Calculadora de Distribuição de Poisson

Introdução

A distribuição de Poisson é uma distribuição de probabilidade discreta que expressa a probabilidade de um determinado número de eventos ocorrer em um intervalo fixo de tempo ou espaço, assumindo que esses eventos ocorrem com uma taxa média constante conhecida e independentemente do tempo desde o último evento. Esta calculadora permite que você determine a probabilidade de um número específico de eventos ocorrendo com base na taxa média de ocorrência.

Fórmula

A função de massa de probabilidade da distribuição de Poisson é dada por:

$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$

Onde:

• $\lambda$ (lambda) é o número médio de eventos por intervalo
• $k$ é o número de eventos para o qual estamos calculando a probabilidade
• $e$ é o número de Euler (aproximadamente 2.71828)

Como Usar Esta Calculadora

1. Insira a taxa média de ocorrência ($\lambda$)
2. Insira o número de eventos que você está interessado ($k$)
3. Clique no botão "Calcular" para obter a probabilidade
4. O resultado será exibido como um decimal entre 0 e 1

Nota: Tanto $\lambda$ quanto $k$ devem ser números não negativos. Além disso, $k$ deve ser um inteiro.

Validação de Entrada

A calculadora realiza as seguintes verificações nas entradas do usuário:

• $\lambda$ deve ser um número positivo
• $k$ deve ser um inteiro não negativo
• Para valores muito grandes de $\lambda$ ou $k$, um aviso sobre a potencial instabilidade numérica pode ser exibido

Se entradas inválidas forem detectadas, uma mensagem de erro será exibida e o cálculo não prosseguirá até que sejam corrigidas.

Cálculo

A calculadora usa a fórmula da distribuição de Poisson para calcular a probabilidade com base na entrada do usuário. Aqui está uma explicação passo a passo do cálculo:

1. Calcule $e^{-\lambda}$
2. Calcule $\lambda^k$
3. Calcule $k!$ (fatorial de $k$)
4. Multiplique os resultados dos passos 1 e 2
5. Divida o resultado do passo 4 pelo resultado do passo 3

O resultado final é a probabilidade de exatamente $k$ eventos ocorrerem em um intervalo onde o número médio de eventos é $\lambda$.

Casos de Uso

A distribuição de Poisson tem várias aplicações em diferentes campos:

1. Gestão de Call Center: Prever o número de chamadas recebidas em um determinado período de tempo.

2. Controle de Qualidade: Estimar o número de defeitos em um lote de produção.

3. Biologia: Modelar o número de mutações em uma sequência de DNA.

4. Seguros: Calcular a probabilidade de um certo número de reclamações em um período de tempo.

5. Fluxo de Tráfego: Estimar o número de veículos chegando a um cruzamento em um determinado tempo.

6. Decaimento Radioativo: Prever o número de partículas emitidas em um intervalo de tempo fixo.

Alternativas

Embora a distribuição de Poisson seja útil para muitos cenários, existem outras distribuições que podem ser mais apropriadas em certas situações:

1. Distribuição Binomial: Quando há um número fixo de tentativas com uma probabilidade constante de sucesso.

2. Distribuição Binomial Negativa: Quando você está interessado no número de sucessos antes que um número especificado de falhas ocorra.

3. Distribuição Exponencial: Para modelar o tempo entre eventos distribuídos de Poisson.

4. Distribuição Gama: Uma generalização da distribuição exponencial, útil para modelar tempos de espera.

História

A distribuição de Poisson foi descoberta pelo matemático francês Siméon Denis Poisson e publicada em 1838 em sua obra "Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile" (Pesquisas sobre a Probabilidade de Julgamentos em Questões Criminais e Civis).

Inicialmente, o trabalho de Poisson não recebeu muita atenção. Não foi até o início do século XX que a distribuição ganhou proeminência, particularmente através do trabalho de estatísticos como Ronald Fisher, que a aplicaram a problemas biológicos.

Hoje, a distribuição de Poisson é amplamente utilizada em vários campos, desde física quântica até pesquisa operacional, demonstrando sua versatilidade e importância na teoria da probabilidade e estatística.

