Poisson-jakauman laskin

Poisson-jakauma Laskin

Johdanto

Poisson-jakauma on diskreetti todennäköisyysjakauma, joka ilmaisee todennäköisyyden tietyn määrän tapahtumien esiintymiselle kiinteässä aikavälin tai tilassa, olettaen, että nämä tapahtumat tapahtuvat tunnetulla vakio keskimääräisellä nopeudella ja riippumatta viimeisimmän tapahtuman ajasta. Tämä laskin mahdollistaa tietyn määrän tapahtumien todennäköisyyden määrittämisen esiintymisen keskimääräisen nopeuden perusteella.

Kaava

Poisson-jakauman todennäköisyysmassafunktio on annettu seuraavasti:

$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$

Missä:

• $\lambda$ (lambda) on keskimääräinen tapahtumien määrä aikavälin aikana
• $k$ on tapahtumien määrä, jonka todennäköisyyttä lasketaan
• $e$ on Eulerin luku (noin 2.71828)

Kuinka käyttää tätä laskinta

1. Syötä esiintymisen keskimääräinen nopeus ($\lambda$)
2. Syötä kiinnostava tapahtumien määrä ($k$)
3. Napsauta "Laske" -painiketta saadaksesi todennäköisyyden
4. Tulos näytetään desimaalina, joka on välillä 0 ja 1

Huom: Sekä $\lambda$ että $k$ on oltava ei-negatiivisia lukuja. Lisäksi $k$ on oltava kokonaisluku.

Syötteen tarkistus

Laskin suorittaa seuraavat tarkistukset käyttäjän syötteille:

• $\lambda$ on oltava positiivinen luku
• $k$ on oltava ei-negatiivinen kokonaisluku
• Erittäin suurista $\lambda$ tai $k$ arvoista voidaan näyttää varoitus mahdollisesta numeerisesta epävakaudesta

Jos virheellisiä syötteitä havaitaan, näytetään virheilmoitus, eikä laskentaa suoriteta ennen korjaamista.

Laskenta

Laskin käyttää Poisson-jakauman kaavaa todennäköisyyden laskemiseen käyttäjän syötteen perusteella. Tässä on vaiheittainen selitys laskennasta:

1. Laske $e^{-\lambda}$
2. Laske $\lambda^k$
3. Laske $k!$ (k:n kertoma)
4. Kerro vaiheiden 1 ja 2 tulokset
5. Jaa vaiheen 4 tulos vaiheen 3 tuloksella

Lopullinen tulos on todennäköisyys, että tarkalleen $k$ tapahtumaa esiintyy aikavälillä, jossa keskimääräinen tapahtumien määrä on $\lambda$.

Käyttötapaukset

Poisson-jakaumalla on erilaisia sovelluksia eri aloilla:

1. Puhelinpalvelun hallinta: Ennustaa tietyn ajan kuluessa vastaanotettujen puheluiden määrää.

2. Laadunvalvonta: Arvioida tuotantoerän virheiden määrää.

3. Biologia: Mallintaa mutaatioiden määrää DNA-sekvenssissä.

4. Vakuutus: Laskea tietyn määrän vaatimusten todennäköisyys aikavälillä.

5. Liikenteen virtaus: Arvioida saapuvien ajoneuvojen määrää risteyksessä tietyssä ajassa.

6. Radioaktiivinen hajoaminen: Ennustaa tietyn ajan kuluessa emittoitujen hiukkasten määrää.

Vaihtoehdot

Vaikka Poisson-jakauma on hyödyllinen monissa tilanteissa, on olemassa muita jakaumia, jotka saattavat olla sopivampia tietyissä olosuhteissa:

1. Binomijakauma: Kun on kiinteä määrä kokeita, joilla on vakio onnistumisen todennäköisyys.

2. Negatiivinen binomijakauma: Kun kiinnostaa onnistumisten määrä ennen tietyn määrän epäonnistumisia.

3. Eksponentiaalijakauma: Mallintamaan aikaa Poisson-jakauman tapahtumien välillä.

4. Gamma-jakauma: Eksponentiaalijakauman yleistys, joka on hyödyllinen odotusaikojen mallintamisessa.

Historia

Poisson-jakauma löydettiin ranskalaisen matemaatikon Siméon Denis Poissonin toimesta ja julkaistiin vuonna 1838 hänen teoksessaan "Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile" (Tutkimuksia rikosoikeudellisten ja siviilioikeudellisten arviointien todennäköisyydestä).

Aluksi Poissonin työ ei saanut paljon huomiota. Vasta 1900-luvun alussa jakauma sai näkyvyyttä erityisesti tilastotieteilijöiden, kuten Ronald Fisherin, kautta, joka sovelsi sitä biologisiin ongelmiin.

Nykyään Poisson-jakaumaa käytetään laajalti eri aloilla, kvanttifysiikasta operaatioiden tutkimukseen, mikä osoittaa sen monipuolisuuden ja merkityksen todennäköisyysteoriassa ja tilastotieteessä.

