Calculator de distribuție Poisson

Calculator pentru Distribuția Poisson

Introducere

Distribuția Poisson este o distribuție de probabilitate discretă care exprimă probabilitatea unui număr dat de evenimente care apar într-un interval fix de timp sau spațiu, presupunând că aceste evenimente apar cu o rată medie constantă cunoscută și independent de timpul scurs de la ultimul eveniment. Acest calculator vă permite să determinați probabilitatea unui număr specific de evenimente care apar pe baza ratei medii de apariție.

Formula

Funcția de masă de probabilitate a distribuției Poisson este dată de:

$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$

Unde:

• $\lambda$ (lambda) este numărul mediu de evenimente pe interval
• $k$ este numărul de evenimente pentru care calculăm probabilitatea
• $e$ este numărul lui Euler (aproximativ 2.71828)

Cum să folosiți acest calculator

1. Introduceți rata medie de apariție ($\lambda$)
2. Introduceți numărul de evenimente care vă interesează ($k$)
3. Faceți clic pe butonul "Calculați" pentru a obține probabilitatea
4. Rezultatul va fi afișat ca un număr zecimal între 0 și 1

Notă: Atât $\lambda$, cât și $k$ trebuie să fie numere non-negative. În plus, $k$ trebuie să fie un întreg.

Validarea intrării

Calculatorul efectuează următoarele verificări asupra intrărilor utilizatorului:

• $\lambda$ trebuie să fie un număr pozitiv
• $k$ trebuie să fie un întreg non-negativ
• Pentru valori foarte mari ale lui $\lambda$ sau $k$, poate fi afișată o avertizare cu privire la instabilitatea numerică potențială

Dacă sunt detectate intrări invalide, va fi afișat un mesaj de eroare, iar calculul nu va continua până la corectare.

Calcul

Calculatorul folosește formula distribuției Poisson pentru a calcula probabilitatea pe baza intrărilor utilizatorului. Iată o explicație pas cu pas a calculului:

1. Calculați $e^{-\lambda}$
2. Calculați $\lambda^k$
3. Calculați $k!$ (factorialul lui $k$)
4. Înmulțiți rezultatele pașilor 1 și 2
5. Împărțiți rezultatul pasului 4 la rezultatul pasului 3

Rezultatul final este probabilitatea de a avea exact $k$ evenimente care apar într-un interval în care numărul mediu de evenimente este $\lambda$.

Cazuri de utilizare

Distribuția Poisson are diverse aplicații în diferite domenii:

1. Managementul Centrelor de Apel: Prezicerea numărului de apeluri primite într-o anumită perioadă de timp.

2. Controlul Calității: Estimarea numărului de defecte într-un lot de producție.

3. Biologie: Modelarea numărului de mutații într-o secvență de ADN.

4. Asigurări: Calcularea probabilității unui anumit număr de cereri într-o perioadă de timp.

5. Fluxul de Trafic: Estimarea numărului de vehicule care sosesc la o intersecție într-o anumită perioadă de timp.

6. Decăderea Radioactivă: Prezicerea numărului de particule emise într-un interval de timp fix.

Alternative

Deși distribuția Poisson este utilă pentru multe scenarii, există alte distribuții care ar putea fi mai potrivite în anumite situații:

1. Distribuția Binomială: Când există un număr fix de încercări cu o probabilitate constantă de succes.

2. Distribuția Binomială Negativă: Când sunteți interesat de numărul de succese înainte de a avea un număr specificat de eșecuri.

3. Distribuția Exponențială: Pentru modelarea timpului dintre evenimente distribuite Poisson.

4. Distribuția Gamma: O generalizare a distribuției exponențiale, utilă pentru modelarea timpilor de așteptare.

Istorie

Distribuția Poisson a fost descoperită de matematicianul francez Siméon Denis Poisson și publicată în 1838 în lucrarea sa "Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile" (Cercetări asupra Probabilității Judecăților în Materie Penală și Civilă).

Inițial, lucrarea lui Poisson nu a primit multă atenție. Abia în prima jumătate a secolului XX distribuția a câștigat popularitate, în special prin lucrările statisticienilor precum Ronald Fisher, care a aplicat-o la probleme biologice.

Astăzi, distribuția Poisson este utilizată pe scară largă în diverse domenii, de la fizica cuantică la cercetarea operațională, demonstrând versatilitatea și importanța sa în teoria probabilității și statistică.

