11    public static void main(String[] args) {
12        double lambda = 2.0; // taxa mitjana
13        int k = 3; // nombre d'ocurrències
14
15        double probability = poissonProbability(lambda, k);
16        System.out.printf("Probabilitat: %.6f%n", probability);
17    }
18}
19

Aquests exemples demostren com calcular la probabilitat de distribució de Poisson per a diferents llenguatges de programació. Podeu adaptar aquestes funcions a les vostres necessitats específiques o integrar-les en sistemes d'anàlisi estadística més grans.

Exemple Numèrics

1. Escenari de Centre d'Atenció:

   • Trucades mitjanes per hora ($\lambda$) = 5
   • Probabilitat d'exactament 3 trucades en una hora ($k$ = 3)
   • Probabilitat ≈ 0.140373

2. Control de Qualitat en Fabricació:

   • Defectes mitjans per lot ($\lambda$) = 1.5
   • Probabilitat de cap defecte en un lot ($k$ = 0)
   • Probabilitat ≈ 0.223130

3. Desintegració Radioactiva:

   • Emissions mitjanes per minut ($\lambda$) = 3.5
   • Probabilitat d'exactament 6 emissions en un minut ($k$ = 6)
   • Probabilitat ≈ 0.116422

4. Flux de Trànsit:

   • Cotxes mitjans per minut ($\lambda$) = 2
   • Probabilitat d'exactament 5 cotxes en un minut ($k$ = 5)
   • Probabilitat ≈ 0.036288

Casos Límit i Limitacions

1. Valors grans de $\lambda$: Per a valors molt grans de $\lambda$ (per exemple, $\lambda > 100$), el càlcul pot esdevenir numèricament inestable a causa dels termes exponencials i factorials. En aquests casos, les aproximacions com la distribució normal podrien ser més adequades.

2. Valors grans de $k$: Similar als grans $\lambda$, valors molt grans de $k$ poden provocar inestabilitat numèrica. La calculadora hauria d'advertir els usuaris quan s'aproximin a aquests límits.

3. $k$ no enter: La distribució de Poisson està definida només per a enters $k$. La calculadora ha de fer complir aquesta restricció.

4. Probabilitats petites: Per a combinacions de gran $\lambda$ i petit $k$ (o viceversa), les probabilitats resultants poden ser extremadament petites, provocant potencialment problemes d'underflow en alguns llenguatges de programació.

5. Suposició d'independència: La distribució de Poisson assumeix que els esdeveniments ocorren de manera independent. En escenaris del món real, aquesta suposició pot no ser sempre vàlida, limitant l'aplicabilitat de la distribució.

6. Suposició de taxa constant: La distribució de Poisson assumeix una taxa mitjana constant. En molts escenaris del món real, la taxa pot variar al llarg del temps o de l'espai.

7. Igualtat de mitjana i variància: En una distribució de Poisson, la mitjana és igual a la variància ($\lambda$). Aquesta propietat, coneguda com a equidispersió, pot no mantenir-se en alguns dades del món real, provocant sobre o subdispersió.

Quan utilitzeu la calculadora de distribució de Poisson, és important tenir en compte aquestes limitacions i considerar si la distribució és adequada per a l'escenari específic en qüestió.

Referències

1. Haight, Frank A. "Handbook of the Poisson Distribution." Nova York: John Wiley & Sons, 1967.
2. Cameron, A. Colin, i Pravin K. Trivedi. "Regression Analysis of Count Data." Cambridge University Press, 2013.
3. Ross, Sheldon M. "Introduction to Probability Models." Academic Press, 2014.
4. "Distribució de Poisson." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution. Accedit el 2 d'agost de 2024.
5. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp, i Samuel Kotz. "Univariate Discrete Distributions." John Wiley & Sons, 2005.