Poasonu sadalījuma kalkulators

Poisson sadalījuma kalkulators

Ievads

Poisson sadalījums ir diskreta varbūtību sadalījums, kas izsaka varbūtību noteiktam notikumu skaitam, kas notiek fiksētā laika vai telpas intervālā, pieņemot, ka šie notikumi notiek ar zināmu konstantu vidējo ātrumu un neatkarīgi no laika, kas pagājis kopš pēdējā notikuma. Šis kalkulators ļauj jums noteikt varbūtību, ka noteikts notikumu skaits notiks, pamatojoties uz vidējo notikumu skaitu.

Formula

Poisson sadalījuma varbūtību masas funkcija ir dota ar:

$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$

Kur:

• $\lambda$ (lambda) ir vidējais notikumu skaits intervālā
• $k$ ir notikumu skaits, par kuru mēs aprēķinām varbūtību
• $e$ ir Eilera skaitlis (aptuveni 2.71828)

Kā izmantot šo kalkulatoru

1. Ievadiet vidējo notikumu ātrumu ($\lambda$)
2. Ievadiet notikumu skaitu, kas jūs interesē ($k$)
3. Noklikšķiniet uz pogas "Aprēķināt", lai iegūtu varbūtību
4. Rezultāts tiks parādīts kā decimāldaļa starp 0 un 1

Piezīme: Gan $\lambda$, gan $k$ ir jābūt nenegatīviem skaitļiem. Turklāt $k$ ir jābūt veselam skaitlim.

Ievades validācija

Kalkulators veic šādas pārbaudes uz lietotāju ievadēm:

• $\lambda$ ir jābūt pozitīvam skaitlim
• $k$ ir jābūt nenegatīvam veselam skaitlim
• Ļoti lielu $\lambda$ vai $k$ vērtību gadījumā var tikt parādīta brīdinājuma ziņa par potenciālu skaitlisko nestabilitāti

Ja tiek konstatētas nederīgas ievades, tiks parādīta kļūdas ziņa, un aprēķins netiks turpināts, līdz tas tiks labots.

Aprēķins

Kalkulators izmanto Poisson sadalījuma formulu, lai aprēķinātu varbūtību, pamatojoties uz lietotāja ievadi. Šeit ir soli pa solim paskaidrojums aprēķinam:

1. Aprēķiniet $e^{-\lambda}$
2. Aprēķiniet $\lambda^k$
3. Aprēķiniet $k!$ (k faktoriāls)
4. Reiziniet 1. un 2. soļa rezultātus
5. Daliet 4. soļa rezultātu ar 3. soļa rezultātu

Galīgais rezultāts ir varbūtība, ka tieši $k$ notikumi notiks intervālā, kur vidējais notikumu skaits ir $\lambda$.

Lietošanas gadījumi

Poisson sadalījumam ir dažādas lietojumprogrammas dažādās jomās:

1. Zvanu centra vadība: prognozējot saņemto zvanu skaitu noteiktā laika periodā.

2. Kvalitātes kontrole: novērtējot defektu skaitu ražošanas partijā.

3. Bioloģija: modelējot mutāciju skaitu DNS secībā.

4. Apdrošināšana: aprēķinot noteikta skaita prasību varbūtību laika periodā.

5. Satiksmes plūsma: novērtējot automašīnu skaitu, kas ierodas pie krustojuma noteiktā laikā.

6. Radioaktīvā sabrukšana: prognozējot daļiņu skaitu, kas izdalās fiksētā laika intervālā.

Alternatīvas

Lai gan Poisson sadalījums ir noderīgs daudzās situācijās, ir arī citi sadalījumi, kas varētu būt piemērotāki noteiktos gadījumos:

1. Binomiālais sadalījums: kad ir fiksēts izmēģinājumu skaits ar konstantu panākumu varbūtību.

2. Negatīvais binomiālais sadalījums: kad jūs interesē panākumu skaits pirms noteikta neveiksmju skaita.

3. Eksponenciālais sadalījums: notikumu starplaiku modelēšanai, kas sadalīti pēc Poisson.

4. Gamma sadalījums: eksponenciālā sadalījuma vispārinājums, noderīgs gaidīšanas laiku modelēšanai.

Vēsture

Poisson sadalījumu atklāja franču matemātiķis Siméon Denis Poisson un publicēja 1838. gadā savā darbā "Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile" (Pētījumi par varbūtību spriedumu jomā krimināllietās un civillietās).

Sākotnēji Poisson darbs nesaņēma lielu uzmanību. Tikai 20. gadsimta sākumā sadalījums ieguva nozīmību, īpaši statistiķu, piemēram, Ronalda Fišera, darbā, kurš to pielietoja bioloģiskajās problēmās.

Mūsdienās Poisson sadalījums tiek plaši izmantots dažādās jomās, sākot no kvantu fizikas līdz operāciju pētniecībai, demonstrējot tā daudzpusību un nozīmīgumu varbūtību teorijā un statistikā.

