Kalkulator Poissonove Distribucije

Uvod

Poissonova distribucija je diskretna vjerojatnosna distribucija koja izražava vjerojatnost da se određeni broj događaja dogodi u fiksnom intervalu vremena ili prostora, pod pretpostavkom da se ti događaji javljaju s poznatom konstantnom srednjom stopom i neovisno o vremenu od posljednjeg događaja. Ovaj kalkulator omogućuje vam da odredite vjerojatnost da se određeni broj događaja dogodi na temelju prosječne stope pojavljivanja.

Formula

Vjerojatnosna funkcija Poissonove distribucije dana je s:

$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$

Gdje:

• $\lambda$ (lambda) je prosječan broj događaja po intervalu
• $k$ je broj događaja za koje izračunavamo vjerojatnost
• $e$ je Eulerov broj (otprilike 2.71828)

Kako koristiti ovaj kalkulator

1. Unesite prosječnu stopu pojavljivanja ($\lambda$)
2. Unesite broj događaja koji vas zanima ($k$)
3. Kliknite na gumb "Izračunaj" da biste dobili vjerojatnost
4. Rezultat će biti prikazan kao decimalni broj između 0 i 1

Napomena: I $\lambda$ i $k$ moraju biti nenegativni brojevi. Osim toga, $k$ mora biti cijeli broj.

Provjera unosa

Kalkulator provodi sljedeće provjere na korisničkim unosima:

• $\lambda$ mora biti pozitivni broj
• $k$ mora biti nenegativni cijeli broj
• Za vrlo velike vrijednosti $\lambda$ ili $k$, može se prikazati upozorenje o potencijalnoj numeričkoj nestabilnosti

Ako se otkriju nevažeći unosi, prikazat će se poruka o pogrešci, a izračun neće nastaviti dok se ne isprave.

Izračun

Kalkulator koristi formulu Poissonove distribucije za izračunavanje vjerojatnosti na temelju korisničkog unosa. Evo korak-po-korak objašnjenja izračuna:

1. Izračunajte $e^{-\lambda}$
2. Izračunajte $\lambda^k$
3. Izračunajte $k!$ (faktorijel od $k$)
4. Pomnožite rezultate koraka 1 i 2
5. Podijelite rezultat koraka 4 s rezultatom koraka 3

Konačni rezultat je vjerojatnost da se točno $k$ događaja dogodi u intervalu gdje je prosječan broj događaja $\lambda$.

Primjene

Poissonova distribucija ima razne primjene u različitim područjima:

1. Upravljanje pozivnim centrima: Predviđanje broja poziva primljenih u određenom vremenskom razdoblju.

2. Kontrola kvalitete: Procjena broja nedostataka u proizvodnoj seriji.

3. Biologija: Modeliranje broja mutacija u DNA sekvenci.

4. Osiguranje: Izračunavanje vjerojatnosti određenog broja zahtjeva u vremenskom razdoblju.

5. Promet: Procjena broja vozila koja dolaze na raskrižje u određenom vremenskom razdoblju.

6. Radioaktivni raspad: Predviđanje broja čestica emitiranih u fiksnom vremenskom intervalu.

Alternativne distribucije

Iako je Poissonova distribucija korisna za mnoge scenarije, postoje i druge distribucije koje bi mogle biti prikladnije u određenim situacijama:

1. Binomna distribucija: Kada postoji fiksni broj pokušaja s konstantnom vjerojatnošću uspjeha.

2. Negativna binomna distribucija: Kada vas zanima broj uspjeha prije nego što se dogodi određeni broj neuspjeha.

3. Eksponencijalna distribucija: Za modeliranje vremena između Poisson-om raspoređenih događaja.

4. Gamma distribucija: Generalizacija eksponencijalne distribucije, korisna za modeliranje vremena čekanja.

Povijest

Poissonovu distribuciju otkrio je francuski matematičar Siméon Denis Poisson i objavio 1838. godine u svom radu "Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile" (Istraživanja o vjerojatnosti presuda u kaznenim i građanskim stvarima).

U početku, Poissonovo djelo nije dobilo mnogo pažnje. Tek je početkom 20. stoljeća distribucija stekla značaj, posebno kroz rad statističara poput Ronalda Fishera, koji ju je primijenio na biološke probleme.

Danas se Poissonova distribucija široko koristi u različitim područjima, od kvantne fizike do operativnog istraživanja, pokazujući svoju svestranost i važnost u teoriji vjerojatnosti i statistici.

