Kalkulator Distribusi Poisson

Kalkulator Distribusi Poisson

Pendahuluan

Distribusi Poisson adalah distribusi probabilitas diskrit yang menyatakan probabilitas dari sejumlah kejadian yang terjadi dalam interval waktu atau ruang tertentu, dengan asumsi kejadian ini terjadi dengan laju rata-rata yang konstan dan secara independen dari waktu sejak kejadian terakhir. Kalkulator ini memungkinkan Anda untuk menentukan probabilitas dari sejumlah kejadian tertentu berdasarkan laju rata-rata kejadian.

Rumus

Fungsi massa probabilitas distribusi Poisson diberikan oleh:

$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$

Di mana:

• $\lambda$ (lambda) adalah rata-rata jumlah kejadian per interval
• $k$ adalah jumlah kejadian yang kita hitung probabilitasnya
• $e$ adalah bilangan Euler (sekitar 2.71828)

Cara Menggunakan Kalkulator Ini

1. Masukkan laju rata-rata kejadian ($\lambda$)
2. Masukkan jumlah kejadian yang Anda minati ($k$)
3. Klik tombol "Hitung" untuk mendapatkan probabilitas
4. Hasilnya akan ditampilkan sebagai desimal antara 0 dan 1

Catatan: Baik $\lambda$ maupun $k$ harus merupakan angka non-negatif. Selain itu, $k$ harus berupa bilangan bulat.

Validasi Input

Kalkulator melakukan pemeriksaan berikut pada input pengguna:

• $\lambda$ harus merupakan angka positif
• $k$ harus merupakan bilangan bulat non-negatif
• Untuk nilai $\lambda$ atau $k$ yang sangat besar, peringatan tentang potensi ketidakstabilan numerik mungkin ditampilkan

Jika input yang tidak valid terdeteksi, pesan kesalahan akan ditampilkan, dan perhitungan tidak akan dilanjutkan sampai diperbaiki.

Perhitungan

Kalkulator menggunakan rumus distribusi Poisson untuk menghitung probabilitas berdasarkan input pengguna. Berikut adalah penjelasan langkah demi langkah dari perhitungan:

1. Hitung $e^{-\lambda}$
2. Hitung $\lambda^k$
3. Hitung $k!$ (faktorial dari $k$)
4. Kalikan hasil dari langkah 1 dan 2
5. Bagi hasil dari langkah 4 dengan hasil dari langkah 3

Hasil akhir adalah probabilitas dari tepat $k$ kejadian yang terjadi dalam interval di mana rata-rata jumlah kejadian adalah $\lambda$.

Kasus Penggunaan

Distribusi Poisson memiliki berbagai aplikasi di berbagai bidang:

1. Manajemen Pusat Panggilan: Memprediksi jumlah panggilan yang diterima dalam periode waktu tertentu.

2. Kontrol Kualitas: Mengestimasi jumlah cacat dalam satu batch produksi.

3. Biologi: Memodelkan jumlah mutasi dalam urutan DNA.

4. Asuransi: Menghitung probabilitas dari sejumlah klaim dalam periode waktu.

5. Arus Lalu Lintas: Mengestimasi jumlah kendaraan yang tiba di persimpangan dalam waktu tertentu.

6. Peluruhan Radioaktif: Memprediksi jumlah partikel yang dipancarkan dalam interval waktu tetap.

Alternatif

Meskipun distribusi Poisson berguna untuk banyak skenario, ada distribusi lain yang mungkin lebih sesuai dalam situasi tertentu:

1. Distribusi Binomial: Ketika ada jumlah percobaan tetap dengan probabilitas keberhasilan yang konstan.

2. Distribusi Binomial Negatif: Ketika Anda tertarik pada jumlah keberhasilan sebelum sejumlah kegagalan tertentu terjadi.

3. Distribusi Eksponensial: Untuk memodelkan waktu antara kejadian yang terdistribusi Poisson.

4. Distribusi Gamma: Generalisasi dari distribusi eksponensial, berguna untuk memodelkan waktu tunggu.

Sejarah

Distribusi Poisson ditemukan oleh matematikawan Prancis Siméon Denis Poisson dan diterbitkan pada tahun 1838 dalam karyanya "Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile" (Penelitian tentang Probabilitas Penilaian dalam Masalah Kriminal dan Sipil).

Awalnya, karya Poisson tidak mendapatkan banyak perhatian. Baru pada awal abad ke-20 distribusi ini mendapatkan perhatian, terutama melalui karya statistikawan seperti Ronald Fisher, yang menerapkannya pada masalah biologis.

Saat ini, distribusi Poisson banyak digunakan di berbagai bidang, dari fisika kuantum hingga penelitian operasional, menunjukkan versatilitas dan pentingnya dalam teori probabilitas dan statistik.

