Calculadora de Distribución de Poisson

Calculadora de Distribución de Poisson

Introducción

La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa la probabilidad de que ocurra un número dado de eventos en un intervalo fijo de tiempo o espacio, asumiendo que estos eventos ocurren con una tasa media constante conocida e independientemente del tiempo transcurrido desde el último evento. Esta calculadora te permite determinar la probabilidad de que ocurra un número específico de eventos basado en la tasa media de ocurrencia.

Fórmula

La función de masa de probabilidad de la distribución de Poisson se da por:

$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$

Donde:

• $\lambda$ (lambda) es el número medio de eventos por intervalo
• $k$ es el número de eventos para el que estamos calculando la probabilidad
• $e$ es el número de Euler (aproximadamente 2.71828)

Cómo Usar Esta Calculadora

1. Introduce la tasa media de ocurrencia ($\lambda$)
2. Introduce el número de eventos que te interesa ($k$)
3. Haz clic en el botón "Calcular" para obtener la probabilidad
4. El resultado se mostrará como un decimal entre 0 y 1

Nota: Tanto $\lambda$ como $k$ deben ser números no negativos. Además, $k$ debe ser un entero.

Validación de Entrada

La calculadora realiza las siguientes comprobaciones en las entradas del usuario:

• $\lambda$ debe ser un número positivo
• $k$ debe ser un entero no negativo
• Para valores muy grandes de $\lambda$ o $k$, se puede mostrar una advertencia sobre la posible inestabilidad numérica

Si se detectan entradas no válidas, se mostrará un mensaje de error y el cálculo no procederá hasta que se corrijan.

Cálculo

La calculadora utiliza la fórmula de la distribución de Poisson para calcular la probabilidad basada en la entrada del usuario. Aquí hay una explicación paso a paso del cálculo:

1. Calcular $e^{-\lambda}$
2. Calcular $\lambda^k$
3. Calcular $k!$ (factorial de $k$)
4. Multiplicar los resultados de los pasos 1 y 2
5. Dividir el resultado del paso 4 por el resultado del paso 3

El resultado final es la probabilidad de que ocurran exactamente $k$ eventos en un intervalo donde el número medio de eventos es $\lambda$.

Casos de Uso

La distribución de Poisson tiene diversas aplicaciones en diferentes campos:

1. Gestión de Centros de Llamadas: Predecir el número de llamadas recibidas en un período de tiempo determinado.

2. Control de Calidad: Estimar el número de defectos en un lote de producción.

3. Biología: Modelar el número de mutaciones en una secuencia de ADN.

4. Seguros: Calcular la probabilidad de un cierto número de reclamaciones en un período de tiempo.

5. Flujo de Tráfico: Estimar el número de vehículos que llegan a una intersección en un tiempo dado.

6. Decaimiento Radiactivo: Predecir el número de partículas emitidas en un intervalo de tiempo fijo.

Alternativas

Si bien la distribución de Poisson es útil para muchos escenarios, hay otras distribuciones que podrían ser más apropiadas en ciertas situaciones:

1. Distribución Binomial: Cuando hay un número fijo de ensayos con una probabilidad constante de éxito.

2. Distribución Binomial Negativa: Cuando te interesa el número de éxitos antes de que ocurra un número especificado de fracasos.

3. Distribución Exponencial: Para modelar el tiempo entre eventos distribuidos según Poisson.

4. Distribución Gamma: Una generalización de la distribución exponencial, útil para modelar tiempos de espera.

Historia

La distribución de Poisson fue descubierta por el matemático francés Siméon Denis Poisson y publicada en 1838 en su obra "Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile" (Investigaciones sobre la Probabilidad de Juicios en Asuntos Criminales y Civiles).

Inicialmente, el trabajo de Poisson no recibió mucha atención. No fue hasta principios del siglo XX que la distribución ganó prominencia, particularmente a través del trabajo de estadísticos como Ronald Fisher, quien la aplicó a problemas biológicos.

Hoy en día, la distribución de Poisson se utiliza ampliamente en diversos campos, desde la física cuántica hasta la investigación operativa, demostrando su versatilidad e importancia en la teoría de probabilidades y la estadística.

