ماشین حساب توزیع پواسون

ماشین حساب توزیع پواسون

مقدمه

توزیع پواسون یک توزیع احتمال گسسته است که احتمال وقوع یک تعداد مشخص از رویدادها را در یک بازه ثابت زمانی یا مکانی بیان می‌کند، با فرض اینکه این رویدادها با یک نرخ میانگین ثابت و به‌طور مستقل از زمان آخرین رویداد رخ می‌دهند. این ماشین حساب به شما اجازه می‌دهد تا احتمال وقوع یک تعداد مشخص از رویدادها را بر اساس نرخ میانگین وقوع تعیین کنید.

فرمول

تابع جرم احتمال توزیع پواسون به صورت زیر است:

$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$

که در آن:

• $\lambda$ (لامبدا) تعداد میانگین رویدادها در هر بازه است
• $k$ تعداد رویدادهایی است که ما در حال محاسبه احتمال آن هستیم
• $e$ عدد اویلر (تقریباً 2.71828) است

نحوه استفاده از این ماشین حساب

1. نرخ میانگین وقوع ($\lambda$) را وارد کنید
2. تعداد رویدادهایی که به آن علاقه دارید ($k$) را وارد کنید
3. بر روی دکمه "محاسبه" کلیک کنید تا احتمال را به‌دست آورید
4. نتیجه به‌صورت یک عدد اعشاری بین 0 و 1 نمایش داده خواهد شد

توجه: هر دو $\lambda$ و $k$ باید اعداد غیرمنفی باشند. علاوه بر این، $k$ باید یک عدد صحیح باشد.

اعتبارسنجی ورودی

ماشین حساب بررسی‌های زیر را بر روی ورودی‌های کاربر انجام می‌دهد:

• $\lambda$ باید یک عدد مثبت باشد
• $k$ باید یک عدد صحیح غیرمنفی باشد
• برای مقادیر بسیار بزرگ $\lambda$ یا $k$، یک هشدار درباره ناپایداری عددی ممکن است نمایش داده شود

اگر ورودی‌های نامعتبر شناسایی شوند، یک پیام خطا نمایش داده خواهد شد و محاسبه تا زمان اصلاح ادامه نخواهد یافت.

محاسبه

ماشین حساب از فرمول توزیع پواسون برای محاسبه احتمال بر اساس ورودی کاربر استفاده می‌کند. در اینجا یک توضیح مرحله به مرحله از محاسبه آورده شده است:

1. محاسبه $e^{-\lambda}$
2. محاسبه $\lambda^k$
3. محاسبه $k!$ (فاکتوریل $k$)
4. ضرب نتایج مراحل 1 و 2
5. تقسیم نتیجه مرحله 4 بر نتیجه مرحله 3

نتیجه نهایی احتمال وقوع دقیقاً $k$ رویداد در یک بازه است که تعداد میانگین رویدادها $\lambda$ است.

موارد استفاده

توزیع پواسون کاربردهای مختلفی در زمینه‌های مختلف دارد:

1. مدیریت مرکز تماس: پیش‌بینی تعداد تماس‌های دریافتی در یک دوره زمانی مشخص.

2. کنترل کیفیت: برآورد تعداد نقص‌ها در یک دسته تولید.

3. زیست‌شناسی: مدل‌سازی تعداد جهش‌ها در یک توالی DNA.

4. بیمه: محاسبه احتمال وقوع تعداد مشخصی از ادعاها در یک دوره زمانی.

5. جریان ترافیک: برآورد تعداد وسایل نقلیه‌ای که در یک تقاطع در یک زمان مشخص وارد می‌شوند.

6. تجزیه رادیواکتیو: پیش‌بینی تعداد ذرات منتشر شده در یک بازه زمانی ثابت.

جایگزین‌ها

در حالی که توزیع پواسون برای بسیاری از سناریوها مفید است، توزیع‌های دیگری نیز وجود دارند که ممکن است در شرایط خاص مناسب‌تر باشند:

1. توزیع دوجمله‌ای: زمانی که تعداد ثابتی از آزمایش‌ها با احتمال موفقیت ثابت وجود دارد.

2. توزیع دوجمله‌ای منفی: زمانی که به تعداد موفقیت‌ها قبل از وقوع تعداد مشخصی از شکست‌ها علاقه‌مند هستید.

3. توزیع نمایی: برای مدل‌سازی زمان بین رویدادهای توزیع پواسون.

4. توزیع گاما: تعمیمی از توزیع نمایی، مفید برای مدل‌سازی زمان‌های انتظار.

تاریخچه

توزیع پواسون توسط ریاضیدان فرانسوی سیمئون دنی پواسون کشف شد و در سال 1838 در اثر خود "تحقیقات در مورد احتمال قضاوت‌ها در امور جنایی و مدنی" منتشر شد.

در ابتدا، کار پواسون توجه چندانی را جلب نکرد. تا اوایل قرن بیستم، این توزیع به ویژه از طریق کار آماردانانی مانند رونالد فیشر که آن را به مسائل زیست‌شناسی اعمال کردند، به شهرت رسید.

امروزه، توزیع پواسون در زمینه‌های مختلف، از فیزیک کوانتومی تا تحقیق در عملیات، به‌طور گسترده‌ای استفاده می‌شود و نشان‌دهنده چندمنظوره بودن و اهمیت آن در نظریه احتمال و آمار است.