Exemple

Iată câteva exemple de cod pentru a calcula probabilitatea distribuției Poisson:

' Funcție Excel VBA pentru Probabilitatea Distribuției Poisson
Function PoissonProbability(lambda As Double, k As Integer) As Double
    PoissonProbability = (Exp(-lambda) * lambda ^ k) / Application.WorksheetFunction.Fact(k)
End Function
' Utilizare:
' =PoissonProbability(2, 3)

import math

def poisson_probability(lambda_param, k):
    return (math.exp(-lambda_param) * (lambda_param ** k)) / math.factorial(k)

## Exemplu de utilizare:
lambda_param = 2  # rata medie
k = 3  # numărul de apariții
probability = poisson_probability(lambda_param, k)
print(f"Probabilitate: {probability:.6f}")

function poissonProbability(lambda, k) {
  const factorial = (n) => (n === 0 || n === 1) ? 1 : n * factorial(n - 1);
  return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
}

// Exemplu de utilizare:
const lambda = 2; // rata medie
const k = 3; // numărul de apariții
const probability = poissonProbability(lambda, k);
console.log(`Probabilitate: ${probability.toFixed(6)}`);

public class PoissonDistributionCalculator {
    public static double poissonProbability(double lambda, int k) {
        return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
    }

    private static long factorial(int n) {
        if (n == 0 || n == 1) return 1;
        return n * factorial(n - 1);
    }

    public static void main(String[] args) {
        double lambda = 2.0; // rata medie
        int k = 3; // numărul de apariții

        double probability = poissonProbability(lambda, k);
        System.out.printf("Probabilitate: %.6f%n", probability);
    }
}

Aceste exemple demonstrează cum să calculați probabilitatea distribuției Poisson pentru diferite limbaje de programare. Puteți adapta aceste funcții la nevoile dumneavoastră specifice sau le puteți integra în sisteme mai mari de analiză statistică.

Exemple numerice

1. Scenariul Centrului de Apel:

   • Apeluri medii pe oră ($\lambda$) = 5
   • Probabilitatea de exact 3 apeluri într-o oră ($k$ = 3)
   • Probabilitate ≈ 0.140373

2. Controlul Calității în Producție:

   • Defecte medii pe lot ($\lambda$) = 1.5
   • Probabilitatea de a nu avea defecte într-un lot ($k$ = 0)
   • Probabilitate ≈ 0.223130

3. Decăderea Radioactivă:

   • Emisii medii pe minut ($\lambda$) = 3.5
   • Probabilitatea de exact 6 emisii într-un minut ($k$ = 6)
   • Probabilitate ≈ 0.116422

4. Fluxul de Trafic:

   • Mașini medii pe minut ($\lambda$) = 2
   • Probabilitatea de exact 5 mașini într-un minut ($k$ = 5)
   • Probabilitate ≈ 0.036288

Cazuri limită și limitări

1. Valori mari ale lui $\lambda$: Pentru valori foarte mari ale lui $\lambda$ (de exemplu, $\lambda > 100$), calculul poate deveni instabil din punct de vedere numeric din cauza termenilor exponențiali și factoriali. În astfel de cazuri, aproximările precum distribuția normală ar putea fi mai potrivite.

2. Valori mari ale lui $k$: Similar cu valorile mari ale lui $\lambda$, valorile foarte mari ale lui $k$ pot duce la instabilitate numerică. Calculatorul ar trebui să avertizeze utilizatorii atunci când se apropie de aceste limite.

3. $k$ non-integer: Distribuția Poisson este definită doar pentru $k$ întreg. Calculatorul ar trebui să impună această constrângere.

4. Probabilități mici: Pentru combinații de $\lambda$ mari și $k$ mici (sau invers), probabilitățile rezultate pot fi extrem de mici, ceea ce poate duce la probleme de subflux în unele limbaje de programare.

5. Presupunerea de independență: Distribuția Poisson presupune că evenimentele apar independent. În scenariile din lumea reală, această presupunere poate să nu se mențină întotdeauna, limitând aplicabilitatea distribuției.

6. Presupunerea ratei constante: Distribuția Poisson presupune o rată medie constantă. În multe scenarii din lumea reală, rata poate varia în timp sau spațiu.

7. Egalitatea mediei și varianței: Într-o distribuție Poisson, media este egală cu varianța ($\lambda$). Această proprietate, cunoscută sub numele de echidistribuție, poate să nu se mențină în unele date din lumea reală, ducând la supradispersiune sau subdispersiune.

Când utilizați calculatorul pentru distribuția Poisson, este important să țineți cont de aceste limitări și să considerați dacă distribuția este adecvată pentru scenariul specific în cauză.

Referințe

1. Haight, Frank A. "Handbook of the Poisson Distribution." New York: John Wiley & Sons, 1967.
2. Cameron, A. Colin, și Pravin K. Trivedi. "Regression Analysis of Count Data." Cambridge University Press, 2013.
3. Ross, Sheldon M. "Introduction to Probability Models." Academic Press, 2014.
4. "Distribuția Poisson." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution. Accesat pe 2 Aug. 2024.
5. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp, și Samuel Kotz. "Univariate Discrete Distributions." John Wiley & Sons, 2005.