Ejemplos

Aquí hay algunos ejemplos de código para calcular la probabilidad de la distribución de Poisson:

' Función de Excel VBA para la Probabilidad de la Distribución de Poisson
Function PoissonProbability(lambda As Double, k As Integer) As Double
    PoissonProbability = (Exp(-lambda) * lambda ^ k) / Application.WorksheetFunction.Fact(k)
End Function
' Uso:
' =PoissonProbability(2, 3)

import math

def poisson_probability(lambda_param, k):
    return (math.exp(-lambda_param) * (lambda_param ** k)) / math.factorial(k)

## Ejemplo de uso:
lambda_param = 2  # tasa media
k = 3  # número de ocurrencias
probability = poisson_probability(lambda_param, k)
print(f"Probabilidad: {probability:.6f}")

function poissonProbability(lambda, k) {
  const factorial = (n) => (n === 0 || n === 1) ? 1 : n * factorial(n - 1);
  return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
}

// Ejemplo de uso:
const lambda = 2; // tasa media
const k = 3; // número de ocurrencias
const probability = poissonProbability(lambda, k);
console.log(`Probabilidad: ${probability.toFixed(6)}`);

public class PoissonDistributionCalculator {
    public static double poissonProbability(double lambda, int k) {
        return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
    }

    private static long factorial(int n) {
        if (n == 0 || n == 1) return 1;
        return n * factorial(n - 1);
    }

    public static void main(String[] args) {
        double lambda = 2.0; // tasa media
        int k = 3; // número de ocurrencias

        double probability = poissonProbability(lambda, k);
        System.out.printf("Probabilidad: %.6f%n", probability);
    }
}

Estos ejemplos demuestran cómo calcular la probabilidad de la distribución de Poisson para diferentes lenguajes de programación. Puedes adaptar estas funciones a tus necesidades específicas o integrarlas en sistemas de análisis estadístico más grandes.

Ejemplos Numéricos

1. Escenario de Centro de Llamadas:

   • Llamadas promedio por hora ($\lambda$) = 5
   • Probabilidad de exactamente 3 llamadas en una hora ($k$ = 3)
   • Probabilidad ≈ 0.140373

2. Control de Calidad en Manufactura:

   • Defectos promedio por lote ($\lambda$) = 1.5
   • Probabilidad de no tener defectos en un lote ($k$ = 0)
   • Probabilidad ≈ 0.223130

3. Decaimiento Radiactivo:

   • Emisiones promedio por minuto ($\lambda$) = 3.5
   • Probabilidad de exactamente 6 emisiones en un minuto ($k$ = 6)
   • Probabilidad ≈ 0.116422

4. Flujo de Tráfico:

   • Autos promedio por minuto ($\lambda$) = 2
   • Probabilidad de exactamente 5 autos en un minuto ($k$ = 5)
   • Probabilidad ≈ 0.036288

Casos Límite y Limitaciones

1. Valores grandes de $\lambda$: Para valores muy grandes de $\lambda$ (por ejemplo, $\lambda > 100$), el cálculo puede volverse numéricamente inestable debido a los términos exponenciales y factoriales. En tales casos, aproximaciones como la distribución normal podrían ser más apropiadas.

2. Valores grandes de $k$: Similar a los grandes valores de $\lambda$, los valores de $k$ muy grandes pueden llevar a inestabilidad numérica. La calculadora debería advertir a los usuarios cuando se acerquen a estos límites.

3. $k$ no entero: La distribución de Poisson está definida solo para $k$ enteros. La calculadora debería hacer cumplir esta restricción.

4. Probabilidades pequeñas: Para combinaciones de grandes $\lambda$ y pequeños $k$ (o viceversa), las probabilidades resultantes pueden ser extremadamente pequeñas, lo que potencialmente puede llevar a problemas de subdesbordamiento en algunos lenguajes de programación.

5. Suposición de independencia: La distribución de Poisson asume que los eventos ocurren de manera independiente. En escenarios del mundo real, esta suposición puede no siempre mantenerse, limitando la aplicabilidad de la distribución.

6. Suposición de tasa constante: La distribución de Poisson asume una tasa media constante. En muchos escenarios del mundo real, la tasa puede variar con el tiempo o el espacio.

7. Igualdad de media y varianza: En una distribución de Poisson, la media es igual a la varianza ($\lambda$). Esta propiedad, conocida como equidispersión, puede no mantenerse en algunos datos del mundo real, lo que lleva a sobre o subdispersión.

Al utilizar la calculadora de distribución de Poisson, es importante tener en cuenta estas limitaciones y considerar si la distribución es apropiada para el escenario específico en cuestión.

Referencias

1. Haight, Frank A. "Handbook of the Poisson Distribution." Nueva York: John Wiley & Sons, 1967.
2. Cameron, A. Colin, y Pravin K. Trivedi. "Regression Analysis of Count Data." Cambridge University Press, 2013.
3. Ross, Sheldon M. "Introduction to Probability Models." Academic Press, 2014.
4. "Distribución de Poisson." Wikipedia, Fundación Wikimedia, https://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_Poisson. Consultado el 2 de agosto de 2024.
5. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp, y Samuel Kotz. "Univariate Discrete Distributions." John Wiley & Sons, 2005.