Poissonverdeling Calculator

Poissonverdeling Calculator

Inleiding

De Poissonverdeling is een discrete kansverdeling die de kans uitdrukt dat een bepaald aantal gebeurtenissen optreedt in een vast tijdsinterval of ruimte, ervan uitgaande dat deze gebeurtenissen optreden met een bekende constante gemiddelde snelheid en onafhankelijk van de tijd sinds de laatste gebeurtenis. Deze calculator stelt u in staat om de kans te bepalen op een specifiek aantal gebeurtenissen op basis van de gemiddelde frequentie van optreden.

Formule

De kansmassafunctie van de Poissonverdeling wordt gegeven door:

$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$

Waarbij:

• $\lambda$ (lambda) het gemiddelde aantal gebeurtenissen per interval is
• $k$ het aantal gebeurtenissen is waarvoor we de kans berekenen
• $e$ het getal van Euler is (ongeveer 2.71828)

Hoe deze calculator te gebruiken

1. Voer de gemiddelde frequentie van optreden in ($\lambda$)
2. Voer het aantal gebeurtenissen in dat u interesseert ($k$)
3. Klik op de knop "Bereken" om de kans te verkrijgen
4. Het resultaat wordt weergegeven als een decimaal tussen 0 en 1

Opmerking: Zowel $\lambda$ als $k$ moeten niet-negatieve getallen zijn. Daarnaast moet $k$ een geheel getal zijn.

Invoer Validatie

De calculator voert de volgende controles uit op gebruikersinvoer:

• $\lambda$ moet een positief getal zijn
• $k$ moet een niet-negatief geheel getal zijn
• Voor zeer grote waarden van $\lambda$ of $k$ kan een waarschuwing over mogelijke numerieke instabiliteit worden weergegeven

Als ongeldige invoer wordt gedetecteerd, wordt er een foutmelding weergegeven en zal de berekening niet doorgaan totdat deze is gecorrigeerd.

Berekening

De calculator gebruikt de formule van de Poissonverdeling om de kans te berekenen op basis van de invoer van de gebruiker. Hier is een stapsgewijze uitleg van de berekening:

1. Bereken $e^{-\lambda}$
2. Bereken $\lambda^k$
3. Bereken $k!$ (factorieel van $k$)
4. Vermenigvuldig de resultaten van stap 1 en 2
5. Deel het resultaat van stap 4 door het resultaat van stap 3

Het uiteindelijke resultaat is de kans dat precies $k$ gebeurtenissen optreden in een interval waarin het gemiddelde aantal gebeurtenissen $\lambda$ is.

Toepassingen

De Poissonverdeling heeft verschillende toepassingen in verschillende vakgebieden:

1. Callcenterbeheer: Voorspellen van het aantal ontvangen oproepen in een bepaalde periode.

2. Kwaliteitscontrole: Schatting van het aantal defecten in een productiepartij.

3. Biologie: Modelleren van het aantal mutaties in een DNA-sequentie.

4. Verzekeringen: Berekenen van de kans op een bepaald aantal claims in een periode.

5. Verkeersstroom: Schatting van het aantal voertuigen dat op een kruispunt aankomt in een bepaalde tijd.

6. Radioactief verval: Voorspellen van het aantal deeltjes dat in een vast tijdsinterval wordt uitgezonden.

Alternatieven

Hoewel de Poissonverdeling nuttig is voor veel scenario's, zijn er andere verdelingen die geschikter kunnen zijn in bepaalde situaties:

1. Binomiale Verdeling: Wanneer er een vast aantal proeven is met een constante kans op succes.

2. Negatieve Binomiale Verdeling: Wanneer u geïnteresseerd bent in het aantal successen voordat een bepaald aantal mislukkingen optreedt.

3. Exponentiële Verdeling: Voor het modelleren van de tijd tussen Poisson-verdeelde gebeurtenissen.

4. Gamma Verdeling: Een generalisatie van de exponentiële verdeling, nuttig voor het modelleren van wachttijden.

Geschiedenis

De Poissonverdeling werd ontdekt door de Franse wiskundige Siméon Denis Poisson en gepubliceerd in 1838 in zijn werk "Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile" (Onderzoek naar de Kans van Oordelen in Criminele en Civiele Zaken).

Aanvankelijk kreeg Poisson's werk niet veel aandacht. Pas in het begin van de 20e eeuw kreeg de verdeling bekendheid, vooral door het werk van statistici zoals Ronald Fisher, die het toepaste op biologische problemen.

Tegenwoordig wordt de Poissonverdeling op grote schaal gebruikt in verschillende vakgebieden, van kwantumfysica tot operationeel onderzoek, wat de veelzijdigheid en het belang ervan in de kansrekening en statistiek aantoont.

