Kalkulačka Poissonovho rozdelenia

Kalkulačka Poissonovej distribúcie

Úvod

Poissonova distribúcia je diskrétna pravdepodobnostná distribúcia, ktorá vyjadruje pravdepodobnosť, že sa v pevnom intervale času alebo priestoru vyskytne daný počet udalostí, pričom sa predpokladá, že tieto udalosti sa vyskytujú s známou konštantnou priemernou rýchlosťou a nezávisle od času od poslednej udalosti. Táto kalkulačka vám umožňuje určiť pravdepodobnosť výskytu konkrétneho počtu udalostí na základe priemernej rýchlosti výskytu.

Fórmula

Pravdepodobnostná hmotnostná funkcia Poissonovej distribúcie je daná:

$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$

Kde:

• $\lambda$ (lambda) je priemerný počet udalostí na interval
• $k$ je počet udalostí, pre ktorý počítame pravdepodobnosť
• $e$ je Eulerovo číslo (približne 2.71828)

Ako používať túto kalkulačku

1. Zadajte priemernú rýchlosť výskytu ($\lambda$)
2. Zadajte počet udalostí, o ktoré máte záujem ($k$)
3. Kliknite na tlačidlo "Vypočítať", aby ste získali pravdepodobnosť
4. Výsledok bude zobrazený ako desatinné číslo medzi 0 a 1

Poznámka: Oba hodnoty $\lambda$ a $k$ musia byť nezáporné čísla. Okrem toho musí byť $k$ celé číslo.

Validácia vstupu

Kalkulačka vykonáva nasledujúce kontroly na vstupoch používateľa:

• $\lambda$ musí byť kladné číslo
• $k$ musí byť nezáporné celé číslo
• Pre veľmi veľké hodnoty $\lambda$ alebo $k$ môže byť zobrazená výstraha o možnej numerickej nestabilite

Ak sú zistené neplatné vstupy, zobrazí sa chybové hlásenie a výpočet nebude pokračovať, kým sa neopravia.

Výpočet

Kalkulačka používa vzorec Poissonovej distribúcie na výpočet pravdepodobnosti na základe vstupu používateľa. Tu je krok-za-krokom vysvetlenie výpočtu:

1. Vypočítajte $e^{-\lambda}$
2. Vypočítajte $\lambda^k$
3. Vypočítajte $k!$ (faktoriál $k$)
4. Násobte výsledky krokov 1 a 2
5. Rozdeľte výsledok kroku 4 výsledkom kroku 3

Konečný výsledok je pravdepodobnosť, že presne $k$ udalostí nastane v intervale, kde je priemerný počet udalostí $\lambda$.

Prípadové použitia

Poissonova distribúcia má rôzne aplikácie v rôznych oblastiach:

1. Riadenie call centier: Predpovedanie počtu hovorov prijatých v danom časovom období.

2. Kontrola kvality: Odhadovanie počtu defektov v produkčnej várke.

3. Biológia: Modelovanie počtu mutácií v DNA sekvencii.

4. Poistenie: Vypočítavanie pravdepodobnosti určitého počtu nárokov v časovom období.

5. Prúd dopravy: Odhadovanie počtu vozidiel prichádzajúcich na križovatku v danom čase.

6. Rádioaktívny rozpad: Predpovedanie počtu emitovaných častíc v pevnom časovom intervale.

Alternatívy

Hoci je Poissonova distribúcia užitočná pre mnohé scenáre, existujú aj iné distribúcie, ktoré môžu byť vhodnejšie v určitých situáciách:

1. Binomická distribúcia: Keď je stanovený pevný počet pokusov s konštantnou pravdepodobnosťou úspechu.

2. Negatívna binomická distribúcia: Keď máte záujem o počet úspechov predtým, než nastane stanovený počet neúspechov.

3. Exponenciálna distribúcia: Pre modelovanie času medzi udalosťami rozdelenými podľa Poissonovej distribúcie.

4. Gamma distribúcia: Generalizácia exponenciálnej distribúcie, užitočná pre modelovanie čakacích časov.

História

Poissonovu distribúciu objavil francúzsky matematik Siméon Denis Poisson a publikoval ju v roku 1838 vo svojej práci "Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile" (Výskum pravdepodobnosti súdnych rozhodnutí v trestných a občianskych záležitostiach).

Pôvodne Poissonova práca nezískala veľkú pozornosť. Až na začiatku 20. storočia sa distribúcia stala populárnou, najmä prostredníctvom práce štatistikov ako Ronald Fisher, ktorý ju aplikoval na biologické problémy.

Dnes je Poissonova distribúcia široko používaná v rôznych oblastiach, od kvantovej fyziky po operačný výskum, čo dokazuje jej univerzálnosť a význam v teórii pravdepodobnosti a štatistike.

