Poisson-Verteilung Rechner

Poissonverteilung Rechner

Einführung

Die Poissonverteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses in einem festen Zeit- oder Raumintervall ausdrückt, vorausgesetzt, diese Ereignisse treten mit einer bekannten konstanten mittleren Rate auf und unabhängig von der Zeit seit dem letzten Ereignis. Dieser Rechner ermöglicht es Ihnen, die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses basierend auf der durchschnittlichen Auftretensrate zu bestimmen.

Formel

Die Wahrscheinlichkeitsmassfunktion der Poissonverteilung wird gegeben durch:

$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$

Wo:

• $\lambda$ (Lambda) die durchschnittliche Anzahl der Ereignisse pro Intervall ist
• $k$ die Anzahl der Ereignisse ist, für die wir die Wahrscheinlichkeit berechnen
• $e$ die Eulersche Zahl ist (ungefähr 2.71828)

Verwendung dieses Rechners

1. Geben Sie die durchschnittliche Auftretensrate ($\lambda$) ein
2. Geben Sie die Anzahl der interessierenden Ereignisse ($k$) ein
3. Klicken Sie auf die Schaltfläche "Berechnen", um die Wahrscheinlichkeit zu erhalten
4. Das Ergebnis wird als Dezimalzahl zwischen 0 und 1 angezeigt

Hinweis: Sowohl $\lambda$ als auch $k$ müssen nicht-negative Zahlen sein. Darüber hinaus muss $k$ eine ganze Zahl sein.

Eingabevalidierung

Der Rechner führt die folgenden Überprüfungen der Benutzereingaben durch:

• $\lambda$ muss eine positive Zahl sein
• $k$ muss eine nicht-negative ganze Zahl sein
• Bei sehr großen Werten von $\lambda$ oder $k$ kann eine Warnung über mögliche numerische Instabilität angezeigt werden

Wenn ungültige Eingaben erkannt werden, wird eine Fehlermeldung angezeigt, und die Berechnung wird nicht fortgesetzt, bis die Eingaben korrigiert sind.

Berechnung

Der Rechner verwendet die Formel der Poissonverteilung, um die Wahrscheinlichkeit basierend auf den Benutzereingaben zu berechnen. Hier ist eine schrittweise Erklärung der Berechnung:

1. Berechnen Sie $e^{-\lambda}$
2. Berechnen Sie $\lambda^k$
3. Berechnen Sie $k!$ (Fakultät von $k$)
4. Multiplizieren Sie die Ergebnisse der Schritte 1 und 2
5. Teilen Sie das Ergebnis von Schritt 4 durch das Ergebnis von Schritt 3

Das endgültige Ergebnis ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau $k$ Ereignisse in einem Intervall auftreten, in dem die durchschnittliche Anzahl der Ereignisse $\lambda$ beträgt.

Anwendungsfälle

Die Poissonverteilung hat verschiedene Anwendungen in unterschiedlichen Bereichen:

1. Call-Center-Management: Vorhersage der Anzahl der Anrufe, die in einem bestimmten Zeitraum eingehen.

2. Qualitätskontrolle: Schätzung der Anzahl der Mängel in einer Produktionscharge.

3. Biologie: Modellierung der Anzahl der Mutationen in einer DNA-Sequenz.

4. Versicherung: Berechnung der Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Anzahl von Ansprüchen in einem Zeitraum.

5. Verkehrsfluss: Schätzung der Anzahl der Fahrzeuge, die in einem bestimmten Zeitraum an einer Kreuzung ankommen.

6. Radioaktiver Zerfall: Vorhersage der Anzahl der emittierten Teilchen in einem festen Zeitintervall.

Alternativen

Während die Poissonverteilung für viele Szenarien nützlich ist, gibt es andere Verteilungen, die in bestimmten Situationen geeigneter sein könnten:

1. Binomialverteilung: Wenn es eine feste Anzahl von Versuchen mit einer konstanten Erfolgswahrscheinlichkeit gibt.

2. Negative Binomialverteilung: Wenn Sie an der Anzahl der Erfolge interessiert sind, bevor eine bestimmte Anzahl von Misserfolgen auftritt.

3. Exponentialverteilung: Für die Modellierung der Zeit zwischen Poisson-verteilten Ereignissen.

4. Gamma-Verteilung: Eine Verallgemeinerung der Exponentialverteilung, die nützlich ist, um Wartezeiten zu modellieren.

Geschichte

Die Poissonverteilung wurde vom französischen Mathematiker Siméon Denis Poisson entdeckt und 1838 in seiner Arbeit "Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile" (Forschung über die Wahrscheinlichkeit von Urteilen in strafrechtlichen und zivilrechtlichen Angelegenheiten) veröffentlicht.

Ursprünglich fand Poissons Arbeit nicht viel Beachtung. Erst im frühen 20. Jahrhundert erlangte die Verteilung an Bedeutung, insbesondere durch die Arbeiten von Statistikern wie Ronald Fisher, die sie auf biologische Probleme anwendeten.

Heute wird die Poissonverteilung in verschiedenen Bereichen verwendet, von der Quantenphysik bis zur Operationsforschung, was ihre Vielseitigkeit und Bedeutung in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik demonstriert.