Contoh

Berikut adalah beberapa contoh kode untuk menghitung probabilitas distribusi Poisson:

' Fungsi VBA Excel untuk Probabilitas Distribusi Poisson
Function PoissonProbability(lambda As Double, k As Integer) As Double
    PoissonProbability = (Exp(-lambda) * lambda ^ k) / Application.WorksheetFunction.Fact(k)
End Function
' Penggunaan:
' =PoissonProbability(2, 3)

import math

def poisson_probability(lambda_param, k):
    return (math.exp(-lambda_param) * (lambda_param ** k)) / math.factorial(k)

## Contoh penggunaan:
lambda_param = 2  # rata-rata laju
k = 3  # jumlah kejadian
probability = poisson_probability(lambda_param, k)
print(f"Probabilitas: {probability:.6f}")

function poissonProbability(lambda, k) {
  const factorial = (n) => (n === 0 || n === 1) ? 1 : n * factorial(n - 1);
  return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
}

// Contoh penggunaan:
const lambda = 2; // rata-rata laju
const k = 3; // jumlah kejadian
const probability = poissonProbability(lambda, k);
console.log(`Probabilitas: ${probability.toFixed(6)}`);

public class PoissonDistributionCalculator {
    public static double poissonProbability(double lambda, int k) {
        return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
    }

    private static long factorial(int n) {
        if (n == 0 || n == 1) return 1;
        return n * factorial(n - 1);
    }

    public static void main(String[] args) {
        double lambda = 2.0; // rata-rata laju
        int k = 3; // jumlah kejadian

        double probability = poissonProbability(lambda, k);
        System.out.printf("Probabilitas: %.6f%n", probability);
    }
}

Contoh-contoh ini menunjukkan cara menghitung probabilitas distribusi Poisson untuk berbagai bahasa pemrograman. Anda dapat menyesuaikan fungsi-fungsi ini sesuai dengan kebutuhan spesifik Anda atau mengintegrasikannya ke dalam sistem analisis statistik yang lebih besar.

Contoh Numerik

1. Skenario Pusat Panggilan:

   • Rata-rata panggilan per jam ($\lambda$) = 5
   • Probabilitas tepat 3 panggilan dalam satu jam ($k$ = 3)
   • Probabilitas ≈ 0.140373

2. Kontrol Kualitas Manufaktur:

   • Rata-rata cacat per batch ($\lambda$) = 1.5
   • Probabilitas tidak ada cacat dalam satu batch ($k$ = 0)
   • Probabilitas ≈ 0.223130

3. Peluruhan Radioaktif:

   • Rata-rata emisi per menit ($\lambda$) = 3.5
   • Probabilitas tepat 6 emisi dalam satu menit ($k$ = 6)
   • Probabilitas ≈ 0.116422

4. Arus Lalu Lintas:

   • Rata-rata mobil per menit ($\lambda$) = 2
   • Probabilitas tepat 5 mobil dalam satu menit ($k$ = 5)
   • Probabilitas ≈ 0.036288

Kasus Tepi dan Batasan

1. Nilai $\lambda$ yang besar: Untuk nilai $\lambda$ yang sangat besar (misalnya, $\lambda > 100$), perhitungan dapat menjadi tidak stabil secara numerik karena istilah eksponensial dan faktorial. Dalam kasus seperti itu, pendekatan seperti distribusi normal mungkin lebih sesuai.

2. Nilai $k$ yang besar: Mirip dengan nilai $\lambda$ yang besar, nilai $k$ yang sangat besar dapat menyebabkan ketidakstabilan numerik. Kalkulator harus memperingatkan pengguna saat mendekati batas ini.

3. $k$ non-integer: Distribusi Poisson hanya didefinisikan untuk $k$ bilangan bulat. Kalkulator harus menegakkan batasan ini.

4. Probabilitas kecil: Untuk kombinasi nilai $\lambda$ yang besar dan $k$ kecil (atau sebaliknya), probabilitas yang dihasilkan dapat sangat kecil, yang berpotensi menyebabkan masalah underflow dalam beberapa bahasa pemrograman.

5. Asumsi independensi: Distribusi Poisson mengasumsikan bahwa kejadian terjadi secara independen. Dalam skenario dunia nyata, asumsi ini mungkin tidak selalu berlaku, membatasi penerapan distribusi.

6. Asumsi laju konstan: Distribusi Poisson mengasumsikan rata-rata laju yang konstan. Dalam banyak skenario dunia nyata, laju dapat bervariasi dari waktu ke waktu atau ruang.

7. Kesetaraan rata-rata dan varians: Dalam distribusi Poisson, rata-rata sama dengan varians ($\lambda$). Properti ini, yang dikenal sebagai equidispersion, mungkin tidak berlaku dalam beberapa data dunia nyata, yang mengarah pada over- atau under-dispersion.

Saat menggunakan kalkulator distribusi Poisson, penting untuk menjaga batasan ini dalam pikiran dan mempertimbangkan apakah distribusi tersebut sesuai untuk skenario spesifik yang dihadapi.

Referensi

1. Haight, Frank A. "Handbook of the Poisson Distribution." New York: John Wiley & Sons, 1967.
2. Cameron, A. Colin, dan Pravin K. Trivedi. "Regression Analysis of Count Data." Cambridge University Press, 2013.
3. Ross, Sheldon M. "Introduction to Probability Models." Academic Press, 2014.
4. "Distribusi Poisson." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution. Diakses 2 Agustus 2024.
5. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp, dan Samuel Kotz. "Univariate Discrete Distributions." John Wiley & Sons, 2005.