Voorbeelden

Hier zijn enkele codevoorbeelden om de kans van de Poissonverdeling te berekenen:

' Excel VBA Functie voor Poissonverdeling Kans
Function PoissonProbability(lambda As Double, k As Integer) As Double
    PoissonProbability = (Exp(-lambda) * lambda ^ k) / Application.WorksheetFunction.Fact(k)
End Function
' Gebruik:
' =PoissonProbability(2, 3)

import math

def poisson_probability(lambda_param, k):
    return (math.exp(-lambda_param) * (lambda_param ** k)) / math.factorial(k)

## Voorbeeld gebruik:
lambda_param = 2  # gemiddelde frequentie
k = 3  # aantal gebeurtenissen
probability = poisson_probability(lambda_param, k)
print(f"Kans: {probability:.6f}")

function poissonProbability(lambda, k) {
  const factorial = (n) => (n === 0 || n === 1) ? 1 : n * factorial(n - 1);
  return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
}

// Voorbeeld gebruik:
const lambda = 2; // gemiddelde frequentie
const k = 3; // aantal gebeurtenissen
const probability = poissonProbability(lambda, k);
console.log(`Kans: ${probability.toFixed(6)}`);

public class PoissonDistributionCalculator {
    public static double poissonProbability(double lambda, int k) {
        return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
    }

    private static long factorial(int n) {
        if (n == 0 || n == 1) return 1;
        return n * factorial(n - 1);
    }

    public static void main(String[] args) {
        double lambda = 2.0; // gemiddelde frequentie
        int k = 3; // aantal gebeurtenissen

        double probability = poissonProbability(lambda, k);
        System.out.printf("Kans: %.6f%n", probability);
    }
}

Deze voorbeelden demonstreren hoe de kans van de Poissonverdeling voor verschillende programmeertalen kan worden berekend. U kunt deze functies aanpassen aan uw specifieke behoeften of integreren in grotere statistische analysesystemen.

Numerieke Voorbeelden

1. Callcenter Scenario:

   • Gemiddeld aantal oproepen per uur ($\lambda$) = 5
   • Kans op precies 3 oproepen in een uur ($k$ = 3)
   • Kans ≈ 0.140373

2. Kwaliteitscontrole in de productie:

   • Gemiddeld aantal defecten per partij ($\lambda$) = 1.5
   • Kans op geen defecten in een partij ($k$ = 0)
   • Kans ≈ 0.223130

3. Radioactief verval:

   • Gemiddeld aantal emissies per minuut ($\lambda$) = 3.5
   • Kans op precies 6 emissies in een minuut ($k$ = 6)
   • Kans ≈ 0.116422

4. Verkeersstroom:

   • Gemiddeld aantal auto's per minuut ($\lambda$) = 2
   • Kans op precies 5 auto's in een minuut ($k$ = 5)
   • Kans ≈ 0.036288

Randgevallen en Beperkingen

1. Grote $\lambda$ waarden: Voor zeer grote $\lambda$ (bijv. $\lambda > 100$) kan de berekening numeriek onbetrouwbaar worden door de exponentiële en factoriële termen. In dergelijke gevallen kunnen benaderingen zoals de normale verdeling geschikter zijn.

2. Grote $k$ waarden: Evenals bij grote $\lambda$ kunnen zeer grote $k$ waarden leiden tot numerieke instabiliteit. De calculator moet gebruikers waarschuwen wanneer deze limieten worden benaderd.

3. Niet-geheel $k$: De Poissonverdeling is alleen gedefinieerd voor gehele $k$. De calculator moet deze beperking afdwingen.

4. Kleine kansen: Voor combinaties van grote $\lambda$ en kleine $k$ (of omgekeerd) kunnen de resulterende kansen extreem klein zijn, wat mogelijk leidt tot onderloopproblemen in sommige programmeertalen.

5. Onafhankelijkheidsveronderstelling: De Poissonverdeling gaat ervan uit dat gebeurtenissen onafhankelijk optreden. In de echte wereld kan deze aanname niet altijd geldig zijn, wat de toepasbaarheid van de verdeling beperkt.

6. Constante snelheid veronderstelling: De Poissonverdeling gaat uit van een constante gemiddelde snelheid. In veel echte scenario's kan de snelheid in de loop van de tijd of ruimte variëren.

7. Gelijkheid van gemiddelde en variantie: In een Poissonverdeling is het gemiddelde gelijk aan de variantie ($\lambda$). Deze eigenschap, bekend als gelijkdispensatie, geldt mogelijk niet voor sommige echte gegevens, wat kan leiden tot over- of onderdispensatie.

Bij het gebruik van de Poissonverdeling calculator is het belangrijk om deze beperkingen in gedachten te houden en te overwegen of de verdeling geschikt is voor het specifieke scenario.

Referenties

1. Haight, Frank A. "Handbook of the Poisson Distribution." New York: John Wiley & Sons, 1967.
2. Cameron, A. Colin, en Pravin K. Trivedi. "Regression Analysis of Count Data." Cambridge University Press, 2013.
3. Ross, Sheldon M. "Introduction to Probability Models." Academic Press, 2014.
4. "Poisson Distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution. Toegang op 2 aug. 2024.
5. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp, en Samuel Kotz. "Univariate Discrete Distributions." John Wiley & Sons, 2005.