Esimerkit

Tässä on joitakin koodiesimerkkejä Poisson-jakauman todennäköisyyden laskemiseksi:

' Excel VBA -toiminto Poisson-jakauman todennäköisyyden laskemiseksi
Function PoissonProbability(lambda As Double, k As Integer) As Double
    PoissonProbability = (Exp(-lambda) * lambda ^ k) / Application.WorksheetFunction.Fact(k)
End Function
' Käyttö:
' =PoissonProbability(2, 3)

import math

def poisson_probability(lambda_param, k):
    return (math.exp(-lambda_param) * (lambda_param ** k)) / math.factorial(k)

## Esimerkin käyttö:
lambda_param = 2  # keskimääräinen nopeus
k = 3  # tapahtumien määrä
probability = poisson_probability(lambda_param, k)
print(f"Todennäköisyys: {probability:.6f}")

function poissonProbability(lambda, k) {
  const factorial = (n) => (n === 0 || n === 1) ? 1 : n * factorial(n - 1);
  return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
}

// Esimerkin käyttö:
const lambda = 2; // keskimääräinen nopeus
const k = 3; // tapahtumien määrä
const probability = poissonProbability(lambda, k);
console.log(`Todennäköisyys: ${probability.toFixed(6)}`);

public class PoissonDistributionCalculator {
    public static double poissonProbability(double lambda, int k) {
        return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
    }

    private static long factorial(int n) {
        if (n == 0 || n == 1) return 1;
        return n * factorial(n - 1);
    }

    public static void main(String[] args) {
        double lambda = 2.0; // keskimääräinen nopeus
        int k = 3; // tapahtumien määrä

        double probability = poissonProbability(lambda, k);
        System.out.printf("Todennäköisyys: %.6f%n", probability);
    }
}

Nämä esimerkit osoittavat, kuinka laskea Poisson-jakauman todennäköisyys eri ohjelmointikielillä. Voit mukauttaa näitä toimintoja omiin tarpeisiisi tai integroida ne laajempiin tilastollisiin analyysijärjestelmiin.

Numeraaliset esimerkit

1. Puhelinpalvelun skenaario:

   • Keskimääräinen puheluiden määrä tunnissa ($\lambda$) = 5
   • Todennäköisyys tarkalleen 3 puhelua tunnissa ($k$ = 3)
   • Todennäköisyys ≈ 0.140373

2. Valmistuksen laadunvalvonta:

   • Keskimääräinen virheiden määrä erässä ($\lambda$) = 1.5
   • Todennäköisyys ei virheitä erässä ($k$ = 0)
   • Todennäköisyys ≈ 0.223130

3. Radioaktiivinen hajoaminen:

   • Keskimääräinen emissio minuutissa ($\lambda$) = 3.5
   • Todennäköisyys tarkalleen 6 emissioita minuutissa ($k$ = 6)
   • Todennäköisyys ≈ 0.116422

4. Liikenteen virtaus:

   • Keskimääräinen autojen määrä minuutissa ($\lambda$) = 2
   • Todennäköisyys tarkalleen 5 autoa minuutissa ($k$ = 5)
   • Todennäköisyys ≈ 0.036288

Rajatapaukset ja rajoitukset

1. Suuret $\lambda$ arvot: Erittäin suurilla $\lambda$ arvoilla (esim. $\lambda > 100$) laskenta voi muuttua numeerisesti epävakaaksi eksponentti- ja kertomatermien vuoksi. Tällaisissa tapauksissa approksimaatiot, kuten normaalijakauma, saattavat olla sopivampia.

2. Suuret $k$ arvot: Samoin erittäin suuret $k$ arvot voivat johtaa numeeriseen epävakauteen. Laskimen tulisi varoittaa käyttäjiä, kun lähestytään näitä rajoja.

3. Ei-kokonaiset $k$: Poisson-jakauma on määritelty vain kokonaisille $k$:lle. Laskimen tulisi valvoa tätä rajoitusta.

4. Pienet todennäköisyydet: Suurten $\lambda$ ja pienten $k$ (tai päinvastoin) yhdistelmät voivat johtaa äärimmäisen pieniin todennäköisyyksiin, mikä voi aiheuttaa alijäämäongelmia joissakin ohjelmointikielissä.

5. Itsensä riippumattomuusolettamus: Poisson-jakauma olettaa, että tapahtumat tapahtuvat itsenäisesti. Reaalimaailman skenaarioissa tämä oletus ei aina pidä paikkaansa, mikä rajoittaa jakauman soveltuvuutta.

6. Vakionopeuden oletus: Poisson-jakauma olettaa vakion keskimääräisen nopeuden. Monissa reaalimaailman skenaarioissa nopeus voi vaihdella ajan tai tilan mukaan.

7. Keskimääräisen ja varianssin yhtäläisyys: Poisson-jakaumassa keskimääräinen ja varianssi ovat yhtä suuret ($\lambda$). Tätä ominaisuutta, jota kutsutaan yhtäläisdispersioksi, ei välttämättä toteudu joissakin reaalimaailman tiedoissa, mikä johtaa yli- tai alidispersioon.

Kun käytät Poisson-jakauman laskinta, on tärkeää pitää nämä rajoitukset mielessä ja harkita, onko jakauma sopiva tiettyyn tilanteeseen.

Viitteet

1. Haight, Frank A. "Handbook of the Poisson Distribution." New York: John Wiley & Sons, 1967.
2. Cameron, A. Colin, ja Pravin K. Trivedi. "Regression Analysis of Count Data." Cambridge University Press, 2013.
3. Ross, Sheldon M. "Introduction to Probability Models." Academic Press, 2014.
4. "Poisson Distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution. Viitattu 2. elokuuta 2024.
5. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp, ja Samuel Kotz. "Univariate Discrete Distributions." John Wiley & Sons, 2005.