Poisson-eloszlás számító

Poisson-eloszlás kalkulátor

Bevezetés

A Poisson-eloszlás egy diszkrét valószínűségi eloszlás, amely kifejezi egy adott események számának valószínűségét egy meghatározott idő- vagy térintervallumban, feltételezve, hogy ezek az események egy ismert állandó átlagos arány szerint következnek be, és függetlenek az utolsó esemény óta eltelt időtől. Ez a kalkulátor lehetővé teszi, hogy meghatározza egy adott számú esemény előfordulásának valószínűségét az előfordulás átlagos arányának alapján.

Képlet

A Poisson-eloszlás valószínűségi tömegfüggvénye a következőképpen van megadva:

$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$

Ahol:

• $\lambda$ (lambda) az intervallumon belüli átlagos eseményszám
• $k$ az események száma, amelyre a valószínűséget számítjuk
• $e$ Euler száma (kb. 2.71828)

Hogyan használja ezt a kalkulátort

1. Adja meg az előfordulás átlagos arányát ($\lambda$)
2. Adja meg az érdeklődő események számát ($k$)
3. Kattintson a "Számítás" gombra a valószínűség meghatározásához
4. Az eredmény egy 0 és 1 közötti tizedes formában jelenik meg

Megjegyzés: Mindkét $\lambda$ és $k$ nem negatív számoknak kell lenniük. Ezen kívül $k$-nak egész számnak kell lennie.

Bemeneti érvényesítés

A kalkulátor a következő ellenőrzéseket végzi a felhasználói bemeneteken:

• $\lambda$ pozitív számnak kell lennie
• $k$ nem negatív egész számnak kell lennie
• Nagyon nagy $\lambda$ vagy $k$ értékek esetén figyelmeztetés jelenhet meg a potenciális numerikus instabilitásról

Ha érvénytelen bemeneteket észlelnek, hibaüzenet jelenik meg, és a számítás nem folytatódik, amíg a hibák ki nem javításra kerülnek.

Számítás

A kalkulátor a Poisson-eloszlás képletét használja a valószínűség kiszámításához a felhasználó bemenetei alapján. Íme egy lépésről lépésre magyarázat a számításról:

1. Számítsa ki $e^{-\lambda}$
2. Számítsa ki $\lambda^k$
3. Számítsa ki $k!$ (k faktoriálisa)
4. Szorozza meg az 1. és 2. lépés eredményeit
5. Ossza el a 4. lépés eredményét a 3. lépés eredményével

A végső eredmény a pontosan $k$ esemény előfordulásának valószínűsége egy olyan intervallumban, ahol az események átlagos száma $\lambda$.

Felhasználási esetek

A Poisson-eloszlásnak számos alkalmazása van különböző területeken:

1. Call Center Menedzsment: A beérkező hívások számának előrejelzése egy adott időszakban.

2. Minőségellenőrzés: A gyártási tételben található hibák számának megbecslése.

3. Biológia: A DNS-szekvenciában található mutációk számának modellezése.

4. Biztosítás: A bizonyos számú kárigény valószínűségének kiszámítása egy időszakban.

5. Forgalomáramlás: Az egy kereszteződéshez egy adott idő alatt érkező járművek számának megbecslése.

6. Radioaktív bomlás: Az egy rögzített időintervallumban kibocsátott részecskék számának előrejelzése.

Alternatívák

Bár a Poisson-eloszlás hasznos sok forgatókönyvben, vannak más eloszlások is, amelyek bizonyos helyzetekben megfelelőbbek lehetnek:

1. Binomiális eloszlás: Amikor van egy rögzített számú kísérlet egy állandó siker valószínűséggel.

2. Negatív binomiális eloszlás: Amikor a sikeres események számát szeretnénk tudni egy megadott számú kudarc előtt.

3. Exponenciális eloszlás: A Poisson-eloszlású események közötti idő modellezésére.

4. Gamma eloszlás: Az exponenciális eloszlás általánosítása, amely hasznos a várakozási idők modellezésében.

Történelem

A Poisson-eloszlást Siméon Denis Poisson francia matematikus fedezte fel, és 1838-ban publikálta "Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile" (Kutatás a bűnügyi és polgári ügyekben hozott ítéletek valószínűségéről) című munkájában.

Kezdetben Poisson munkája nem kapott nagy figyelmet. Csak a 20. század elején vált népszerűvé az eloszlás, különösen Ronald Fisher statisztikus munkájának köszönhetően, aki biológiai problémákra alkalmazta.

Ma a Poisson-eloszlás széles körben használatos különböző területeken, a kvantumfizikától az operációkutatásig, bizonyítva a valószínűségelmélet és statisztika fontosságát és sokoldalúságát.