Piemēri

Šeit ir daži kodu piemēri, lai aprēķinātu Poisson sadalījuma varbūtību:

' Excel VBA funkcija Poisson sadalījuma varbūtības aprēķināšanai
Function PoissonProbability(lambda As Double, k As Integer) As Double
    PoissonProbability = (Exp(-lambda) * lambda ^ k) / Application.WorksheetFunction.Fact(k)
End Function
' Lietošana:
' =PoissonProbability(2, 3)

import math

def poisson_probability(lambda_param, k):
    return (math.exp(-lambda_param) * (lambda_param ** k)) / math.factorial(k)

## Piemēra izmantošana:
lambda_param = 2  # vidējais ātrums
k = 3  # notikumu skaits
probability = poisson_probability(lambda_param, k)
print(f"Varbūtība: {probability:.6f}")

function poissonProbability(lambda, k) {
  const factorial = (n) => (n === 0 || n === 1) ? 1 : n * factorial(n - 1);
  return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
}

// Piemēra izmantošana:
const lambda = 2; // vidējais ātrums
const k = 3; // notikumu skaits
const probability = poissonProbability(lambda, k);
console.log(`Varbūtība: ${probability.toFixed(6)}`);

public class PoissonDistributionCalculator {
    public static double poissonProbability(double lambda, int k) {
        return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
    }

    private static long factorial(int n) {
        if (n == 0 || n == 1) return 1;
        return n * factorial(n - 1);
    }

    public static void main(String[] args) {
        double lambda = 2.0; // vidējais ātrums
        int k = 3; // notikumu skaits

        double probability = poissonProbability(lambda, k);
        System.out.printf("Varbūtība: %.6f%n", probability);
    }
}

Šie piemēri demonstrē, kā aprēķināt Poisson sadalījuma varbūtību dažādās programmēšanas valodās. Jūs varat pielāgot šīs funkcijas savām specifiskajām vajadzībām vai integrēt tās lielākās statistiskās analīzes sistēmās.

Skaitliskie piemēri

1. Zvanu centra scenārijs:

   • Vidējais zvanu skaits stundā ($\lambda$) = 5
   • Varbūtība, ka stundā būs tieši 3 zvani ($k$ = 3)
   • Varbūtība ≈ 0.140373

2. Ražošanas kvalitātes kontrole:

   • Vidējais defektu skaits partijā ($\lambda$) = 1.5
   • Varbūtība, ka partijā nebūs defektu ($k$ = 0)
   • Varbūtība ≈ 0.223130

3. Radioaktīvā sabrukšana:

   • Vidējais izdalīto daļiņu skaits minūtē ($\lambda$) = 3.5
   • Varbūtība, ka minūtē būs tieši 6 izdalījumi ($k$ = 6)
   • Varbūtība ≈ 0.116422

4. Satiksmes plūsma:

   • Vidējais automašīnu skaits minūtē ($\lambda$) = 2
   • Varbūtība, ka minūtē būs tieši 5 automašīnas ($k$ = 5)
   • Varbūtība ≈ 0.036288

Malu gadījumi un ierobežojumi

1. Lielas $\lambda$ vērtības: Ļoti lielu $\lambda$ (piemēram, $\lambda > 100$) gadījumā aprēķins var kļūt skaitliski nestabils, ņemot vērā eksponenciālos un faktoriālos termiņus. Šādos gadījumos tuvākie aprēķini, piemēram, normālais sadalījums, var būt piemērotāki.

2. Lielas $k$ vērtības: Līdzīgi kā lielām $\lambda$ vērtībām, ļoti lielas $k$ vērtības var izraisīt skaitlisko nestabilitāti. Kalkulatoram vajadzētu brīdināt lietotājus, kad tuvojas šiem ierobežojumiem.

3. Neveseli $k$: Poisson sadalījums ir definēts tikai veselam $k$. Kalkulatoram vajadzētu uzspiest šo ierobežojumu.

4. Mazas varbūtības: Lielu $\lambda$ un mazu $k$ (vai otrādi) kombinācijām var būt ārkārtīgi mazas varbūtības, kas potenciāli var izraisīt zemes plūsmu dažās programmēšanas valodās.

5. Neatkarības pieņēmums: Poisson sadalījums pieņem, ka notikumi notiek neatkarīgi. Reālās pasaules scenārijos šis pieņēmums ne vienmēr var būt spēkā, ierobežojot sadalījuma piemērojamību.

6. Konstantas likmes pieņēmums: Poisson sadalījums pieņem, ka vidējais ātrums ir konstants. Daudzos reālās pasaules scenārijos ātrums var mainīties laika gaitā vai telpā.

7. Vidējā un dispersijas vienādība: Poisson sadalījumā vidējais ir vienāds ar dispersiju ($\lambda$). Šī īpašība, ko sauc par vienādu izkliedi, var nebūt spēkā dažiem reālās pasaules datiem, radot pārmērīgu vai nepietiekamu izkliedi.

Izmantojot Poisson sadalījuma kalkulatoru, ir svarīgi ņemt vērā šos ierobežojumus un apsvērt, vai sadalījums ir piemērots konkrētajai situācijai.

Atsauces

1. Haight, Frank A. "Poisson sadalījuma rokasgrāmata." Ņujorka: John Wiley & Sons, 1967.
2. Cameron, A. Colin, un Pravin K. Trivedi. "Skaitļu datu regresijas analīze." Cambridge University Press, 2013.
3. Ross, Sheldon M. "Ievads varbūtību modeļos." Academic Press, 2014.
4. "Poisson sadalījums." Vikipēdija, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution. Piekļuve 2024. gada 2. augustā.
5. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp, un Samuel Kotz. "Vienkāršas diskretās sadalījumi." John Wiley & Sons, 2005.