Kikokotoo cha Usambazaji wa Poisson

Kihesabu cha Usambazaji wa Poisson

Utangulizi

Usambazaji wa Poisson ni usambazaji wa uwezekano wa kutenganishwa unaoeleza uwezekano wa idadi fulani ya matukio kutokea katika kipindi fulani cha muda au nafasi, huku tukidhani kuwa matukio haya yanatokea kwa kiwango cha wastani kinachojulikana na kwa uhuru wa muda tangu tukio la mwisho. Kihesabu hiki kinakuruhusu kubaini uwezekano wa idadi maalum ya matukio kutokea kulingana na kiwango cha wastani cha kutokea.

Fomula

Fomula ya uwezekano wa usambazaji wa Poisson inatolewa na:

$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$

Ambapo:

• $\lambda$ (lambda) ni idadi ya wastani ya matukio kwa kipindi
• $k$ ni idadi ya matukio ambayo tunakadiria uwezekano wake
• $e$ ni nambari ya Euler (takriban 2.71828)

Jinsi ya Kutumia Kihesabu Hiki

1. Ingiza kiwango cha wastani cha kutokea ($\lambda$)
2. Ingiza idadi ya matukio unayovutiwa nayo ($k$)
3. Bonyeza kitufe cha "Hesabu" ili kupata uwezekano
4. Matokeo yataonyeshwa kama desimali kati ya 0 na 1

Kumbuka: Wote $\lambda$ na $k$ lazima wawe nambari zisizo na hasi. Zaidi ya hayo, $k$ lazima iwe nambari kamili.

Uthibitisho wa Ingizo

Kihesabu kinafanya ukaguzi ufuatao kwenye ingizo la mtumiaji:

• $\lambda$ lazima iwe nambari chanya
• $k$ lazima iwe nambari isiyo na hasi
• Kwa thamani kubwa sana za $\lambda$ au $k$, onyo kuhusu uwezekano wa kutokuwa na utulivu wa nambari linaweza kuonyeshwa

Ikiwa ingizo zisizo sahihi zitagundulika, ujumbe wa kosa utaonyeshwa, na hesabu haitaanza hadi itakaporekebishwa.

Hesabu

Kihesabu kinatumia fomula ya usambazaji wa Poisson ili kuhesabu uwezekano kulingana na ingizo la mtumiaji. Hapa kuna maelezo ya hatua kwa hatua ya hesabu:

1. Hesabu $e^{-\lambda}$
2. Hesabu $\lambda^k$
3. Hesabu $k!$ (factorial ya $k$)
4. Weka pamoja matokeo ya hatua ya 1 na 2
5. Gawanya matokeo ya hatua ya 4 kwa matokeo ya hatua ya 3

Matokeo ya mwisho ni uwezekano wa matukio $k$ kutokea katika kipindi ambapo idadi ya wastani ya matukio ni $\lambda$.

Matumizi

Usambazaji wa Poisson una matumizi mbalimbali katika nyanja tofauti:

1. Usimamizi wa Kituo cha Simu: Kutabiri idadi ya simu zinazopokelewa katika kipindi fulani.

2. Udhibiti wa Ubora: Kukadiria idadi ya kasoro katika kundi la uzalishaji.

3. Biolojia: Kuweka mfano wa idadi ya mabadiliko katika mfuatano wa DNA.

4. Bima: Kuandika uwezekano wa idadi fulani ya madai katika kipindi fulani.

5. Mtiririko wa Trafiki: Kukadiria idadi ya magari yanayofika katika makutano katika kipindi fulani.

6. Kuanguka kwa Mionzi: Kutabiri idadi ya chembe zinazotolewa katika kipindi fulani.

Mbadala

Ingawa usambazaji wa Poisson ni muhimu katika hali nyingi, kuna usambazaji wengine ambao unaweza kuwa bora katika hali fulani:

1. Usambazaji wa Binomial: Wakati kuna idadi iliyowekwa ya majaribio na uwezekano wa mafanikio wa kudumu.

2. Usambazaji wa Binomial Mbaya: Wakati unavutiwa na idadi ya mafanikio kabla ya idadi iliyowekwa ya kushindwa kutokea.

3. Usambazaji wa Exponential: Kwa mfano wa muda kati ya matukio yanayosambazwa kwa Poisson.

4. Usambazaji wa Gamma: Ujumlishaji wa usambazaji wa exponential, muhimu kwa mfano wa muda wa kusubiri.

Historia

Usambazaji wa Poisson uligunduliwa na mwanahisabati wa Kifaransa Siméon Denis Poisson na kuchapishwa mwaka 1838 katika kazi yake "Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile" (Utafiti juu ya Uwezekano wa Hukumu katika Mambo ya Jinai na Kiraia).

