Калькулятор распределения Пуассона

Введение

Распределение Пуассона — это дискретное распределение вероятностей, которое выражает вероятность того, что заданное количество событий произойдет в фиксированном интервале времени или пространства, при условии, что эти события происходят с известной постоянной средней частотой и независимо от времени, прошедшего с момента последнего события. Этот калькулятор позволяет вам определить вероятность конкретного количества событий на основе средней частоты их возникновения.

Формула

Функция вероятности распределения Пуассона задается следующим образом:

$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$

Где:

• $\lambda$ (лямбда) — среднее количество событий за интервал
• $k$ — количество событий, для которого мы рассчитываем вероятность
• $e$ — число Эйлера (примерно 2.71828)

Как использовать этот калькулятор

1. Введите среднюю частоту возникновения ($\lambda$)
2. Введите количество интересующих вас событий ($k$)
3. Нажмите кнопку "Рассчитать", чтобы получить вероятность
4. Результат будет отображен в виде десятичного числа от 0 до 1

Примечание: как $\lambda$, так и $k$ должны быть неотрицательными числами. Кроме того, $k$ должно быть целым числом.

Проверка ввода

Калькулятор выполняет следующие проверки на вводимые данные пользователя:

• $\lambda$ должно быть положительным числом
• $k$ должно быть неотрицательным целым числом
• Для очень больших значений $\lambda$ или $k$ может отображаться предупреждение о потенциальной численной нестабильности

Если будут обнаружены недопустимые вводимые данные, будет отображено сообщение об ошибке, и расчет не будет продолжен до их исправления.

Расчет

Калькулятор использует формулу распределения Пуассона для вычисления вероятности на основе ввода пользователя. Вот пошаговое объяснение расчета:

1. Вычислить $e^{-\lambda}$
2. Вычислить $\lambda^k$
3. Вычислить $k!$ (факториал $k$)
4. Умножить результаты шагов 1 и 2
5. Разделить результат шага 4 на результат шага 3

Конечный результат — это вероятность того, что ровно $k$ событий произойдет в интервале, где среднее количество событий равно $\lambda$.

Сферы применения

Распределение Пуассона имеет различные применения в разных областях:

1. Управление колл-центрами: прогнозирование количества звонков, получаемых за определенный период времени.

2. Контроль качества: оценка количества дефектов в производственной партии.

3. Биология: моделирование количества мутаций в последовательности ДНК.

4. Страхование: расчет вероятности определенного количества заявлений за период времени.

5. Дорожное движение: оценка количества автомобилей, прибывающих на перекресток за определенный период.

6. Радиоактивный распад: прогнозирование количества частиц, испускаемых за фиксированный интервал времени.

Альтернативы

Хотя распределение Пуассона полезно для многих сценариев, существуют и другие распределения, которые могут быть более подходящими в определенных ситуациях:

1. Биномиальное распределение: когда есть фиксированное количество испытаний с постоянной вероятностью успеха.

2. Негативное биномиальное распределение: когда вас интересует количество успехов до достижения заданного количества неудач.

3. Экспоненциальное распределение: для моделирования времени между событиями, распределенными по Пуассону.

4. Гамма-распределение: обобщение экспоненциального распределения, полезное для моделирования времени ожидания.

История

Распределение Пуассона было открыто французским математиком Симоном Дени Пуассоном и опубликовано в 1838 году в его работе "Исследования вероятности суждений в уголовных и гражданских делах".

Изначально работа Пуассона не привлекла много внимания. Лишь в начале 20 века распределение стало популярным, особенно благодаря работе статистиков, таких как Рональд Фишер, который применял его к биологическим задачам.

Сегодня распределение Пуассона широко используется в различных областях, от квантовой физики до операционного исследования, демонстрируя свою универсальность и важность в теории вероятностей и статистике.

