Pengira Taburan Poisson

Pengiraian Taburan Poisson

Pengenalan

Taburan Poisson adalah taburan kebarangkalian diskret yang menyatakan kebarangkalian untuk sejumlah acara tertentu berlaku dalam selang waktu atau ruang yang tetap, dengan anggapan bahawa acara ini berlaku dengan kadar purata yang diketahui dan secara bebas dari masa sejak acara terakhir. Kalkulator ini membolehkan anda menentukan kebarangkalian untuk sejumlah acara tertentu berlaku berdasarkan kadar purata kejadian.

Formula

Fungsi jisim kebarangkalian taburan Poisson diberikan oleh:

$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$

Di mana:

• $\lambda$ (lambda) adalah purata bilangan acara bagi setiap selang
• $k$ adalah bilangan acara yang kami kira kebarangkaliannya
• $e$ adalah nombor Euler (kira-kira 2.71828)

Cara Menggunakan Kalkulator Ini

1. Masukkan kadar purata kejadian ($\lambda$)
2. Masukkan bilangan acara yang anda berminat ($k$)
3. Klik butang "Kira" untuk mendapatkan kebarangkalian
4. Hasilnya akan dipaparkan sebagai perpuluhan antara 0 dan 1

Nota: Kedua-dua $\lambda$ dan $k$ mesti merupakan nombor bukan negatif. Selain itu, $k$ mesti merupakan integer.

Pengesahan Input

Kalkulator melakukan pemeriksaan berikut pada input pengguna:

• $\lambda$ mesti merupakan nombor positif
• $k$ mesti merupakan integer bukan negatif
• Untuk nilai $\lambda$ atau $k$ yang sangat besar, amaran tentang kemungkinan ketidakstabilan numerik mungkin dipaparkan

Jika input tidak sah dikesan, mesej ralat akan dipaparkan dan pengiraan tidak akan diteruskan sehingga diperbetulkan.

Pengiraan

Kalkulator menggunakan formula taburan Poisson untuk mengira kebarangkalian berdasarkan input pengguna. Berikut adalah penjelasan langkah demi langkah tentang pengiraan:

1. Kira $e^{-\lambda}$
2. Kira $\lambda^k$
3. Kira $k!$ (faktorial bagi $k$)
4. Kalikan hasil langkah 1 dan 2
5. Bahagikan hasil langkah 4 dengan hasil langkah 3

Hasil akhir adalah kebarangkalian untuk tepat $k$ acara berlaku dalam selang di mana bilangan purata acara adalah $\lambda$.

Kes Penggunaan

Taburan Poisson mempunyai pelbagai aplikasi di pelbagai bidang:

1. Pengurusan Pusat Panggilan: Meramalkan bilangan panggilan yang diterima dalam tempoh masa tertentu.

2. Kawalan Kualiti: Menganggarkan bilangan kecacatan dalam satu batch pengeluaran.

3. Biologi: Memodelkan bilangan mutasi dalam urutan DNA.

4. Insurans: Mengira kebarangkalian untuk sejumlah tuntutan dalam satu tempoh masa.

5. Aliran Trafik: Menganggarkan bilangan kenderaan yang tiba di satu persimpangan dalam tempoh masa tertentu.

6. Peluruhan Radioaktif: Meramalkan bilangan zarah yang dipancarkan dalam selang masa tetap.

Alternatif

Walaupun taburan Poisson berguna untuk banyak senario, terdapat taburan lain yang mungkin lebih sesuai dalam situasi tertentu:

1. Taburan Binomial: Apabila terdapat bilangan percubaan tetap dengan kebarangkalian kejayaan yang tetap.

2. Taburan Negatif Binomial: Apabila anda berminat dengan bilangan kejayaan sebelum bilangan kegagalan yang ditentukan berlaku.

3. Taburan Eksponen: Untuk memodelkan masa antara acara yang diedarkan Poisson.

4. Taburan Gamma: Generalisasi taburan eksponen, berguna untuk memodelkan masa menunggu.

Sejarah

Taburan Poisson ditemui oleh ahli matematik Perancis Siméon Denis Poisson dan diterbitkan pada tahun 1838 dalam karyanya "Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile" (Penyelidikan tentang Kebarangkalian Penghakiman dalam Hal Jenayah dan Sivil).

Pada mulanya, karya Poisson tidak mendapat perhatian yang banyak. Ia tidak sehingga awal abad ke-20 bahawa taburan ini mendapat perhatian, terutamanya melalui kerja ahli statistik seperti Ronald Fisher, yang menerapkannya kepada masalah biologi.

Hari ini, taburan Poisson digunakan secara meluas di pelbagai bidang, dari fizik kuantum hingga penyelidikan operasi, menunjukkan kepelbagaian dan kepentingannya dalam teori kebarangkalian dan statistik.

