Poissoni jaotuse kalkulaator

Poissoni jaotuse kalkulaator

Sissejuhatus

Poissoni jaotus on diskreetne tõenäosusjaotus, mis väljendab tõenäosust, et antud arvu sündmusi toimub kindlas ajavahemikus või ruumis, eeldades, et need sündmused toimuvad teadaoleva konstantse keskmise määraga ja sõltumatult viimase sündmuse toimumise ajast. See kalkulaator võimaldab teil määrata tõenäosuse, et konkreetne arv sündmusi toimub, tuginedes esinemise keskmisele määrale.

Valem

Poissoni jaotuse tõenäosusmassifunktsioon on antud järgmiselt:

$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$

Kus:

• $\lambda$ (lambda) on sündmuste keskmine arv ajavahemiku kohta
• $k$ on sündmuste arv, mille jaoks me tõenäosust arvutame
• $e$ on Euleri arv (umbes 2.71828)

Kuidas seda kalkulaatorit kasutada

1. Sisestage esinemise keskmine määr ($\lambda$)
2. Sisestage sündmuste arv, mis teid huvitab ($k$)
3. Klõpsake nuppu "Arvuta", et saada tõenäosus
4. Tulemus kuvatakse kümnendmurruna vahemikus 0 kuni 1

Märkus: Nii $\lambda$ kui ka $k$ peavad olema mitte-negatiivsed arvud. Lisaks peab $k$ olema täisarv.

Sisendi valideerimine

Kalkulaator teeb kasutaja sisendi suhtes järgmised kontrollid:

• $\lambda$ peab olema positiivne arv
• $k$ peab olema mitte-negatiivne täisarv
• Väga suurte $\lambda$ või $k$ väärtuste korral võib kuvatakse hoiatusteade võimaliku numbrilise ebastabiilsuse kohta

Kui tuvastatakse kehtetud sisendid, kuvatakse veateade ja arvutamine ei jätku enne, kui need on parandatud.

Arvutamine

Kalkulaator kasutab Poissoni jaotuse valemit tõenäosuse arvutamiseks kasutaja sisendi põhjal. Siin on samm-sammuline selgitus arvutamisest:

1. Arvutage $e^{-\lambda}$
2. Arvutage $\lambda^k$
3. Arvutage $k!$ (k-faktoriaal)
4. Korrutage sammude 1 ja 2 tulemused
5. Jagage sammu 4 tulemus sammu 3 tulemusega

Lõplik tulemus on tõenäosus, et täpselt $k$ sündmust toimub ajavahemikus, kus sündmuste keskmine arv on $\lambda$.

Kasutusalad

Poissoni jaotusel on erinevates valdkondades mitmeid rakendusi:

1. Kõnekeskuse juhtimine: Ennustamine, kui palju kõnesid saab kindlas ajavahemikus.

2. Kvaliteedikontroll: Defektide arvu hindamine tootmispartiis.

3. Bioloogia: Mutatsioonide arvu modelleerimine DNA järjestuses.

4. Kindlustus: Teatud arvu nõuete tõenäosuse arvutamine ajavahemikus.

5. Liiklusvoog: Sõidukite arvu hindamine, mis saabub ristmiku juurde kindlas ajavahemikus.

6. Raadioaktiivne lagunemine: Ennustamine, kui palju osakesi kiirgub kindlas ajavahemikus.

Alternatiivid

Kuigi Poissoni jaotus on paljude stsenaariumide jaoks kasulik, on olemas ka teisi jaotusi, mis võivad teatud olukordades sobivamad olla:

1. Binomiaaljaotus: Kui on kindel katsete arv ja konstantne eduka tulemuse tõenäosus.

2. Negatiivne binomiaaljaotus: Kui olete huvitatud edusammude arvust enne määratud arvu ebaõnnestumisi.

3. Eksponentsiaaljaotus: Poissoni jaotusega sündmuste vahelise aja modelleerimiseks.

4. Gammajaotus: Eksponentsiaaljaotuse üldistus, mis on kasulik ooteaegade modelleerimiseks.

Ajalugu

Poissoni jaotus avastati Prantsuse matemaatiku Siméon Denis Poissoni poolt ja avaldati 1838. aastal tema teoses "Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile" (Uurimused kriminaal- ja tsiviilasjade otsuste tõenäosuse kohta).

Alguses ei pälvinud Poissoni töö palju tähelepanu. Alles 20. sajandi alguses sai jaotus tuntuks, eriti statistikutest nagu Ronald Fisher, kes rakendas seda bioloogiliste probleemide lahendamiseks.

Tänapäeval kasutatakse Poissoni jaotust laialdaselt erinevates valdkondades, alates kvantfüüsikast kuni operatsioonide uurimiseni, näidates selle mitmekesisust ja tähtsust tõenäosusteoorias ja statistikast.