Exemplos

Aqui estão alguns exemplos de código para calcular a probabilidade da distribuição de Poisson:

1' Função VBA do Excel para Probabilidade da Distribuição de Poisson
2Function PoissonProbability(lambda As Double, k As Integer) As Double
3    PoissonProbability = (Exp(-lambda) * lambda ^ k) / Application.WorksheetFunction.Fact(k)
4End Function
5' Uso:
6' =PoissonProbability(2, 3)
7

1import math
2
3def poisson_probability(lambda_param, k):
4    return (math.exp(-lambda_param) * (lambda_param ** k)) / math.factorial(k)
5
6## Exemplo de uso:
7lambda_param = 2  # taxa média
8k = 3  # número de ocorrências
9probability = poisson_probability(lambda_param, k)
10print(f"Probabilidade: {probability:.6f}")
11

1function poissonProbability(lambda, k) {
2  const factorial = (n) => (n === 0 || n === 1) ? 1 : n * factorial(n - 1);
3  return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
4}
5
6// Exemplo de uso:
7const lambda = 2; // taxa média
8const k = 3; // número de ocorrências
9const probability = poissonProbability(lambda, k);
10console.log(`Probabilidade: ${probability.toFixed(6)}`);
11

1public class PoissonDistributionCalculator {
2    public static double poissonProbability(double lambda, int k) {
3        return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
4    }
5
6    private static long factorial(int n) {
7        if (n == 0 || n == 1) return 1;
8        return n * factorial(n - 1);
9    }
10
11    public static void main(String[] args) {
12        double lambda = 2.0; // taxa média
13        int k = 3; // número de ocorrências
14
15        double probability = poissonProbability(lambda, k);
16        System.out.printf("Probabilidade: %.6f%n", probability);
17    }
18}
19

Esses exemplos demonstram como calcular a probabilidade da distribuição de Poisson para diferentes linguagens de programação. Você pode adaptar essas funções para suas necessidades específicas ou integrá-las em sistemas de análise estatística maiores.

Exemplos Numéricos

1. Cenário de Call Center:

   • Chamadas médias por hora ($\lambda$) = 5
   • Probabilidade de exatamente 3 chamadas em uma hora ($k$ = 3)
   • Probabilidade ≈ 0.140373

2. Controle de Qualidade na Fabricação:

   • Defeitos médios por lote ($\lambda$) = 1.5
   • Probabilidade de nenhum defeito em um lote ($k$ = 0)
   • Probabilidade ≈ 0.223130

3. Decaimento Radioativo:

   • Emissões médias por minuto ($\lambda$) = 3.5
   • Probabilidade de exatamente 6 emissões em um minuto ($k$ = 6)
   • Probabilidade ≈ 0.116422

4. Fluxo de Tráfego:

   • Carros médios por minuto ($\lambda$) = 2
   • Probabilidade de exatamente 5 carros em um minuto ($k$ = 5)
   • Probabilidade ≈ 0.036288

Casos Limites e Limitações

1. Valores grandes de $\lambda$: Para valores muito grandes de $\lambda$ (por exemplo, $\lambda > 100$), o cálculo pode se tornar numericamente instável devido aos termos exponenciais e fatoriais. Nesses casos, aproximações como a distribuição normal podem ser mais apropriadas.

2. Valores grandes de $k$: Semelhante a grandes $\lambda$, valores muito grandes de $k$ podem levar a instabilidades numéricas. A calculadora deve avisar os usuários ao se aproximar desses limites.

3. $k$ não inteiro: A distribuição de Poisson é definida apenas para inteiros $k$. A calculadora deve impor essa restrição.

4. Probabilidades pequenas: Para combinações de grandes $\lambda$ e pequenos $k$ (ou vice-versa), as probabilidades resultantes podem ser extremamente pequenas, potencialmente levando a problemas de subfluxo em algumas linguagens de programação.

5. Suposição de independência: A distribuição de Poisson assume que os eventos ocorrem de forma independente. Em cenários do mundo real, essa suposição pode nem sempre ser válida, limitando a aplicabilidade da distribuição.

6. Suposição de taxa constante: A distribuição de Poisson assume uma taxa média constante. Em muitos cenários do mundo real, a taxa pode variar ao longo do tempo ou do espaço.

7. Igualdade de média e variância: Em uma distribuição de Poisson, a média é igual à variância ($\lambda$). Essa propriedade, conhecida como equidispersão, pode não se manter em alguns dados do mundo real, levando a superdispersão ou subdispersão.

Ao usar a calculadora de distribuição de Poisson, é importante ter essas limitações em mente e considerar se a distribuição é apropriada para o cenário específico em questão.

Referências

1. Haight, Frank A. "Handbook of the Poisson Distribution." Nova Iorque: John Wiley & Sons, 1967.
2. Cameron, A. Colin, e Pravin K. Trivedi. "Regression Analysis of Count Data." Cambridge University Press, 2013.
3. Ross, Sheldon M. "Introduction to Probability Models." Academic Press, 2014.
4. "Distribuição de Poisson." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution. Acessado em 2 de ago. de 2024.
5. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp, e Samuel Kotz. "Univariate Discrete Distributions." John Wiley & Sons, 2005.