Kalkulátor Poissonova rozdělení

Kalkulátor Poissonova rozdělení

Úvod

Poissonovo rozdělení je diskrétní pravděpodobnostní rozdělení, které vyjadřuje pravděpodobnost, že v daném časovém nebo prostorovém intervalu dojde k určitému počtu událostí, za předpokladu, že tyto události nastávají s známou konstantní průměrnou rychlostí a nezávisle na čase od poslední události. Tento kalkulátor vám umožňuje určit pravděpodobnost, že k určitému počtu událostí dojde na základě průměrné rychlosti výskytu.

Vzorec

Pravděpodobnostní hmotnostní funkce Poissonova rozdělení je dána vzorcem:

$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$

Kde:

• $\lambda$ (lambda) je průměrný počet událostí na interval
• $k$ je počet událostí, pro které počítáme pravděpodobnost
• $e$ je Eulerovo číslo (přibližně 2.71828)

Jak používat tento kalkulátor

1. Zadejte průměrnou rychlost výskytu ($\lambda$)
2. Zadejte počet událostí, o které máte zájem ($k$)
3. Klikněte na tlačítko "Vypočítat" pro získání pravděpodobnosti
4. Výsledek bude zobrazen jako desetinné číslo mezi 0 a 1

Poznámka: Jak $\lambda$, tak $k$ musí být nezáporná čísla. Kromě toho musí být $k$ celé číslo.

Ověření vstupu

Kalkulátor provádí následující kontroly na uživatelských vstupech:

• $\lambda$ musí být kladné číslo
• $k$ musí být nezáporné celé číslo
• U velmi velkých hodnot $\lambda$ nebo $k$ může být zobrazeno varování o možné numerické instabilitě

Pokud jsou detekovány neplatné vstupy, zobrazí se chybová zpráva a výpočet nebude pokračovat, dokud nebude opraven.

Výpočet

Kalkulátor používá vzorec Poissonova rozdělení k výpočtu pravděpodobnosti na základě uživatelského vstupu. Zde je krok za krokem vysvětlení výpočtu:

1. Vypočítejte $e^{-\lambda}$
2. Vypočítejte $\lambda^k$
3. Vypočítejte $k!$ (faktoriál $k$)
4. Vynásobte výsledky kroků 1 a 2
5. Dělením výsledku kroku 4 výsledkem kroku 3 získáte konečný výsledek

Konečný výsledek je pravděpodobnost, že v intervalu, kde je průměrný počet událostí $\lambda$, dojde přesně k $k$ událostem.

Případové studie

Poissonovo rozdělení má různé aplikace v různých oblastech:

1. Řízení call centra: Předpovídání počtu hovorů přijatých v daném časovém období.

2. Kontrola kvality: Odhadování počtu vad v výrobní šarži.

3. Biologie: Modelování počtu mutací v DNA sekvenci.

4. Pojištění: Výpočet pravděpodobnosti určitého počtu nároků v časovém období.

5. Tok dopravy: Odhadování počtu vozidel přijíždějících na křižovatku v daném čase.

6. Radioaktivní rozpad: Předpovídání počtu částic emitovaných v pevném časovém intervalu.

Alternativy

Ačkoli je Poissonovo rozdělení užitečné pro mnoho scénářů, existují i jiné rozdělení, která mohou být v určitých situacích vhodnější:

1. Binomické rozdělení: Když je pevný počet pokusů s konstantní pravděpodobností úspěchu.

2. Negativní binomické rozdělení: Když máte zájem o počet úspěchů před tím, než nastane stanovený počet neúspěchů.

3. Exponenciální rozdělení: Pro modelování času mezi událostmi rozdělenými podle Poissonova rozdělení.

4. Gamma rozdělení: Generalizace exponenciálního rozdělení, užitečné pro modelování čekacích dob.

Historie

Poissonovo rozdělení bylo objeveno francouzským matematikem Siméonem Denisem Poissonem a publikováno v roce 1838 v jeho díle "Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile" (Výzkum pravděpodobnosti soudních rozhodnutí v trestních a občanských záležitostech).

Zpočátku Poissonova práce nezískala mnoho pozornosti. Až na počátku 20. století se rozdělení stalo významným, zejména díky práci statistiků jako Ronald Fisher, kteří ho aplikovali na biologické problémy.

Dnes je Poissonovo rozdělení široce používáno v různých oblastech, od kvantové fyziky po operační výzkum, což dokazuje jeho všestrannost a důležitost v teorii pravděpodobnosti a statistice.