Primjeri

Evo nekoliko primjera koda za izračunavanje vjerojatnosti Poissonove distribucije:

1' Excel VBA funkcija za vjerojatnost Poissonove distribucije
2Function PoissonProbability(lambda As Double, k As Integer) As Double
3    PoissonProbability = (Exp(-lambda) * lambda ^ k) / Application.WorksheetFunction.Fact(k)
4End Function
5' Upotreba:
6' =PoissonProbability(2, 3)
7

1import math
2
3def poisson_probability(lambda_param, k):
4    return (math.exp(-lambda_param) * (lambda_param ** k)) / math.factorial(k)
5
6## Primjer upotrebe:
7lambda_param = 2  # prosječna stopa
8k = 3  # broj pojavljivanja
9probability = poisson_probability(lambda_param, k)
10print(f"Vjerojatnost: {probability:.6f}")
11

1function poissonProbability(lambda, k) {
2  const factorial = (n) => (n === 0 || n === 1) ? 1 : n * factorial(n - 1);
3  return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
4}
5
6// Primjer upotrebe:
7const lambda = 2; // prosječna stopa
8const k = 3; // broj pojavljivanja
9const probability = poissonProbability(lambda, k);
10console.log(`Vjerojatnost: ${probability.toFixed(6)}`);
11

1public class PoissonDistributionCalculator {
2    public static double poissonProbability(double lambda, int k) {
3        return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
4    }
5
6    private static long factorial(int n) {
7        if (n == 0 || n == 1) return 1;
8        return n * factorial(n - 1);
9    }
10
11    public static void main(String[] args) {
12        double lambda = 2.0; // prosječna stopa
13        int k = 3; // broj pojavljivanja
14
15        double probability = poissonProbability(lambda, k);
16        System.out.printf("Vjerojatnost: %.6f%n", probability);
17    }
18}
19

Ovi primjeri pokazuju kako izračunati vjerojatnost Poissonove distribucije za različite programske jezike. Možete prilagoditi ove funkcije svojim specifičnim potrebama ili ih integrirati u veće sustave statističke analize.

Numerički primjeri

1. Scenarij pozivnog centra:

   • Prosječan broj poziva po satu ($\lambda$) = 5
   • Vjerojatnost točno 3 poziva u satu ($k$ = 3)
   • Vjerojatnost ≈ 0.140373

2. Kontrola kvalitete u proizvodnji:

   • Prosječan broj nedostataka po seriji ($\lambda$) = 1.5
   • Vjerojatnost bez nedostataka u seriji ($k$ = 0)
   • Vjerojatnost ≈ 0.223130

3. Radioaktivni raspad:

   • Prosječan broj emisija po minuti ($\lambda$) = 3.5
   • Vjerojatnost točno 6 emisija u minuti ($k$ = 6)
   • Vjerojatnost ≈ 0.116422

4. Promet:

   • Prosječan broj automobila po minuti ($\lambda$) = 2
   • Vjerojatnost točno 5 automobila u minuti ($k$ = 5)
   • Vjerojatnost ≈ 0.036288

Rubne situacije i ograničenja

1. Velike vrijednosti $\lambda$: Za vrlo velike $\lambda$ (npr. $\lambda > 100$), izračun može postati numerički nestabilan zbog eksponencijalnih i faktorijelnih članova. U takvim slučajevima, aproksimacije poput normalne distribucije mogu biti prikladnije.

2. Velike vrijednosti $k$: Slično kao kod velikih $\lambda$, vrlo velike vrijednosti $k$ mogu dovesti do numeričke nestabilnosti. Kalkulator bi trebao upozoriti korisnike kada se približavaju ovim granicama.

3. Ne-cijeli $k$: Poissonova distribucija je definirana samo za cijele $k$. Kalkulator bi trebao provoditi ovu ograničenja.

4. Male vjerojatnosti: Za kombinacije velikih $\lambda$ i malih $k$ (ili obrnuto), rezultantne vjerojatnosti mogu biti ekstremno male, što može dovesti do problema podkapaciteta u nekim programskim jezicima.

5. Pretpostavka neovisnosti: Poissonova distribucija pretpostavlja da se događaji javljaju neovisno. U stvarnim scenarijima, ova pretpostavka možda neće uvijek biti točna, što ograničava primjenjivost distribucije.

6. Pretpostavka konstantne stope: Poissonova distribucija pretpostavlja konstantnu prosječnu stopu. U mnogim stvarnim scenarijima, stopa se može mijenjati tijekom vremena ili prostora.

7. Jednakost srednje i varijance: U Poissonovoj distribuciji, srednja vrijednost jednaka je varijanci ($\lambda$). Ova svojstvo, poznato kao ekvidispersion, možda neće biti prisutno u nekim stvarnim podacima, što dovodi do pre- ili pod-dispersion.

Kada koristite kalkulator Poissonove distribucije, važno je imati na umu ova ograničenja i razmotriti je li distribucija prikladna za specifičan scenarij.

Reference

1. Haight, Frank A. "Handbook of the Poisson Distribution." New York: John Wiley & Sons, 1967.
2. Cameron, A. Colin, and Pravin K. Trivedi. "Regression Analysis of Count Data." Cambridge University Press, 2013.
3. Ross, Sheldon M. "Introduction to Probability Models." Academic Press, 2014.
4. "Poisson Distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution. Pristupljeno 2. kolovoza 2024.
5. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp, and Samuel Kotz. "Univariate Discrete Distributions." John Wiley & Sons, 2005.