Kalkulator rozkładu Poissona

Kalkulator Rozkładu Poissona

Wprowadzenie

Rozkład Poissona to dyskretny rozkład prawdopodobieństwa, który wyraża prawdopodobieństwo wystąpienia danej liczby zdarzeń w ustalonym przedziale czasu lub przestrzeni, zakładając, że zdarzenia te występują z określoną stałą średnią częstością i niezależnie od czasu, który upłynął od ostatniego zdarzenia. Ten kalkulator pozwala określić prawdopodobieństwo wystąpienia konkretnej liczby zdarzeń na podstawie średniej częstości występowania.

Wzór

Funkcja masy prawdopodobieństwa rozkładu Poissona jest podana przez:

$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$

Gdzie:

• $\lambda$ (lambda) to średnia liczba zdarzeń na przedział
• $k$ to liczba zdarzeń, dla której obliczamy prawdopodobieństwo
• $e$ to liczba Eulera (około 2.71828)

Jak korzystać z tego kalkulatora

1. Wprowadź średnią częstość występowania ($\lambda$)
2. Wprowadź liczbę zdarzeń, która Cię interesuje ($k$)
3. Kliknij przycisk "Oblicz", aby uzyskać prawdopodobieństwo
4. Wynik zostanie wyświetlony jako liczba dziesiętna między 0 a 1

Uwaga: Zarówno $\lambda$, jak i $k$ muszą być liczbami nieujemnymi. Dodatkowo, $k$ musi być liczbą całkowitą.

Walidacja wejścia

Kalkulator wykonuje następujące kontrole na danych wejściowych użytkownika:

• $\lambda$ musi być liczbą dodatnią
• $k$ musi być liczbą całkowitą nieujemną
• Dla bardzo dużych wartości $\lambda$ lub $k$ może być wyświetlane ostrzeżenie o potencjalnej niestabilności numerycznej

Jeśli wykryte zostaną nieprawidłowe dane wejściowe, wyświetlona zostanie wiadomość o błędzie, a obliczenia nie będą kontynuowane, dopóki nie zostaną poprawione.

Obliczenia

Kalkulator wykorzystuje wzór rozkładu Poissona do obliczenia prawdopodobieństwa na podstawie danych wejściowych użytkownika. Oto krok po kroku wyjaśnienie obliczeń:

1. Oblicz $e^{-\lambda}$
2. Oblicz $\lambda^k$
3. Oblicz $k!$ (silnia z $k$)
4. Pomnóż wyniki kroków 1 i 2
5. Podziel wynik kroku 4 przez wynik kroku 3

Ostateczny wynik to prawdopodobieństwo wystąpienia dokładnie $k$ zdarzeń w przedziale, w którym średnia liczba zdarzeń wynosi $\lambda$.

Przykłady zastosowania

Rozkład Poissona ma różne zastosowania w różnych dziedzinach:

1. Zarządzanie centrum telefonicznym: Przewidywanie liczby odebranych połączeń w danym okresie czasu.

2. Kontrola jakości: Oszacowanie liczby wad w partii produkcyjnej.

3. Biologia: Modelowanie liczby mutacji w sekwencji DNA.

4. Ubezpieczenia: Obliczanie prawdopodobieństwa wystąpienia określonej liczby roszczeń w danym okresie.

5. Ruch drogowy: Oszacowanie liczby pojazdów przybywających na skrzyżowanie w danym czasie.

6. Rozpad radioaktywny: Przewidywanie liczby emitowanych cząstek w ustalonym przedziale czasowym.

Alternatywy

Chociaż rozkład Poissona jest przydatny w wielu scenariuszach, istnieją inne rozkłady, które mogą być bardziej odpowiednie w niektórych sytuacjach:

1. Rozkład dwumianowy: Gdy istnieje ustalona liczba prób z stałym prawdopodobieństwem sukcesu.

2. Rozkład ujemny dwumianowy: Gdy interesuje nas liczba sukcesów przed wystąpieniem określonej liczby niepowodzeń.

3. Rozkład eksponencjalny: Do modelowania czasu między zdarzeniami rozkładu Poissona.

4. Rozkład gamma: Uogólnienie rozkładu eksponencjalnego, przydatne do modelowania czasów oczekiwania.

Historia

Rozkład Poissona został odkryty przez francuskiego matematyka Siméona Denisa Poissona i opublikowany w 1838 roku w jego pracy "Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile" (Badania nad prawdopodobieństwem osądów w sprawach karnych i cywilnych).

Początkowo praca Poissona nie zyskała dużego uznania. Dopiero na początku XX wieku rozkład zyskał na znaczeniu, szczególnie dzięki pracy statystyków, takich jak Ronald Fisher, którzy zastosowali go do problemów biologicznych.

Dziś rozkład Poissona jest szeroko stosowany w różnych dziedzinach, od fizyki kwantowej po badania operacyjne, co świadczy o jego wszechstronności i znaczeniu w teorii prawdopodobieństwa i statystyce.