Példák

Íme néhány kód példa a Poisson-eloszlás valószínűségének kiszámítására:

' Excel VBA függvény Poisson-eloszlás valószínűségének kiszámításához
Function PoissonProbability(lambda As Double, k As Integer) As Double
    PoissonProbability = (Exp(-lambda) * lambda ^ k) / Application.WorksheetFunction.Fact(k)
End Function
' Használat:
' =PoissonProbability(2, 3)

import math

def poisson_probability(lambda_param, k):
    return (math.exp(-lambda_param) * (lambda_param ** k)) / math.factorial(k)

## Példa használat:
lambda_param = 2  # átlagos arány
k = 3  # előfordulások száma
probability = poisson_probability(lambda_param, k)
print(f"Valószínűség: {probability:.6f}")

function poissonProbability(lambda, k) {
  const factorial = (n) => (n === 0 || n === 1) ? 1 : n * factorial(n - 1);
  return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
}

// Példa használat:
const lambda = 2; // átlagos arány
const k = 3; // előfordulások száma
const probability = poissonProbability(lambda, k);
console.log(`Valószínűség: ${probability.toFixed(6)}`);

public class PoissonDistributionCalculator {
    public static double poissonProbability(double lambda, int k) {
        return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
    }

    private static long factorial(int n) {
        if (n == 0 || n == 1) return 1;
        return n * factorial(n - 1);
    }

    public static void main(String[] args) {
        double lambda = 2.0; // átlagos arány
        int k = 3; // előfordulások száma

        double probability = poissonProbability(lambda, k);
        System.out.printf("Valószínűség: %.6f%n", probability);
    }
}

Ezek a példák bemutatják, hogyan lehet kiszámítani a Poisson-eloszlás valószínűségét különböző programozási nyelvekben. Ezeket a függvényeket a saját igényeihez igazíthatja, vagy integrálhatja őket nagyobb statisztikai elemző rendszerekbe.

Numerikus példák

1. Call Center Forgatókönyv:

   • Átlagos hívások óránként ($\lambda$) = 5
   • A pontosan 3 hívás valószínűsége egy órában ($k$ = 3)
   • Valószínűség ≈ 0.140373

2. Gyártási Minőségellenőrzés:

   • Átlagos hibák száma egy tételben ($\lambda$) = 1.5
   • A hibák nélküli tétel valószínűsége ($k$ = 0)
   • Valószínűség ≈ 0.223130

3. Radioaktív bomlás:

   • Átlagos kibocsátások száma percenként ($\lambda$) = 3.5
   • A pontosan 6 kibocsátás valószínűsége egy perc alatt ($k$ = 6)
   • Valószínűség ≈ 0.116422

4. Forgalomáramlás:

   • Átlagos autók száma percenként ($\lambda$) = 2
   • A pontosan 5 autó valószínűsége egy perc alatt ($k$ = 5)
   • Valószínűség ≈ 0.036288

Széljegyzetek és korlátozások

1. Nagy $\lambda$ értékek: Nagyon nagy $\lambda$ (pl. $\lambda > 100$) értékek esetén a számítás numerikusan instabil lehet az exponenciális és faktoriális kifejezések miatt. Ilyen esetekben a normal eloszlás közelítése megfelelőbb lehet.

2. Nagy $k$ értékek: Hasonlóan a nagy $\lambda$-hoz, nagyon nagy $k$ értékek is numerikus instabilitást okozhatnak. A kalkulátor figyelmeztetést kell, hogy adjon, amikor ezek a határok közelében járunk.

3. Nem egész $k$: A Poisson-eloszlás csak egész $k$-ra van definiálva. A kalkulátornak érvényesítenie kell ezt a korlátozást.

4. Kis valószínűségek: Nagy $\lambda$ és kis $k$ (vagy fordítva) kombinációk esetén a kapott valószínűségek rendkívül kicsik lehetnek, ami potenciálisan alulcsúszást okozhat egyes programozási nyelvekben.

5. Függetlenségi feltételezés: A Poisson-eloszlás azt feltételezi, hogy az események függetlenül következnek be. A valós világban ez a feltételezés nem mindig áll fenn, ami korlátozza az eloszlás alkalmazhatóságát.

6. Állandó arány feltételezése: A Poisson-eloszlás azt feltételezi, hogy az átlagos arány állandó. Sok valós esetben az arány változhat az idő vagy tér függvényében.

7. A középérték és a variancia egyenlősége: A Poisson-eloszlásban a középérték egyenlő a varianciával ($\lambda$). Ezt az egyenlőséget, amelyet egyenletes eloszlásnak neveznek, nem mindig tartják fenn egyes valós adatokban, ami túltelítettséghez vagy alultelítettséghez vezethet.

A Poisson-eloszlás kalkulátor használatakor fontos figyelembe venni ezeket a korlátozásokat, és mérlegelni, hogy az eloszlás megfelelő-e a konkrét forgatókönyv szempontjából.

Hivatkozások

1. Haight, Frank A. "A Poisson eloszlás kézikönyve." New York: John Wiley & Sons, 1967.
2. Cameron, A. Colin, és Pravin K. Trivedi. "A számadatok regressziós elemzése." Cambridge University Press, 2013.
3. Ross, Sheldon M. "A valószínűségi modellek bevezetése." Academic Press, 2014.
4. "Poisson-eloszlás." Wikipédia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution. Hozzáférés: 2024. augusztus 2.
5. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp, és Samuel Kotz. "Egydimenziós diszkrét eloszlások." John Wiley & Sons, 2005.