પોઇસન વિતરણ ગણક

પરિચય

પોઇસન વિતરણ એક વિધિગત સંભાવના વિતરણ છે જે ચોક્કસ સમય અથવા જગ્યા દરમિયાન આપેલ સંખ્યામાં ઘટનાઓ થવાની સંભાવના દર્શાવે છે, માન્યતા છે કે આ ઘટનાઓ જાણીતું સ્થિર સરેરાશ દર સાથે થાય છે અને છેલ્લી ઘટનાના સમયથી સ્વતંત્ર છે. આ ગણક તમને ઘટનાઓ થવાના સરેરાશ દરના આધારે ચોક્કસ સંખ્યાના ઘટનાઓ થવાની સંભાવના નક્કી કરવા માટેની મંજૂરી આપે છે.

સૂત્ર

પોઇસન વિતરણ સંભાવના દ્રવ્ય ફંક્શન નીચે મુજબ છે:

$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$

જ્યાં:

• $\lambda$ (લેમ્ડા) એ પ્રત્યેક અંતરાલમાં ઘટનાઓની સરેરાશ સંખ્યા છે
• $k$ એ ઘટનાઓની સંખ્યા છે જેના માટે અમે સંભાવના ગણવી છે
• $e$ એ યુલરનો નંબર (લગભગ 2.71828)

આ ગણકનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો

1. ઘટનાઓ થવાનો સરેરાશ દર ($\lambda$) દાખલ કરો
2. તમે રસ ધરાવતા ઘટનાઓની સંખ્યા ($k$) દાખલ કરો
3. સંભાવના મેળવવા માટે "ગણવું" બટન પર ક્લિક કરો
4. પરિણામ 0 અને 1 વચ્ચેના દશમલવ તરીકે દર્શાવાશે

નોંધ: બંને $\lambda$ અને $k$ નકારાત્મક સંખ્યાઓ હોવી જોઈએ. આ ઉપરાંત, $k$ એક પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ.

ઇનપુટ માન્યતા

ગણક વપરાશકર્તા ઇનપુટ પર નીચેની ચકાસણીઓ કરે છે:

• $\lambda$ એક સકારાત્મક સંખ્યા હોવી જોઈએ
• $k$ એક નકારાત્મક પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ
• ખૂબ મોટા $\lambda$ અથવા $k$ મૂલ્યો માટે સંખ્યાત્મક અસંતુલનાની શક્યતા અંગે ચેતવણી દર્શાવવામાં આવી શકે છે

જો અમાન્ય ઇનપુટ શોધવામાં આવે, તો એક ભૂલ સંદેશા દર્શાવવામાં આવશે, અને સુધાર્યા વગર ગણતરી આગળ નહીં વધે.

ગણતરી

ગણક વપરાશકર્તાના ઇનપુટના આધારે સંભાવના ગણવા માટે પોઇસન વિતરણના સૂત્રનો ઉપયોગ કરે છે. અહીં ગણતરીની પગલાંવાર સમજણ છે:

1. $e^{-\lambda}$ ગણવું
2. $\lambda^k$ ગણવું
3. $k!$ (k નું ફેક્ટોરિયલ) ગણવું
4. પગલું 1 અને 2 ના પરિણામોને ગુણાકાર કરવું
5. પગલું 4 ના પરિણામને પગલું 3 ના પરિણામથી ભાગ આપવું

અંતિમ પરિણામ એ છે કે ચોક્કસ $k$ ઘટનાઓ એક અંતરાલમાં થાય છે જ્યાં ઘટનાઓની સરેરાશ સંખ્યા $\lambda$ છે.

ઉપયોગના કેસ

પોઇસન વિતરણના વિવિધ ક્ષેત્રોમાં વિવિધ ઉપયોગો છે:

1. કોલ સેન્ટર મેનેજમેન્ટ: નિર્ધારિત સમયગાળામાં પ્રાપ્ત થયેલ કોલ્સની સંખ્યા ભવિષ્યવાણી કરવી.

2. ગુણવત્તા નિયંત્રણ: ઉત્પાદન બેચમાં ખામીઓની સંખ્યા અંદાજિત કરવી.

3. બાયોલોજી: ડીએનએ શ્રેણીમાં મ્યુટેશન્સની સંખ્યા મોડેલ કરવી.

4. વીમા: સમયગાળામાં ચોક્કસ સંખ્યામાં દાવાઓની સંભાવના ગણવી.

5. ટ્રાફિક પ્રવાહ: નિર્ધારિત સમયગાળામાં એક ચોરસ પર પહોંચતી વાહનોની સંખ્યા અંદાજિત કરવી.

6. કિરણવિકરણ ક્ષય: નિર્ધારિત સમયગાળામાં ઉત્સર્જિત કણોની સંખ્યા ભવિષ્યવાણી કરવી.