Näited

Siin on mõned koodinäited Poissoni jaotuse tõenäosuse arvutamiseks:

' Exceli VBA funktsioon Poissoni jaotuse tõenäosuse jaoks
Function PoissonProbability(lambda As Double, k As Integer) As Double
    PoissonProbability = (Exp(-lambda) * lambda ^ k) / Application.WorksheetFunction.Fact(k)
End Function
' Kasutamine:
' =PoissonProbability(2, 3)

import math

def poisson_probability(lambda_param, k):
    return (math.exp(-lambda_param) * (lambda_param ** k)) / math.factorial(k)

## Näidis kasutamine:
lambda_param = 2  # keskmine määr
k = 3  # esinemiste arv
probability = poisson_probability(lambda_param, k)
print(f"Tõenäosus: {probability:.6f}")

function poissonProbability(lambda, k) {
  const factorial = (n) => (n === 0 || n === 1) ? 1 : n * factorial(n - 1);
  return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
}

// Näidis kasutamine:
const lambda = 2; // keskmine määr
const k = 3; // esinemiste arv
const probability = poissonProbability(lambda, k);
console.log(`Tõenäosus: ${probability.toFixed(6)}`);

public class PoissonDistributionCalculator {
    public static double poissonProbability(double lambda, int k) {
        return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
    }

    private static long factorial(int n) {
        if (n == 0 || n == 1) return 1;
        return n * factorial(n - 1);
    }

    public static void main(String[] args) {
        double lambda = 2.0; // keskmine määr
        int k = 3; // esinemiste arv

        double probability = poissonProbability(lambda, k);
        System.out.printf("Tõenäosus: %.6f%n", probability);
    }
}

Need näited demonstreerivad, kuidas arvutada Poissoni jaotuse tõenäosust erinevates programmeerimiskeeltes. Saate neid funktsioone kohandada oma konkreetsete vajaduste jaoks või integreerida need suurematesse statistilise analüüsi süsteemidesse.

Numbrilised näited

1. Kõnekeskuse stsenaarium:

   • Keskmine kõnede arv tunnis ($\lambda$) = 5
   • Tõenäosus, et täpselt 3 kõnet tunnis ($k$ = 3)
   • Tõenäosus ≈ 0.140373

2. Tootmise kvaliteedikontroll:

   • Keskmine defektide arv partii kohta ($\lambda$) = 1.5
   • Tõenäosus, et partii kohta pole defekte ($k$ = 0)
   • Tõenäosus ≈ 0.223130

3. Raadioaktiivne lagunemine:

   • Keskmine kiirgus minutis ($\lambda$) = 3.5
   • Tõenäosus, et täpselt 6 kiirgust minutis ($k$ = 6)
   • Tõenäosus ≈ 0.116422

4. Liiklusvoog:

   • Keskmine autosid minutis ($\lambda$) = 2
   • Tõenäosus, et täpselt 5 autot minutis ($k$ = 5)
   • Tõenäosus ≈ 0.036288

Äärmuslikud juhtumid ja piirangud

1. Suured $\lambda$ väärtused: Väga suurte $\lambda$ väärtuste (nt $\lambda > 100$) korral võib arvutamine muutuda numbriliselt ebastabiilseks, kuna eksponentsiaal- ja faktoriaalterminid. Sellistel juhtudel võivad lähenemised nagu normaaljaotus olla sobivamad.

2. Suured $k$ väärtused: Sarnaselt suurtele $\lambda$ väärtustele võivad väga suured $k$ väärtused põhjustada numbrilist ebastabiilsust. Kalkulaator peaks kasutajaid hoiatama, kui need piirid on lähenemas.

3. Mitte-täisarv $k$: Poissoni jaotus on määratletud ainult täisarvude $k$ jaoks. Kalkulaator peaks seda piirangut jõustama.

4. Väikesed tõenäosused: Suurte $\lambda$ ja väikeste $k$ (või vastupidi) kombinatsioonide korral võivad saadud tõenäosused olla äärmiselt väikesed, mis võib mõnedes programmeerimiskeeltes põhjustada alavoolu probleeme.

5. Sõltumatuse eeldus: Poissoni jaotus eeldab, et sündmused toimuvad sõltumatult. Reaalsetes olukordades ei pruugi see eeldus alati kehtida, piirates jaotuse rakendatavust.

6. Konstantse määra eeldus: Poissoni jaotus eeldab konstantset keskmist määra. Paljudes reaalsetes olukordades võib määr varieeruda ajas või ruumis.

7. Keskmise ja variatsiooni võrdsus: Poissoni jaotuses on keskmine võrdne variatsiooniga ($\lambda$). Seda omadust, mida tuntakse kui ühtlasust, ei pruugi mõnedes reaalsetes andmetes täheldada, mis viib üle- või aladispersioonini.

Poissoni jaotuse kalkulaatori kasutamisel on oluline neid piiranguid silmas pidada ja kaaluda, kas jaotus on konkreetse stsenaariumi jaoks sobiv.

Viidatud allikad

1. Haight, Frank A. "Handbook of the Poisson Distribution." New York: John Wiley & Sons, 1967.
2. Cameron, A. Colin, ja Pravin K. Trivedi. "Regression Analysis of Count Data." Cambridge University Press, 2013.
3. Ross, Sheldon M. "Introduction to Probability Models." Academic Press, 2014.
4. "Poisson Distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution. Juurdepääs 2. aug. 2024.
5. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp ja Samuel Kotz. "Univariate Discrete Distributions." John Wiley & Sons, 2005.