Poissono paskirstymo skaičiuoklė

Poisson paskirstymo skaičiuoklė

Įvadas

Poisson paskirstymas yra diskretinis tikimybės paskirstymas, kuris išreiškia tikimybę, kad tam tikras įvykių skaičius įvyks fiksuotame laiko arba erdvės intervale, manydami, kad šie įvykiai vyksta žinomu pastoviu vidutiniu dažniu ir nepriklausomai nuo laiko, praėjusio nuo paskutinio įvykio. Ši skaičiuoklė leidžia jums nustatyti tikimybę, kad įvyks konkretus įvykių skaičius, remiantis vidutiniu įvykio dažniu.

Formulė

Poisson paskirstymo tikimybės masės funkcija yra pateikta taip:

$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$

Kur:

• $\lambda$ (lambda) yra vidutinis įvykių skaičius per intervalą
• $k$ yra įvykių skaičius, dėl kurio mes skaičiuojame tikimybę
• $e$ yra Eilerio skaičius (apytiksliai 2.71828)

Kaip naudotis šia skaičiuokle

1. Įveskite vidutinį įvykio dažnį ($\lambda$)
2. Įveskite įvykių skaičių, kuris jus domina ($k$)
3. Paspauskite mygtuką "Skaičiuoti", kad gautumėte tikimybę
4. Rezultatas bus rodomas kaip dešimtainis skaičius tarp 0 ir 1

Pastaba: Abu $\lambda$ ir $k$ turi būti neigiami skaičiai. Be to, $k$ turi būti sveikasis skaičius.

Įvesties validacija

Skaičiuoklė atlieka šiuos patikrinimus vartotojo įvestims:

• $\lambda$ turi būti teigiamas skaičius
• $k$ turi būti neigiamas sveikasis skaičius
• Dėl labai didelių $\lambda$ arba $k$ reikšmių gali būti rodomas įspėjimas apie galimą skaitinį nestabilumą

Jei bus aptiktos neteisingos įvestys, bus rodomas klaidos pranešimas, ir skaičiavimas nebus tęsiamas, kol nebus ištaisyta.

Skaičiavimas

Skaičiuoklė naudoja Poisson paskirstymo formulę, kad apskaičiuotų tikimybę, remiantis vartotojo įvestimi. Štai žingsnis po žingsnio paaiškinimas skaičiavimo:

1. Apskaičiuokite $e^{-\lambda}$
2. Apskaičiuokite $\lambda^k$
3. Apskaičiuokite $k!$ (k faktorialas)
4. Padauginkite 1 ir 2 žingsnių rezultatus
5. Padalinkite 4 žingsnio rezultatą iš 3 žingsnio rezultato

Galutinis rezultatas yra tikimybė, kad tiksliai $k$ įvykiai įvyks intervale, kur vidutinis įvykių skaičius yra $\lambda$.

Naudojimo atvejai

Poisson paskirstymas turi įvairių taikymo sričių skirtingose srityse:

1. Skambučių centro valdymas: prognozuojant gautų skambučių skaičių per tam tikrą laikotarpį.

2. Kokybės kontrolė: vertinant defektų skaičių gamybos partijoje.

3. Biologija: modeliuojant mutacijų skaičių DNR sekoje.

4. Draudimas: apskaičiuojant tam tikro skaičiaus pretenzijų tikimybę per laikotarpį.

5. Eismo srautas: vertinant automobilių, atvykstančių į sankryžą per tam tikrą laiką, skaičių.

6. Radioaktyvus skilimas: prognozuojant tam tikrą dalelių skaičių, išmetamą per fiksuotą laikotarpį.

Alternatyvos

Nors Poisson paskirstymas yra naudingas daugeliui scenarijų, yra ir kitų paskirstymų, kurie gali būti tinkamesni tam tikrose situacijose:

1. Binominis paskirstymas: kai yra fiksuotas bandymų skaičius su pastovia sėkmės tikimybe.

2. Neigiamasis binominis paskirstymas: kai jus domina sėkmių skaičius prieš tam tikrą nesėkmių skaičių.

3. Eksponentinis paskirstymas: modeliuojant laiką tarp Poisson paskirstytų įvykių.

4. Gamma paskirstymas: eksponentinio paskirstymo generalizacija, naudinga modeliuojant laukimo laikus.

Istorija

Poisson paskirstymą atrado Prancūzų matematikas Siméon Denis Poisson ir paskelbė 1838 m. savo darbe "Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile" (Tyrimai apie sprendimų tikimybę baudžiamosiose ir civilinėse bylose).

Iš pradžių Poisson darbas nesulaukė daug dėmesio. Tik XX amžiaus pradžioje paskirstymas įgavo populiarumą, ypač statistikos specialistų, tokių kaip Ronald Fisher, kuris taikė jį biologiniams problemoms.

Šiandien Poisson paskirstymas plačiai naudojamas įvairiose srityse, nuo kvantinės fizikos iki operacijų tyrimų, demonstruojant savo universalumą ir svarbą tikimybės teorijoje bei statistikoje.