Príklady

Tu sú niektoré kódové príklady na výpočet pravdepodobnosti Poissonovej distribúcie:

' Excel VBA funkcia pre pravdepodobnosť Poissonovej distribúcie
Function PoissonProbability(lambda As Double, k As Integer) As Double
    PoissonProbability = (Exp(-lambda) * lambda ^ k) / Application.WorksheetFunction.Fact(k)
End Function
' Použitie:
' =PoissonProbability(2, 3)

import math

def poisson_probability(lambda_param, k):
    return (math.exp(-lambda_param) * (lambda_param ** k)) / math.factorial(k)

## Príklad použitia:
lambda_param = 2  # priemerná rýchlosť
k = 3  # počet výskytov
probability = poisson_probability(lambda_param, k)
print(f"Pravdepodobnosť: {probability:.6f}")

function poissonProbability(lambda, k) {
  const factorial = (n) => (n === 0 || n === 1) ? 1 : n * factorial(n - 1);
  return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
}

// Príklad použitia:
const lambda = 2; // priemerná rýchlosť
const k = 3; // počet výskytov
const probability = poissonProbability(lambda, k);
console.log(`Pravdepodobnosť: ${probability.toFixed(6)}`);

public class PoissonDistributionCalculator {
    public static double poissonProbability(double lambda, int k) {
        return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
    }

    private static long factorial(int n) {
        if (n == 0 || n == 1) return 1;
        return n * factorial(n - 1);
    }

    public static void main(String[] args) {
        double lambda = 2.0; // priemerná rýchlosť
        int k = 3; // počet výskytov

        double probability = poissonProbability(lambda, k);
        System.out.printf("Pravdepodobnosť: %.6f%n", probability);
    }
}

Tieto príklady demonštrujú, ako vypočítať pravdepodobnosť Poissonovej distribúcie pre rôzne programovacie jazyky. Môžete tieto funkcie prispôsobiť svojim konkrétnym potrebám alebo ich integrovať do väčších systémov štatistickej analýzy.

Numerické príklady

1. Scenár call centra:

   • Priemerné hovory za hodinu ($\lambda$) = 5
   • Pravdepodobnosť presne 3 hovorov za hodinu ($k$ = 3)
   • Pravdepodobnosť ≈ 0.140373

2. Kontrola kvality výroby:

   • Priemerné defekty na várku ($\lambda$) = 1.5
   • Pravdepodobnosť žiadnych defektov vo várke ($k$ = 0)
   • Pravdepodobnosť ≈ 0.223130

3. Rádioaktívny rozpad:

   • Priemerné emisie za minútu ($\lambda$) = 3.5
   • Pravdepodobnosť presne 6 emisií za minútu ($k$ = 6)
   • Pravdepodobnosť ≈ 0.116422

4. Prúd dopravy:

   • Priemerné autá za minútu ($\lambda$) = 2
   • Pravdepodobnosť presne 5 áut za minútu ($k$ = 5)
   • Pravdepodobnosť ≈ 0.036288

Hraničné prípady a obmedzenia

1. Veľké hodnoty $\lambda$: Pre veľmi veľké $\lambda$ (napr. $\lambda > 100$) sa výpočet môže stať numericky nestabilným kvôli exponenciálnym a faktoriálnym termínom. V takýchto prípadoch môžu byť priblíženia, ako je normálna distribúcia, vhodnejšie.

2. Veľké hodnoty $k$: Podobne ako pri veľkých $\lambda$, veľmi veľké hodnoty $k$ môžu viesť k numerickej nestabilite. Kalkulačka by mala varovať používateľov, keď sa blížia k týmto limitom.

3. Ne celé číslo $k$: Poissonova distribúcia je definovaná iba pre celé čísla $k$. Kalkulačka by mala túto podmienku vynútiť.

4. Malé pravdepodobnosti: Pre kombinácie veľkých $\lambda$ a malých $k$ (alebo naopak) môžu byť výsledné pravdepodobnosti extrémne malé, čo môže viesť k problémom s podtečením v niektorých programovacích jazykoch.

5. Predpoklad nezávislosti: Poissonova distribúcia predpokladá, že udalosti sa vyskytujú nezávisle. V reálnych scenároch nemusí tento predpoklad vždy platiť, čo obmedzuje použiteľnosť distribúcie.

6. Predpoklad konštantnej rýchlosti: Poissonova distribúcia predpokladá konštantný priemerný rýchlosť. V mnohých reálnych scenároch sa rýchlosť môže v priebehu času alebo priestoru meniť.

7. Rovnosť priemeru a rozptylu: V Poissonovej distribúcii platí, že priemer sa rovná rozptylu ($\lambda$). Tento jav, známy ako ekvidispersion, nemusí platiť v niektorých reálnych údajoch, čo vedie k nadmernej alebo podmernej disperzii.

Pri používaní kalkulačky Poissonovej distribúcie je dôležité mať na pamäti tieto obmedzenia a zvážiť, či je distribúcia vhodná pre konkrétny scenár.

Odkazy

1. Haight, Frank A. "Handbook of the Poisson Distribution." New York: John Wiley & Sons, 1967.
2. Cameron, A. Colin, a Pravin K. Trivedi. "Regression Analysis of Count Data." Cambridge University Press, 2013.
3. Ross, Sheldon M. "Introduction to Probability Models." Academic Press, 2014.
4. "Poisson Distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution. Prístup 2. augusta 2024.
5. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp, a Samuel Kotz. "Univariate Discrete Distributions." John Wiley & Sons, 2005.