વિકલ્પો

જ્યારે પોઇસન વિતરણ ઘણા પરિસ્થિતિઓ માટે ઉપયોગી છે, ત્યારે કેટલીક પરિસ્થિતિઓમાં વધુ યોગ્યતા ધરાવતી અન્ય વિતરણો હોઈ શકે છે:

1. બિનોમિયલ વિતરણ: જ્યારે સફળતાની સ્થિર સંભાવનાના સાથે નિશ્ચિત સંખ્યાના ટ્રાયલ હોય.

2. નેગેટિવ બિનોમિયલ વિતરણ: જ્યારે તમે નિર્ધારિત સંખ્યાના નિષ્ફળતાઓ પહેલાં સફળતાઓની સંખ્યા વિશે રસ ધરાવો છો.

3. વ્યાખ્યાયિત વિતરણ: પોઇસન વિતરણ થયેલ ઘટનાઓ વચ્ચેના સમયને મોડેલ કરવા માટે.

4. ગમ્મા વિતરણ: વ્યાખ્યાયિત વિતરણનું સામાન્યકરણ, જે રાહ જોવાના સમયને મોડેલ કરવા માટે ઉપયોગી છે.

ઇતિહાસ

પોઇસન વિતરણ ફ્રેન્ચ ગણિતજ્ઞ સિમેઓન ડેનીસ પોઇસન દ્વારા શોધવામાં આવ્યું હતું અને 1838 માં તેમના કાર્ય "Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile" (આપરાધિક અને નાગરિક બાબતોમાં જજમેન્ટની સંભાવનાની સંશોધન) માં પ્રકાશિત થયું હતું.

પ્રારંભમાં, પોઇસનના કાર્યને વધુ ધ્યાન મળ્યું નથી. 20મી સદીના પ્રારંભમાં, આ વિતરણને ખાસ કરીને બાયોલોજીકલ સમસ્યાઓમાં લાગુ કરવા માટે રોનાલ્ડ ફિશર જેવા આંકડાશાસ્ત્રીઓના કાર્ય દ્વારા પ્રખ્યાતી મળી.

આજે, પોઇસન વિતરણ વિવિધ ક્ષેત્રોમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે, ક્વાન્ટમ ભૌતિકશાસ્ત્રથી ઓપરેશન્સ રિસર્ચ સુધી, જે તેની વૈવિધ્યતા અને સંભાવના સિદ્ધાંત અને આંકડાશાસ્ત્રમાં મહત્વને દર્શાવે છે.

ઉદાહરણો

અહીં પોઇસન વિતરણ સંભાવના ગણવા માટે કેટલાક કોડ ઉદાહરણો છે:

1' Excel VBA ફંક્શન પોઇસન વિતરણ સંભાવના માટે
2Function PoissonProbability(lambda As Double, k As Integer) As Double
3    PoissonProbability = (Exp(-lambda) * lambda ^ k) / Application.WorksheetFunction.Fact(k)
4End Function
5' ઉપયોગ:
6' =PoissonProbability(2, 3)
7

1import math
2
3def poisson_probability(lambda_param, k):
4    return (math.exp(-lambda_param) * (lambda_param ** k)) / math.factorial(k)
5
6## ઉદાહરણ ઉપયોગ:
7lambda_param = 2  # સરેરાશ દર
8k = 3  # ઘટનાઓની સંખ્યા
9probability = poisson_probability(lambda_param, k)
10print(f"સંભાવના: {probability:.6f}")
11

1function poissonProbability(lambda, k) {
2  const factorial = (n) => (n === 0 || n === 1) ? 1 : n * factorial(n - 1);
3  return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
4}
5
6// ઉદાહરણ ઉપયોગ:
7const lambda = 2; // સરેરાશ દર
8const k = 3; // ઘટનાઓની સંખ્યા
9const probability = poissonProbability(lambda, k);
10console.log(`સંભાવના: ${probability.toFixed(6)}`);
11

1public class PoissonDistributionCalculator {
2    public static double poissonProbability(double lambda, int k) {
3        return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
4    }
5
6    private static long factorial(int n) {
7        if (n == 0 || n == 1) return 1;
8        return n * factorial(n - 1);
9    }
10
11    public static void main(String[] args) {
12        double lambda = 2.0; // સરેરાશ દર
13        int k = 3; // ઘટનાઓની સંખ્યા
14
15        double probability = poissonProbability(lambda, k);
16        System.out.printf("સંભાવના: %.6f%n", probability);
17    }
18}
19

આ ઉદાહરણો વિવિધ પ્રોગ્રામિંગ ભાષાઓ માટે પોઇસન વિતરણ સંભાવના ગણવા કેવી રીતે દર્શાવે છે. તમે આ ફંક્શન્સને તમારી ચોક્કસ જરૂરિયાતો માટે અનુકૂળ બનાવી શકો છો અથવા મોટા આંકડાશાસ્ત્ર વિશ્લેષણ સિસ્ટમોમાં એકીકૃત કરી શકો છો.

