מחשבון התפלגות פואסון

מבוא

התפלגות פואסון היא התפלגות הסתברות דיסקרטית המבטאת את ההסתברות למספר נתון של אירועים המתרחשים בפרק זמן או במרחב קבוע, בהנחה שהאירועים מתרחשים בקצב ממוצע ידוע ועצמאי מהזמן שחלף מאז האירוע האחרון. מחשבון זה מאפשר לך לקבוע את ההסתברות להתרחשות מספר ספציפי של אירועים בהתבסס על קצב ההתרחשות הממוצע.

נוסחה

פונקציית המסה ההסתברותית של התפלגות פואסון ניתנת על ידי:

$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$

איפה:

• $\lambda$ (למדה) הוא מספר האירועים הממוצע לכל פרק זמן
• $k$ הוא מספר האירועים עבורו אנו מחשבים את ההסתברות
• $e$ הוא מספר אוילר (בערך 2.71828)

כיצד להשתמש במחשבון זה

1. הזן את קצב ההתרחשות הממוצע ($\lambda$)
2. הזן את מספר האירועים שמעניין אותך ($k$)
3. לחץ על כפתור "חשב" כדי לקבל את ההסתברות
4. התוצאה תוצג כמספר עשרוני בין 0 ל-1

הערה: גם $\lambda$ וגם $k$ חייבים להיות מספרים לא שליליים. בנוסף, $k$ חייב להיות מספר שלם.

אימות קלט

המחשבון מבצע את הבדיקות הבאות על קלטי המשתמש:

• $\lambda$ חייב להיות מספר חיובי
• $k$ חייב להיות מספר שלם לא שלילי
• עבור ערכים גדולים מאוד של $\lambda$ או $k$, עשויה להופיע אזהרה על חוסר יציבות מספרית פוטנציאלית

אם מזוהים קלטים לא חוקיים, תוצג הודעת שגיאה, והחישוב לא ימשיך עד לתיקון.

חישוב

המחשבון משתמש בנוסחת התפלגות פואסון כדי לחשב את ההסתברות בהתבסס על קלט המשתמש. הנה הסבר שלב אחר שלב על החישוב:

1. חשב $e^{-\lambda}$
2. חשב $\lambda^k$
3. חשב $k!$ (פקטוריאל של $k$)
4. הכפל את התוצאות של שלבים 1 ו-2
5. חלק את התוצאה של שלב 4 בתוצאה של שלב 3

התוצאה הסופית היא ההסתברות לכך שיתקיימו בדיוק $k$ אירועים בפרק זמן שבו מספר האירועים הממוצע הוא $\lambda$.

שימושים

להתפלגות פואסון יש יישומים שונים בתחומים שונים:

1. ניהול מרכזי שירות: חיזוי מספר השיחות שמתקבלות בפרק זמן נתון.

2. בקרת איכות: הערכת מספר הפגמים במכסה ייצור.

3. ביולוגיה: מודל מספר המוטציות ברצף DNA.

4. ביטוח: חישוב ההסתברות למספר מסוים של תביעות בפרק זמן.

5. זרימת תנועה: הערכת מספר הרכבים המגיעים לצומת בפרק זמן נתון.

6. התפרצות רדיו: חיזוי מספר החלקיקים המפוזרים בפרק זמן קבוע.

חלופות

בעוד שהתפלגות פואסון שימושית עבור תרחישים רבים, ישנן התפלגויות אחרות שעשויות להיות מתאימות יותר במצבים מסוימים:

1. התפלגות בינומית: כאשר יש מספר קבוע של ניסיונות עם סיכוי קבוע להצלחה.

2. התפלגות בינומית שלילית: כאשר אתה מעוניין במספר ההצלחות לפני שמתרחשת מספר מסוים של כישלונות.

3. התפלגות אקספוננציאלית: למידול הזמן בין אירועים המפוזרים לפי פואסון.

4. התפלגות גמא: הכללה של ההתפלגות האקספוננציאלית, שימושית למידול זמני המתנה.

היסטוריה

התפלגות פואסון התגלתה על ידי המתמטיקאי הצרפתי סימאון דניס פואסון ופורסמה בשנת 1838 בעבודתו "Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile" (מחקר על ההסתברות של שיפוטים בעניינים פליליים ואזרחיים).

בהתחלה, עבודתו של פואסון לא זכתה להרבה תשומת לב. רק בתחילת המאה ה-20 התפלגות זו זכתה לפופולריות, במיוחד דרך עבודתם של סטטיסטיקאים כמו רונלד פישר, שהשתמשו בה בבעיות ביולוגיות.

היום, התפלגות פואסון בשימוש נרחב בתחומים שונים, מפיזיקה קוונטית ועד מחקר תפעולי, מה שמדגים את הרבגוניות והחשיבות שלה בתיאוריה של הסתברויות ובסטטיסטיקה.