مثال‌ها

در اینجا چند مثال کد برای محاسبه احتمال توزیع پواسون آورده شده است:

' تابع VBA اکسل برای احتمال توزیع پواسون
Function PoissonProbability(lambda As Double, k As Integer) As Double
    PoissonProbability = (Exp(-lambda) * lambda ^ k) / Application.WorksheetFunction.Fact(k)
End Function
' استفاده:
' =PoissonProbability(2, 3)

import math

def poisson_probability(lambda_param, k):
    return (math.exp(-lambda_param) * (lambda_param ** k)) / math.factorial(k)

## مثال استفاده:
lambda_param = 2  # نرخ میانگین
k = 3  # تعداد وقوع‌ها
probability = poisson_probability(lambda_param, k)
print(f"احتمال: {probability:.6f}")

function poissonProbability(lambda, k) {
  const factorial = (n) => (n === 0 || n === 1) ? 1 : n * factorial(n - 1);
  return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
}

// مثال استفاده:
const lambda = 2; // نرخ میانگین
const k = 3; // تعداد وقوع‌ها
const probability = poissonProbability(lambda, k);
console.log(`احتمال: ${probability.toFixed(6)}`);

public class PoissonDistributionCalculator {
    public static double poissonProbability(double lambda, int k) {
        return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
    }

    private static long factorial(int n) {
        if (n == 0 || n == 1) return 1;
        return n * factorial(n - 1);
    }

    public static void main(String[] args) {
        double lambda = 2.0; // نرخ میانگین
        int k = 3; // تعداد وقوع‌ها

        double probability = poissonProbability(lambda, k);
        System.out.printf("احتمال: %.6f%n", probability);
    }
}

این مثال‌ها نشان می‌دهند که چگونه می‌توان احتمال توزیع پواسون را برای زبان‌های برنامه‌نویسی مختلف محاسبه کرد. شما می‌توانید این توابع را به نیازهای خاص خود تطبیق دهید یا آن‌ها را در سیستم‌های تحلیل آماری بزرگتر ادغام کنید.

مثال‌های عددی

1. سناریوی مرکز تماس:

   • میانگین تماس‌ها در ساعت ($\lambda$) = 5
   • احتمال وقوع دقیقاً 3 تماس در یک ساعت ($k$ = 3)
   • احتمال ≈ 0.140373

2. کنترل کیفیت تولید:

   • میانگین نقص‌ها در هر دسته ($\lambda$) = 1.5
   • احتمال عدم وجود نقص در یک دسته ($k$ = 0)
   • احتمال ≈ 0.223130

3. تجزیه رادیواکتیو:

   • میانگین انتشارها در هر دقیقه ($\lambda$) = 3.5
   • احتمال وقوع دقیقاً 6 انتشار در یک دقیقه ($k$ = 6)
   • احتمال ≈ 0.116422

4. جریان ترافیک:

   • میانگین خودروها در هر دقیقه ($\lambda$) = 2
   • احتمال وقوع دقیقاً 5 خودرو در یک دقیقه ($k$ = 5)
   • احتمال ≈ 0.036288

موارد حاشیه‌ای و محدودیت‌ها

1. مقادیر بزرگ $\lambda$: برای مقادیر بسیار بزرگ $\lambda$ (به عنوان مثال، $\lambda > 100$)، محاسبه ممکن است به دلیل عبارات نمایی و فاکتوریل ناپایدار شود. در چنین مواردی، تقریب‌هایی مانند توزیع نرمال ممکن است مناسب‌تر باشد.

2. مقادیر بزرگ $k$: مشابه مقادیر بزرگ $\lambda$، مقادیر بسیار بزرگ $k$ می‌توانند منجر به ناپایداری عددی شوند. ماشین حساب باید کاربران را هنگام نزدیک شدن به این محدودیت‌ها هشدار دهد.

3. $k$ غیر صحیح: توزیع پواسون تنها برای $k$ صحیح تعریف شده است. ماشین حساب باید این محدودیت را اعمال کند.

4. احتمال‌های کوچک: برای ترکیب‌های بزرگ $\lambda$ و کوچک $k$ (یا برعکس)، احتمال‌های حاصل می‌توانند به شدت کوچک باشند که ممکن است منجر به مشکلات زیر جریان در برخی زبان‌های برنامه‌نویسی شود.

5. فرض استقلال: توزیع پواسون فرض می‌کند که رویدادها به‌طور مستقل رخ می‌دهند. در سناریوهای دنیای واقعی، این فرض همیشه ممکن است برقرار نباشد و محدودیت‌هایی در کاربرد توزیع ایجاد کند.

6. فرض ثابت بودن نرخ: توزیع پواسون فرض می‌کند که نرخ میانگین ثابت است. در بسیاری از سناریوهای دنیای واقعی، نرخ ممکن است در طول زمان یا فضا متغیر باشد.

7. برابری میانگین و واریانس: در توزیع پواسون، میانگین برابر با واریانس ($\lambda$) است. این ویژگی که به آن هم‌پراکنش می‌گویند، ممکن است در برخی داده‌های دنیای واقعی برقرار نباشد و منجر به پراکندگی بیش از حد یا کم‌پراکندگی شود.

هنگام استفاده از ماشین حساب توزیع پواسون، مهم است که این محدودیت‌ها را در نظر بگیرید و بررسی کنید که آیا توزیع برای سناریو خاص مناسب است یا خیر.

منابع

1. Haight, Frank A. "Handbook of the Poisson Distribution." New York: John Wiley & Sons, 1967.
2. Cameron, A. Colin, and Pravin K. Trivedi. "Regression Analysis of Count Data." Cambridge University Press, 2013.
3. Ross, Sheldon M. "Introduction to Probability Models." Academic Press, 2014.
4. "Poisson Distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution. Accessed 2 Aug. 2024.
5. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp, and Samuel Kotz. "Univariate Discrete Distributions." John Wiley & Sons, 2005.