સંખ્યાત્મક ઉદાહરણો

1. કોલ સેન્ટર દૃશ્ય:

   • પ્રતિ કલાક કોલ્સની સરેરાશ ($\lambda$) = 5
   • કલાકમાં ચોક્કસ 3 કોલ્સની સંભાવના ($k$ = 3)
   • સંભાવના ≈ 0.140373

2. ઉત્પાદન ગુણવત્તા નિયંત્રણ:

   • બેચમાં ખામીઓની સરેરાશ ($\lambda$) = 1.5
   • બેચમાં કોઈ ખામી નથી ($k$ = 0)
   • સંભાવના ≈ 0.223130

3. કિરણવિકરણ ક્ષય:

   • પ્રતિ મિનિટ ઉત્સર્જન ($\lambda$) = 3.5
   • મિનિટમાં ચોક્કસ 6 ઉત્સર્જન ($k$ = 6)
   • સંભાવના ≈ 0.116422

4. ટ્રાફિક પ્રવાહ:

   • પ્રતિ મિનિટમાં કાર ($\lambda$) = 2
   • મિનિટમાં ચોક્કસ 5 કાર ($k$ = 5)
   • સંભાવના ≈ 0.036288

કિનારા કેસ અને મર્યાદાઓ

1. મોટા $\lambda$ મૂલ્યો: ખૂબ મોટા $\lambda$ (જેમ કે, $\lambda > 100$) માટે, ગણતરી સંખ્યાત્મક અસંતુલનામાં આવી શકે છે કારણ કે વ્યાખ્યાયિત અને ફેક્ટોરિયલ શરતો. આવા કિસ્સાઓમાં, સામાન્ય વિતરણ જેવી અંદાજો વધુ યોગ્ય હોઈ શકે છે.

2. મોટા $k$ મૂલ્યો: મોટા $\lambda$ માટે સમાન, ખૂબ મોટા $k$ મૂલ્યો સંખ્યાત્મક અસંતુલનાને લાવી શકે છે. ગણક વપરાશકર્તાઓને આ મર્યાદાઓ નજીક પહોંચતી વખતે ચેતવણી આપવી જોઈએ.

3. અપૂર્ણાંક $k$: પોઇસન વિતરણ માત્ર પૂર્ણાંક $k$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે. ગણકને આ મર્યાદાને અમલમાં લાવવું જોઈએ.

4. નાની સંભાવનાઓ: મોટા $\lambda$ અને નાના $k$ (અથવા વિરુદ્ધ) ના સંયોજન માટે, પરિણામે મળતી સંભાવનાઓ અત્યંત નાની હોઈ શકે છે, જે કેટલીક પ્રોગ્રામિંગ ભાષાઓમાં અંડરફ્લો સમસ્યાઓને લાવી શકે છે.

5. સ્વતંત્રતા ધારણા: પોઇસન વિતરણ ધારણા કરે છે કે ઘટનાઓ સ્વતંત્ર રીતે થાય છે. વાસ્તવિક પરિસ્થિતિઓમાં, આ ધારણા હંમેશા સાચી ન હોઈ શકે, જે વિતરણની લાગુ કરવાની મર્યાદા કરે છે.

6. સ્થિર દરની ધારણા: પોઇસન વિતરણ સ્થિર સરેરાશ દરની ધારણા કરે છે. ઘણા વાસ્તવિક પરિસ્થિતિઓમાં, દર સમય અથવા જગ્યા દરમિયાન બદલાઈ શકે છે.

7. સરેરાશ અને વિભાજનનું સમાનતા: પોઇસન વિતરણમાં, સરેરાશ વિભાજનને સમાન છે ($\lambda$). આ ગુણધર્મ, જેને સમાન વિભાજન કહેવામાં આવે છે, કેટલાક વાસ્તવિક ડેટામાં જળવાઈ ન શકે, જે વધુ અથવા ઓછું વિભાજન લાવી શકે છે.

પોઇસન વિતરણ ગણકનો ઉપયોગ કરતી વખતે, આ મર્યાદાઓને ધ્યાનમાં રાખવું મહત્વપૂર્ણ છે અને જો વિતરણ ચોક્કસ પરિસ્થિતિ માટે યોગ્ય છે કે નહીં તે વિચારવું.

સંદર્ભો

1. હાઇટ, ફ્રેંક એ. "પોઇસન વિતરણનો હેન્ડબુક." ન્યૂ યોર્ક: જ્હોન વાઇલી & સન, 1967.
2. કેમરન, એ. કોલિન, અને પ્રવિન ક. ત્રિવેદી. "ગણતરી ડેટાના રેગ્રેશન વિશ્લેષણ." કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટી પ્રેસ, 2013.
3. રોસ, શેલ્ડન એમ. "પ્રોબેબિલિટી મોડલ્સનો પરિચય." અકેડેમિક પ્રેસ, 2014.
4. "પોઇસન વિતરણ." વિકિપીડિયા, વિકિમીડિયા ફાઉન્ડેશન, https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution. 2 ઓગસ્ટ 2024 ને પ્રવેશ કર્યો.
5. જ્હોનસન, નોર્મન એલ., એડ્રિએન ડબલ્યુ. કેમ્પ, અને સેમ્યુઅલ કોટ્ઝ. "યુનિવેરસ ડીસ્ક્રિટ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન્સ." જ્હોન વાઇલી & સન, 2005.