Pavyzdžiai

Štai keletas kodo pavyzdžių, kaip apskaičiuoti Poisson paskirstymo tikimybę:

' Excel VBA funkcija Poisson paskirstymo tikimybei
Function PoissonProbability(lambda As Double, k As Integer) As Double
    PoissonProbability = (Exp(-lambda) * lambda ^ k) / Application.WorksheetFunction.Fact(k)
End Function
' Naudojimas:
' =PoissonProbability(2, 3)

import math

def poisson_probability(lambda_param, k):
    return (math.exp(-lambda_param) * (lambda_param ** k)) / math.factorial(k)

## Pavyzdžio naudojimas:
lambda_param = 2  # vidutinis dažnis
k = 3  # įvykių skaičius
probability = poisson_probability(lambda_param, k)
print(f"Tikimybė: {probability:.6f}")

function poissonProbability(lambda, k) {
  const factorial = (n) => (n === 0 || n === 1) ? 1 : n * factorial(n - 1);
  return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
}

// Pavyzdžio naudojimas:
const lambda = 2; // vidutinis dažnis
const k = 3; // įvykių skaičius
const probability = poissonProbability(lambda, k);
console.log(`Tikimybė: ${probability.toFixed(6)}`);

public class PoissonDistributionCalculator {
    public static double poissonProbability(double lambda, int k) {
        return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
    }

    private static long factorial(int n) {
        if (n == 0 || n == 1) return 1;
        return n * factorial(n - 1);
    }

    public static void main(String[] args) {
        double lambda = 2.0; // vidutinis dažnis
        int k = 3; // įvykių skaičius

        double probability = poissonProbability(lambda, k);
        System.out.printf("Tikimybė: %.6f%n", probability);
    }
}

Šie pavyzdžiai demonstruoja, kaip apskaičiuoti Poisson paskirstymo tikimybę skirtingose programavimo kalbose. Galite pritaikyti šias funkcijas savo specifiniams poreikiams arba integruoti jas į didesnes statistinės analizės sistemas.

Skaitiniai pavyzdžiai

1. Skambučių centro scenarijus:

   • Vidutinis skambučių skaičius per valandą ($\lambda$) = 5
   • Tikimybė, kad per valandą bus tiksliai 3 skambučiai ($k$ = 3)
   • Tikimybė ≈ 0.140373

2. Gamybos kokybės kontrolė:

   • Vidutinis defektų skaičius partijoje ($\lambda$) = 1.5
   • Tikimybė, kad partijoje nebus defektų ($k$ = 0)
   • Tikimybė ≈ 0.223130

3. Radioaktyvus skilimas:

   • Vidutinis išmetimų skaičius per minutę ($\lambda$) = 3.5
   • Tikimybė, kad per minutę bus tiksliai 6 išmetimai ($k$ = 6)
   • Tikimybė ≈ 0.116422

4. Eismo srautas:

   • Vidutinis automobilių skaičius per minutę ($\lambda$) = 2
   • Tikimybė, kad per minutę bus tiksliai 5 automobiliai ($k$ = 5)
   • Tikimybė ≈ 0.036288

Kraštutiniai atvejai ir apribojimai

1. Didelės $\lambda$ reikšmės: Dėl labai didelių $\lambda$ (pvz., $\lambda > 100$) skaičiavimas gali tapti skaitiniu nestabilus dėl eksponentinių ir faktorialinių terminų. Tokiais atvejais gali būti tinkamesni apytiksliai metodai, tokie kaip normalus paskirstymas.

2. Didelės $k$ reikšmės: Panašiai, labai didelės $k$ reikšmės gali sukelti skaitinį nestabilumą. Skaičiuoklė turėtų įspėti vartotojus, kai artėjama prie šių ribų.

3. Ne sveikieji $k$: Poisson paskirstymas yra apibrėžtas tik sveikiesiems $k$. Skaičiuoklė turėtų užtikrinti šį apribojimą.

4. Mažos tikimybės: Dėl didelių $\lambda$ ir mažų $k$ (arba atvirkščiai) kombinacijų gautos tikimybės gali būti nepaprastai mažos, galinčios sukelti neigiamą skaičiavimą kai kuriose programavimo kalbose.

5. Nepriklausomumo prielaida: Poisson paskirstymas pripažįsta, kad įvykiai vyksta nepriklausomai. Realiame pasaulyje ši prielaida gali ne visada galiot, ribojant paskirstymo taikymą.

6. Pastovaus dažnio prielaida: Poisson paskirstymas pripažįsta, kad vidutinis dažnis yra pastovus. Daugelyje realių scenarijų dažnis gali kisti laikui bėgant arba erdvėje.

7. Vidurkio ir dispersijos lygybė: Poisson paskirstyme vidurkis yra lygus dispersijai ($\lambda$). Ši savybė, žinoma kaip ekvidispersija, gali nepasireikšti kai kuriuose realiuose duomenyse, sukeldama per- arba po-dispersiją.

Naudojantis Poisson paskirstymo skaičiuokle, svarbu atsižvelgti į šiuos apribojimus ir apsvarstyti, ar paskirstymas yra tinkamas konkrečiam scenarijui.

Šaltiniai

1. Haight, Frank A. "Poisson paskirstymo vadovas." Niujorkas: John Wiley & Sons, 1967.
2. Cameron, A. Colin, ir Pravin K. Trivedi. "Skaičių duomenų regresijos analizė." Cambridge University Press, 2013.
3. Ross, Sheldon M. "Įvadas į tikimybės modelius." Academic Press, 2014.
4. "Poisson paskirstymas." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution. Prieiga 2024 m. rugpjūčio 2 d.
5. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp, ir Samuel Kotz. "Vieno kintamojo diskretiniai paskirstymai." John Wiley & Sons, 2005.