Contoh

Berikut adalah beberapa contoh kod untuk mengira kebarangkalian taburan Poisson:

' Fungsi VBA Excel untuk Kebarangkalian Taburan Poisson
Function PoissonProbability(lambda As Double, k As Integer) As Double
    PoissonProbability = (Exp(-lambda) * lambda ^ k) / Application.WorksheetFunction.Fact(k)
End Function
' Penggunaan:
' =PoissonProbability(2, 3)

import math

def poisson_probability(lambda_param, k):
    return (math.exp(-lambda_param) * (lambda_param ** k)) / math.factorial(k)

## Penggunaan contoh:
lambda_param = 2  # kadar purata
k = 3  # bilangan kejadian
probability = poisson_probability(lambda_param, k)
print(f"Kebarangkalian: {probability:.6f}")

function poissonProbability(lambda, k) {
  const factorial = (n) => (n === 0 || n === 1) ? 1 : n * factorial(n - 1);
  return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
}

// Penggunaan contoh:
const lambda = 2; // kadar purata
const k = 3; // bilangan kejadian
const probability = poissonProbability(lambda, k);
console.log(`Kebarangkalian: ${probability.toFixed(6)}`);

public class PoissonDistributionCalculator {
    public static double poissonProbability(double lambda, int k) {
        return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
    }

    private static long factorial(int n) {
        if (n == 0 || n == 1) return 1;
        return n * factorial(n - 1);
    }

    public static void main(String[] args) {
        double lambda = 2.0; // kadar purata
        int k = 3; // bilangan kejadian

        double probability = poissonProbability(lambda, k);
        System.out.printf("Kebarangkalian: %.6f%n", probability);
    }
}

Contoh-contoh ini menunjukkan cara mengira kebarangkalian taburan Poisson untuk pelbagai bahasa pengaturcaraan. Anda boleh menyesuaikan fungsi-fungsi ini untuk keperluan khusus anda atau mengintegrasikannya ke dalam sistem analisis statistik yang lebih besar.

Contoh Numerik

1. Senario Pusat Panggilan:

   • Purata panggilan setiap jam ($\lambda$) = 5
   • Kebarangkalian untuk tepat 3 panggilan dalam satu jam ($k$ = 3)
   • Kebarangkalian ≈ 0.140373

2. Kawalan Kualiti Pembuatan:

   • Purata kecacatan setiap batch ($\lambda$) = 1.5
   • Kebarangkalian untuk tiada kecacatan dalam satu batch ($k$ = 0)
   • Kebarangkalian ≈ 0.223130

3. Peluruhan Radioaktif:

   • Purata emisi setiap minit ($\lambda$) = 3.5
   • Kebarangkalian untuk tepat 6 emisi dalam satu minit ($k$ = 6)
   • Kebarangkalian ≈ 0.116422

4. Aliran Trafik:

   • Purata kereta setiap minit ($\lambda$) = 2
   • Kebarangkalian untuk tepat 5 kereta dalam satu minit ($k$ = 5)
   • Kebarangkalian ≈ 0.036288

Kes Tepi dan Had

1. Nilai $\lambda$ yang besar: Untuk nilai $\lambda$ yang sangat besar (contohnya, $\lambda > 100$), pengiraan mungkin menjadi tidak stabil secara numerik disebabkan oleh terma eksponen dan faktorial. Dalam kes-kes tersebut, pendekatan seperti taburan normal mungkin lebih sesuai.

2. Nilai $k$ yang besar: Serupa dengan nilai $\lambda$ yang besar, nilai $k$ yang sangat besar boleh menyebabkan ketidakstabilan numerik. Kalkulator harus memberi amaran kepada pengguna apabila menghampiri had ini.

3. $k$ bukan integer: Taburan Poisson hanya ditakrifkan untuk $k$ integer. Kalkulator harus menguatkuasakan sekatan ini.

4. Kebarangkalian kecil: Untuk kombinasi nilai $\lambda$ yang besar dan $k$ kecil (atau sebaliknya), kebarangkalian yang dihasilkan boleh menjadi sangat kecil, yang berpotensi menyebabkan isu underflow dalam beberapa bahasa pengaturcaraan.

5. Anggapan kebebasan: Taburan Poisson menganggap acara berlaku secara bebas. Dalam senario dunia nyata, anggapan ini mungkin tidak selalu berlaku, yang menghadkan kesesuaian taburan ini.

6. Anggapan kadar tetap: Taburan Poisson menganggap kadar purata adalah tetap. Dalam banyak senario dunia nyata, kadar mungkin berbeza dari semasa ke semasa atau ruang.

7. Kesamaan purata dan varians: Dalam taburan Poisson, purata sama dengan varians ($\lambda$). Harta ini, yang dikenali sebagai kesetaraan, mungkin tidak berlaku dalam beberapa data dunia nyata, yang membawa kepada over- atau under-dispersion.

Apabila menggunakan kalkulator taburan Poisson, adalah penting untuk mengambil kira had-had ini dan mempertimbangkan sama ada taburan ini sesuai untuk senario tertentu yang dihadapi.

Rujukan

1. Haight, Frank A. "Handbook of the Poisson Distribution." New York: John Wiley & Sons, 1967.
2. Cameron, A. Colin, dan Pravin K. Trivedi. "Regression Analysis of Count Data." Cambridge University Press, 2013.
3. Ross, Sheldon M. "Introduction to Probability Models." Academic Press, 2014.
4. "Poisson Distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution. Diakses pada 2 Ogos 2024.
5. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp, dan Samuel Kotz. "Univariate Discrete Distributions." John Wiley & Sons, 2005.