Příklady

Zde jsou některé příklady kódu pro výpočet pravděpodobnosti Poissonova rozdělení:

' Excel VBA funkce pro pravděpodobnost Poissonova rozdělení
Function PoissonProbability(lambda As Double, k As Integer) As Double
    PoissonProbability = (Exp(-lambda) * lambda ^ k) / Application.WorksheetFunction.Fact(k)
End Function
' Použití:
' =PoissonProbability(2, 3)

import math

def poisson_probability(lambda_param, k):
    return (math.exp(-lambda_param) * (lambda_param ** k)) / math.factorial(k)

## Příklad použití:
lambda_param = 2  # průměrná rychlost
k = 3  # počet výskytů
probability = poisson_probability(lambda_param, k)
print(f"Pravděpodobnost: {probability:.6f}")

function poissonProbability(lambda, k) {
  const factorial = (n) => (n === 0 || n === 1) ? 1 : n * factorial(n - 1);
  return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
}

// Příklad použití:
const lambda = 2; // průměrná rychlost
const k = 3; // počet výskytů
const probability = poissonProbability(lambda, k);
console.log(`Pravděpodobnost: ${probability.toFixed(6)}`);

public class PoissonDistributionCalculator {
    public static double poissonProbability(double lambda, int k) {
        return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
    }

    private static long factorial(int n) {
        if (n == 0 || n == 1) return 1;
        return n * factorial(n - 1);
    }

    public static void main(String[] args) {
        double lambda = 2.0; // průměrná rychlost
        int k = 3; // počet výskytů

        double probability = poissonProbability(lambda, k);
        System.out.printf("Pravděpodobnost: %.6f%n", probability);
    }
}

Tyto příklady ukazují, jak vypočítat pravděpodobnost Poissonova rozdělení pro různé programovací jazyky. Můžete tyto funkce přizpůsobit svým specifickým potřebám nebo je integrovat do větších systémů statistické analýzy.

Numerické příklady

1. Scénář call centra:

   • Průměrný počet hovorů za hodinu ($\lambda$) = 5
   • Pravděpodobnost přesně 3 hovory za hodinu ($k$ = 3)
   • Pravděpodobnost ≈ 0.140373

2. Kontrola kvality výroby:

   • Průměrný počet vad na šarži ($\lambda$) = 1.5
   • Pravděpodobnost žádných vad v šarži ($k$ = 0)
   • Pravděpodobnost ≈ 0.223130

3. Radioaktivní rozpad:

   • Průměrný počet emisí za minutu ($\lambda$) = 3.5
   • Pravděpodobnost přesně 6 emisí za minutu ($k$ = 6)
   • Pravděpodobnost ≈ 0.116422

4. Tok dopravy:

   • Průměrný počet aut za minutu ($\lambda$) = 2
   • Pravděpodobnost přesně 5 aut za minutu ($k$ = 5)
   • Pravděpodobnost ≈ 0.036288

Okrajové případy a omezení

1. Velké hodnoty $\lambda$: U velmi velkých hodnot $\lambda$ (např. $\lambda > 100$) se výpočet může stát numericky nestabilním kvůli exponenciálním a faktoriálním členům. V takových případech může být vhodnější použít aproximace, jako je normální rozdělení.

2. Velké hodnoty $k$: Podobně jako u velkých $\lambda$ mohou velmi velké hodnoty $k$ vést k numerické nestabilitě. Kalkulátor by měl uživatele varovat, když se blíží těmto limitům.

3. Ne-čísla $k$: Poissonovo rozdělení je definováno pouze pro celá čísla $k$. Kalkulátor by měl tuto podmínku vynucovat.

4. Malé pravděpodobnosti: Pro kombinace velkého $\lambda$ a malého $k$ (nebo naopak) mohou být výsledné pravděpodobnosti extrémně malé, což může vést k problémům s podtečením v některých programovacích jazycích.

5. Předpoklad nezávislosti: Poissonovo rozdělení předpokládá, že události nastávají nezávisle. V reálných scénářích nemusí tento předpoklad vždy platit, což omezuje použitelnost rozdělení.

6. Předpoklad konstantní rychlosti: Poissonovo rozdělení předpokládá konstantní průměrnou rychlost. V mnoha reálných scénářích se může rychlost v průběhu času nebo prostoru měnit.

7. Rovnost průměru a variance: V Poissonově rozdělení platí, že průměr se rovná varianci ($\lambda$). Tento vlastnost, známá jako ekvidispersion, nemusí platit pro některá reálná data, což může vést k nadměrnému nebo podměrnému rozptýlení.

Při používání kalkulátoru Poissonova rozdělení je důležité mít na paměti tato omezení a zvážit, zda je rozdělení vhodné pro konkrétní scénář.

Odkazy

1. Haight, Frank A. "Handbook of the Poisson Distribution." New York: John Wiley & Sons, 1967.
2. Cameron, A. Colin, a Pravin K. Trivedi. "Regression Analysis of Count Data." Cambridge University Press, 2013.
3. Ross, Sheldon M. "Introduction to Probability Models." Academic Press, 2014.
4. "Poisson Distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution. Přístup 2. srpna 2024.
5. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp, a Samuel Kotz. "Univariate Discrete Distributions." John Wiley & Sons, 2005.