דוגמאות

הנה כמה דוגמאות קוד לחישוב ההסתברות בהתפלגות פואסון:

1' פונקציית VBA של Excel להסתברות התפלגות פואסון
2Function PoissonProbability(lambda As Double, k As Integer) As Double
3    PoissonProbability = (Exp(-lambda) * lambda ^ k) / Application.WorksheetFunction.Fact(k)
4End Function
5' שימוש:
6' =PoissonProbability(2, 3)
7

1import math
2
3def poisson_probability(lambda_param, k):
4    return (math.exp(-lambda_param) * (lambda_param ** k)) / math.factorial(k)
5
6## דוגמת שימוש:
7lambda_param = 2  # קצב ממוצע
8k = 3  # מספר ההתרחשויות
9probability = poisson_probability(lambda_param, k)
10print(f"הסתברות: {probability:.6f}")
11

1function poissonProbability(lambda, k) {
2  const factorial = (n) => (n === 0 || n === 1) ? 1 : n * factorial(n - 1);
3  return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
4}
5
6// דוגמת שימוש:
7const lambda = 2; // קצב ממוצע
8const k = 3; // מספר ההתרחשויות
9const probability = poissonProbability(lambda, k);
10console.log(`הסתברות: ${probability.toFixed(6)}`);
11

1public class PoissonDistributionCalculator {
2    public static double poissonProbability(double lambda, int k) {
3        return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
4    }
5
6    private static long factorial(int n) {
7        if (n == 0 || n == 1) return 1;
8        return n * factorial(n - 1);
9    }
10
11    public static void main(String[] args) {
12        double lambda = 2.0; // קצב ממוצע
13        int k = 3; // מספר ההתרחשויות
14
15        double probability = poissonProbability(lambda, k);
16        System.out.printf("הסתברות: %.6f%n", probability);
17    }
18}
19

דוגמאות אלו מדגימות כיצד לחשב את ההסתברות בהתפלגות פואסון בשפות תכנות שונות. אתה יכול להתאים את הפונקציות הללו לצרכים הספציפיים שלך או לשלב אותן במערכות ניתוח סטטיסטי גדולות יותר.

דוגמאות מספריות

1. תרחיש מרכז שירות:

   • שיחות ממוצעות לשעה ($\lambda$) = 5
   • הסתברות בדיוק 3 שיחות בשעה ($k$ = 3)
   • הסתברות ≈ 0.140373

2. בקרת איכות ייצור:

   • פגמים ממוצעים במכסה ($\lambda$) = 1.5
   • הסתברות שאין פגמים במכסה ($k$ = 0)
   • הסתברות ≈ 0.223130

3. התפרצות רדיו:

   • פליטות ממוצעות בדקה ($\lambda$) = 3.5
   • הסתברות בדיוק 6 פליטות בדקה ($k$ = 6)
   • הסתברות ≈ 0.116422

4. זרימת תנועה:

   • רכבים ממוצעים בדקה ($\lambda$) = 2
   • הסתברות בדיוק 5 רכבים בדקה ($k$ = 5)
   • הסתברות ≈ 0.036288

מקרים קצה ומגבלות

1. ערכי $\lambda$ גדולים: עבור ערכי $\lambda$ גדולים מאוד (למשל, $\lambda > 100$), החישוב עשוי להפוך לבלתי יציב מספרית עקב המונחים האקספוננציאליים והפקטוריאליים. במקרים כאלה, קירובים כמו התפלגות נורמלית עשויים להיות מתאימים יותר.

2. ערכי $k$ גדולים: בדומה לערכי $\lambda$ גדולים, ערכי $k$ מאוד גדולים עשויים להוביל לבעיות יציבות מספרית. המחשבון צריך להזהיר את המשתמשים כאשר הם מתקרבים למגבלות אלה.

3. $k$ לא שלם: התפלגות פואסון מוגדרת רק עבור $k$ שלמים. המחשבון צריך לאכוף מגבלה זו.

4. הסתברויות קטנות: עבור קומבינציות של $\lambda$ גדול ו-$k$ קטן (או ההפך), ההסתברויות המתקבלות עשויות להיות קטנות מאוד, מה שעלול להוביל לבעיות תת-זרימה בכמה שפות תכנות.

5. הנחת עצמאות: התפלגות פואסון מניחה שהאירועים מתרחשים באופן עצמאי. בתרחישים בעולם האמיתי, הנחה זו עשויה לא תמיד להתממש, מה שמגביל את היישום של ההתפלגות.

6. הנחת קצב קבוע: התפלגות פואסון מניחה קצב ממוצע קבוע. בהרבה תרחישים בעולם האמיתי, הקצב עשוי להשתנות עם הזמן או במרחב.

7. שוויון בין ממוצע לשונות: בהתפלגות פואסון, הממוצע שווה לשונות ($\lambda$). תכונה זו, הידועה בשם שוויון פיזור, עשויה לא להתממש בכמה נתונים בעולם האמיתי, מה שמוביל לפיזור יתר או חסר.

כאשר משתמשים במחשבון התפלגות פואסון, חשוב לזכור מגבלות אלו ולשקול אם ההתפלגות מתאימה לתרחיש הספציפי הנדון.

הפניות

1. Haight, Frank A. "Handbook of the Poisson Distribution." New York: John Wiley & Sons, 1967.
2. Cameron, A. Colin, and Pravin K. Trivedi. "Regression Analysis of Count Data." Cambridge University Press, 2013.
3. Ross, Sheldon M. "Introduction to Probability Models." Academic Press, 2014.
4. "Poisson Distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution. Accessed 2 Aug. 2024.
5. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp, and Samuel Kotz. "Univariate Discrete Distributions." John Wiley & Sons, 2005.