Beispiele

Hier sind einige Codebeispiele zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit der Poissonverteilung:

' Excel VBA Funktion für die Wahrscheinlichkeit der Poissonverteilung
Function PoissonProbability(lambda As Double, k As Integer) As Double
    PoissonProbability = (Exp(-lambda) * lambda ^ k) / Application.WorksheetFunction.Fact(k)
End Function
' Verwendung:
' =PoissonProbability(2, 3)

import math

def poisson_probability(lambda_param, k):
    return (math.exp(-lambda_param) * (lambda_param ** k)) / math.factorial(k)

## Beispielverwendung:
lambda_param = 2  # durchschnittliche Rate
k = 3  # Anzahl der Vorkommen
probability = poisson_probability(lambda_param, k)
print(f"Wahrscheinlichkeit: {probability:.6f}")

function poissonProbability(lambda, k) {
  const factorial = (n) => (n === 0 || n === 1) ? 1 : n * factorial(n - 1);
  return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
}

// Beispielverwendung:
const lambda = 2; // durchschnittliche Rate
const k = 3; // Anzahl der Vorkommen
const probability = poissonProbability(lambda, k);
console.log(`Wahrscheinlichkeit: ${probability.toFixed(6)}`);

public class PoissonDistributionCalculator {
    public static double poissonProbability(double lambda, int k) {
        return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
    }

    private static long factorial(int n) {
        if (n == 0 || n == 1) return 1;
        return n * factorial(n - 1);
    }

    public static void main(String[] args) {
        double lambda = 2.0; // durchschnittliche Rate
        int k = 3; // Anzahl der Vorkommen

        double probability = poissonProbability(lambda, k);
        System.out.printf("Wahrscheinlichkeit: %.6f%n", probability);
    }
}

Diese Beispiele demonstrieren, wie die Wahrscheinlichkeit der Poissonverteilung in verschiedenen Programmiersprachen berechnet werden kann. Sie können diese Funktionen an Ihre spezifischen Bedürfnisse anpassen oder in größere statistische Analysesysteme integrieren.

Numerische Beispiele

1. Call-Center-Szenario:

   • Durchschnittliche Anrufe pro Stunde ($\lambda$) = 5
   • Wahrscheinlichkeit von genau 3 Anrufen in einer Stunde ($k$ = 3)
   • Wahrscheinlichkeit ≈ 0.140373

2. Qualitätskontrolle in der Fertigung:

   • Durchschnittliche Mängel pro Charge ($\lambda$) = 1.5
   • Wahrscheinlichkeit von keinen Mängeln in einer Charge ($k$ = 0)
   • Wahrscheinlichkeit ≈ 0.223130

3. Radioaktiver Zerfall:

   • Durchschnittliche Emissionen pro Minute ($\lambda$) = 3.5
   • Wahrscheinlichkeit von genau 6 Emissionen in einer Minute ($k$ = 6)
   • Wahrscheinlichkeit ≈ 0.116422

4. Verkehrsfluss:

   • Durchschnittliche Autos pro Minute ($\lambda$) = 2
   • Wahrscheinlichkeit von genau 5 Autos in einer Minute ($k$ = 5)
   • Wahrscheinlichkeit ≈ 0.036288

Grenzfälle und Einschränkungen

1. Große $\lambda$-Werte: Bei sehr großen $\lambda$ (z.B. $\lambda > 100$) kann die Berechnung aufgrund der exponentiellen und fakultativen Terme numerisch instabil werden. In solchen Fällen könnten Annäherungen wie die Normalverteilung geeigneter sein.

2. Große $k$-Werte: Ähnlich wie bei großen $\lambda$ können sehr große $k$-Werte zu numerischen Instabilitäten führen. Der Rechner sollte Benutzer warnen, wenn diese Grenzen erreicht werden.

3. Nicht-ganzzahlige $k$: Die Poissonverteilung ist nur für ganze Zahlen $k$ definiert. Der Rechner sollte diese Einschränkung durchsetzen.

4. Kleine Wahrscheinlichkeiten: Bei Kombinationen aus großem $\lambda$ und kleinem $k$ (oder umgekehrt) können die resultierenden Wahrscheinlichkeiten extrem klein sein, was in einigen Programmiersprachen zu Unterlaufproblemen führen kann.

5. Unabhängigkeitsannahme: Die Poissonverteilung geht davon aus, dass Ereignisse unabhängig auftreten. In der realen Welt könnte diese Annahme nicht immer zutreffen, was die Anwendbarkeit der Verteilung einschränkt.

6. Annahme einer konstanten Rate: Die Poissonverteilung geht von einer konstanten durchschnittlichen Rate aus. In vielen realen Szenarien kann die Rate im Laufe der Zeit oder im Raum variieren.

7. Gleichheit von Mittelwert und Varianz: In einer Poissonverteilung sind Mittelwert und Varianz ($\lambda$) gleich. Diese Eigenschaft, bekannt als Gleichdispersion, könnte in einigen realen Daten nicht zutreffen, was zu Über- oder Unterdispersion führt.

Bei der Verwendung des Poissonverteilung Rechners ist es wichtig, diese Einschränkungen im Hinterkopf zu behalten und zu überlegen, ob die Verteilung für das spezifische Szenario geeignet ist.

Referenzen

1. Haight, Frank A. "Handbuch der Poissonverteilung." New York: John Wiley & Sons, 1967.
2. Cameron, A. Colin, und Pravin K. Trivedi. "Regressionsanalyse von Zähldaten." Cambridge University Press, 2013.
3. Ross, Sheldon M. "Einführung in Wahrscheinlichkeitsmodelle." Academic Press, 2014.
4. "Poissonverteilung." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://de.wikipedia.org/wiki/Poissonverteilung. Abgerufen am 2. Aug. 2024.
5. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp, und Samuel Kotz. "Univariate Diskrete Verteilungen." John Wiley & Sons, 2005.