Przykłady

Oto kilka przykładów kodu do obliczania prawdopodobieństwa rozkładu Poissona:

' Funkcja VBA w Excelu do obliczania prawdopodobieństwa rozkładu Poissona
Function PoissonProbability(lambda As Double, k As Integer) As Double
    PoissonProbability = (Exp(-lambda) * lambda ^ k) / Application.WorksheetFunction.Fact(k)
End Function
' Użycie:
' =PoissonProbability(2, 3)

import math

def poisson_probability(lambda_param, k):
    return (math.exp(-lambda_param) * (lambda_param ** k)) / math.factorial(k)

## Przykład użycia:
lambda_param = 2  # średnia częstość
k = 3  # liczba zdarzeń
probability = poisson_probability(lambda_param, k)
print(f"Prawdopodobieństwo: {probability:.6f}")

function poissonProbability(lambda, k) {
  const factorial = (n) => (n === 0 || n === 1) ? 1 : n * factorial(n - 1);
  return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
}

// Przykład użycia:
const lambda = 2; // średnia częstość
const k = 3; // liczba zdarzeń
const probability = poissonProbability(lambda, k);
console.log(`Prawdopodobieństwo: ${probability.toFixed(6)}`);

public class PoissonDistributionCalculator {
    public static double poissonProbability(double lambda, int k) {
        return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
    }

    private static long factorial(int n) {
        if (n == 0 || n == 1) return 1;
        return n * factorial(n - 1);
    }

    public static void main(String[] args) {
        double lambda = 2.0; // średnia częstość
        int k = 3; // liczba zdarzeń

        double probability = poissonProbability(lambda, k);
        System.out.printf("Prawdopodobieństwo: %.6f%n", probability);
    }
}

Te przykłady pokazują, jak obliczyć prawdopodobieństwo rozkładu Poissona w różnych językach programowania. Możesz dostosować te funkcje do swoich specyficznych potrzeb lub zintegrować je w większych systemach analizy statystycznej.

Przykłady numeryczne

1. Scenariusz centrum telefonicznego:

   • Średnia liczba połączeń na godzinę ($\lambda$) = 5
   • Prawdopodobieństwo dokładnie 3 połączeń w godzinę ($k$ = 3)
   • Prawdopodobieństwo ≈ 0.140373

2. Kontrola jakości produkcji:

   • Średnia liczba wad na partię ($\lambda$) = 1.5
   • Prawdopodobieństwo braku wad w partii ($k$ = 0)
   • Prawdopodobieństwo ≈ 0.223130

3. Rozpad radioaktywny:

   • Średnia liczba emisji na minutę ($\lambda$) = 3.5
   • Prawdopodobieństwo dokładnie 6 emisji w minutę ($k$ = 6)
   • Prawdopodobieństwo ≈ 0.116422

4. Ruch drogowy:

   • Średnia liczba samochodów na minutę ($\lambda$) = 2
   • Prawdopodobieństwo dokładnie 5 samochodów w minutę ($k$ = 5)
   • Prawdopodobieństwo ≈ 0.036288

Przypadki brzegowe i ograniczenia

1. Duże wartości $\lambda$: Dla bardzo dużych wartości $\lambda$ (np. $\lambda > 100$), obliczenia mogą stać się numerycznie niestabilne z powodu składników wykładniczych i silni. W takich przypadkach przybliżenia, takie jak rozkład normalny, mogą być bardziej odpowiednie.

2. Duże wartości $k$: Podobnie jak w przypadku dużych $\lambda$, bardzo duże wartości $k$ mogą prowadzić do niestabilności numerycznej. Kalkulator powinien ostrzegać użytkowników, gdy zbliżają się do tych limitów.

3. Niecałkowite $k$: Rozkład Poissona jest zdefiniowany tylko dla całkowitych $k$. Kalkulator powinien egzekwować ten warunek.

4. Małe prawdopodobieństwa: Dla kombinacji dużych $\lambda$ i małych $k$ (lub odwrotnie), uzyskane prawdopodobieństwa mogą być ekstremalnie małe, co potencjalnie prowadzi do problemów z niedoborem w niektórych językach programowania.

5. Założenie niezależności: Rozkład Poissona zakłada, że zdarzenia występują niezależnie. W rzeczywistych scenariuszach to założenie może nie zawsze być spełnione, co ogranicza zastosowanie rozkładu.

6. Założenie stałej częstości: Rozkład Poissona zakłada stałą średnią częstość. W wielu rzeczywistych scenariuszach częstość ta może się zmieniać w czasie lub przestrzeni.

7. Równość średniej i wariancji: W rozkładzie Poissona średnia równa się wariancji ($\lambda$). Ta właściwość, znana jako równomierność, może nie być spełniona w niektórych rzeczywistych danych, prowadząc do nadmiernej lub niedostatecznej dyspersji.

Kiedy korzystasz z kalkulatora rozkładu Poissona, ważne jest, aby mieć na uwadze te ograniczenia i rozważyć, czy rozkład jest odpowiedni dla konkretnego scenariusza.

Bibliografia

1. Haight, Frank A. "Handbook of the Poisson Distribution." Nowy Jork: John Wiley & Sons, 1967.
2. Cameron, A. Colin, i Pravin K. Trivedi. "Regression Analysis of Count Data." Cambridge University Press, 2013.
3. Ross, Sheldon M. "Introduction to Probability Models." Academic Press, 2014.
4. "Rozkład Poissona." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution. Dostęp 2 sierpnia 2024.
5. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp, i Samuel Kotz. "Univariate Discrete Distributions." John Wiley & Sons, 2005.