Примеры

Вот несколько примеров кода для расчета вероятности распределения Пуассона:

1' Функция VBA Excel для вероятности распределения Пуассона
2Function PoissonProbability(lambda As Double, k As Integer) As Double
3    PoissonProbability = (Exp(-lambda) * lambda ^ k) / Application.WorksheetFunction.Fact(k)
4End Function
5' Использование:
6' =PoissonProbability(2, 3)
7

1import math
2
3def poisson_probability(lambda_param, k):
4    return (math.exp(-lambda_param) * (lambda_param ** k)) / math.factorial(k)
5
6## Пример использования:
7lambda_param = 2  # средняя частота
8k = 3  # количество событий
9probability = poisson_probability(lambda_param, k)
10print(f"Вероятность: {probability:.6f}")
11

1function poissonProbability(lambda, k) {
2  const factorial = (n) => (n === 0 || n === 1) ? 1 : n * factorial(n - 1);
3  return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
4}
5
6// Пример использования:
7const lambda = 2; // средняя частота
8const k = 3; // количество событий
9const probability = poissonProbability(lambda, k);
10console.log(`Вероятность: ${probability.toFixed(6)}`);
11

1public class PoissonDistributionCalculator {
2    public static double poissonProbability(double lambda, int k) {
3        return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
4    }
5
6    private static long factorial(int n) {
7        if (n == 0 || n == 1) return 1;
8        return n * factorial(n - 1);
9    }
10
11    public static void main(String[] args) {
12        double lambda = 2.0; // средняя частота
13        int k = 3; // количество событий
14
15        double probability = poissonProbability(lambda, k);
16        System.out.printf("Вероятность: %.6f%n", probability);
17    }
18}
19

Эти примеры демонстрируют, как рассчитать вероятность распределения Пуассона для различных языков программирования. Вы можете адаптировать эти функции под свои конкретные нужды или интегрировать их в более крупные системы статистического анализа.

Числовые примеры

1. Сценарий колл-центра:

   • Среднее количество звонков в час ($\lambda$) = 5
   • Вероятность ровно 3 звонков за час ($k$ = 3)
   • Вероятность ≈ 0.140373

2. Контроль качества производства:

   • Среднее количество дефектов в партии ($\lambda$) = 1.5
   • Вероятность отсутствия дефектов в партии ($k$ = 0)
   • Вероятность ≈ 0.223130

3. Радиоактивный распад:

   • Среднее количество испусканий в минуту ($\lambda$) = 3.5
   • Вероятность ровно 6 испусканий за минуту ($k$ = 6)
   • Вероятность ≈ 0.116422

4. Дорожное движение:

   • Среднее количество автомобилей в минуту ($\lambda$) = 2
   • Вероятность ровно 5 автомобилей за минуту ($k$ = 5)
   • Вероятность ≈ 0.036288

Краевые случаи и ограничения

1. Большие значения $\lambda$: Для очень больших $\lambda$ (например, $\lambda > 100$) расчет может стать численно нестабильным из-за экспоненциальных и факториальных членов. В таких случаях приближения, такие как нормальное распределение, могут быть более подходящими.

2. Большие значения $k$: Аналогично большим $\lambda$, очень большие значения $k$ могут привести к численной нестабильности. Калькулятор должен предупреждать пользователей, когда они приближаются к этим пределам.

3. Нецелые $k$: Распределение Пуассона определено только для целых $k$. Калькулятор должен обеспечить это ограничение.

4. Малые вероятности: Для комбинаций больших $\lambda$ и малых $k$ (или наоборот) полученные вероятности могут быть чрезвычайно малыми, что потенциально может привести к проблемам переполнения в некоторых языках программирования.

5. Предположение об независимости: Распределение Пуассона предполагает, что события происходят независимо. В реальных сценариях это предположение может не всегда выполняться, что ограничивает применимость распределения.

6. Предположение о постоянной частоте: Распределение Пуассона предполагает постоянную среднюю частоту. Во многих реальных сценариях частота может варьироваться во времени или пространстве.

7. Равенство среднего и дисперсии: В распределении Пуассона среднее равно дисперсии ($\lambda$). Это свойство, известное как эквидиспершн, может не выполняться в некоторых реальных данных, что приводит к пере- или недо-дисперсии.

При использовании калькулятора распределения Пуассона важно учитывать эти ограничения и рассматривать, является ли распределение подходящим для конкретного сценария.

Ссылки

1. Haight, Frank A. "Handbook of the Poisson Distribution." New York: John Wiley & Sons, 1967.
2. Cameron, A. Colin, and Pravin K. Trivedi. "Regression Analysis of Count Data." Cambridge University Press, 2013.
3. Ross, Sheldon M. "Introduction to Probability Models." Academic Press, 2014.
4. "Poisson Distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution. Accessed 2 Aug. 2024.
5. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp, and Samuel Kotz. "Univariate Discrete Distributions." John Wiley & Sons, 2005.