Awali, kazi ya Poisson haikupata umakini mkubwa. Haikuwa hadi karne ya 20 ambapo usambazaji huu ulipata umaarufu, hasa kupitia kazi ya wasanifu takwimu kama Ronald Fisher, ambaye alitumia kwa matatizo ya kibaiolojia.

Leo, usambazaji wa Poisson unatumika sana katika nyanja mbalimbali, kutoka fizikia ya quantum hadi utafiti wa operesheni, ukionyesha uwezo wake na umuhimu katika nadharia ya uwezekano na takwimu.

Mifano

Hapa kuna mifano ya msimbo ili kuhesabu uwezekano wa usambazaji wa Poisson:

' Kazi ya Excel VBA kwa Uwezekano wa Usambazaji wa Poisson
Function PoissonProbability(lambda As Double, k As Integer) As Double
    PoissonProbability = (Exp(-lambda) * lambda ^ k) / Application.WorksheetFunction.Fact(k)
End Function
' Matumizi:
' =PoissonProbability(2, 3)

import math

def poisson_probability(lambda_param, k):
    return (math.exp(-lambda_param) * (lambda_param ** k)) / math.factorial(k)

## Matumizi ya mfano:
lambda_param = 2  # kiwango cha wastani
k = 3  # idadi ya matukio
probability = poisson_probability(lambda_param, k)
print(f"Uwezekano: {probability:.6f}")

function poissonProbability(lambda, k) {
  const factorial = (n) => (n === 0 || n === 1) ? 1 : n * factorial(n - 1);
  return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
}

// Matumizi ya mfano:
const lambda = 2; // kiwango cha wastani
const k = 3; // idadi ya matukio
const probability = poissonProbability(lambda, k);
console.log(`Uwezekano: ${probability.toFixed(6)}`);

public class PoissonDistributionCalculator {
    public static double poissonProbability(double lambda, int k) {
        return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
    }

    private static long factorial(int n) {
        if (n == 0 || n == 1) return 1;
        return n * factorial(n - 1);
    }

    public static void main(String[] args) {
        double lambda = 2.0; // kiwango cha wastani
        int k = 3; // idadi ya matukio

        double probability = poissonProbability(lambda, k);
        System.out.printf("Uwezekano: %.6f%n", probability);
    }
}

Mifano hii inaonyesha jinsi ya kuhesabu uwezekano wa usambazaji wa Poisson kwa lugha tofauti za programu. Unaweza kubadilisha kazi hizi ili kukidhi mahitaji yako maalum au kuziunganisha katika mifumo mikubwa ya uchambuzi wa takwimu.

Mifano ya Nambari

1. Hali ya Kituo cha Simu:

   • Simu za wastani kwa saa ($\lambda$) = 5
   • Uwezekano wa simu 3 hasa katika saa ($k$ = 3)
   • Uwezekano ≈ 0.140373

2. Udhibiti wa Ubora wa Uzalishaji:

   • Kasoro za wastani kwa kundi ($\lambda$) = 1.5
   • Uwezekano wa kasoro hakuna katika kundi ($k$ = 0)
   • Uwezekano ≈ 0.223130

3. Kuanguka kwa Mionzi:

   • Utoaji wa wastani kwa dakika ($\lambda$) = 3.5
   • Uwezekano wa utoaji 6 hasa kwa dakika ($k$ = 6)
   • Uwezekano ≈ 0.116422

4. Mtiririko wa Trafiki:

   • Magari ya wastani kwa dakika ($\lambda$) = 2
   • Uwezekano wa magari 5 hasa kwa dakika ($k$ = 5)
   • Uwezekano ≈ 0.036288

Mipaka na Vikwazo

1. Thamani kubwa za $\lambda$: Kwa thamani kubwa sana za $\lambda$ (kwa mfano, $\lambda > 100$), hesabu inaweza kuwa na kutokuwa na utulivu wa nambari kutokana na nambari za exponential na factorial. Katika hali kama hizo, makadirio kama usambazaji wa kawaida yanaweza kuwa bora zaidi.

2. Thamani kubwa za $k$: Vivyo hivyo, thamani kubwa sana za $k$ zinaweza kusababisha kutokuwa na utulivu wa nambari. Kihesabu kinapaswa kuwajulisha watumiaji wanapokaribia mipaka hii.

3. $k$ isiyo kamili: Usambazaji wa Poisson umewekwa tu kwa $k$ kamili. Kihesabu kinapaswa kutekeleza kizuizi hiki.

4. Uwezekano mdogo: Kwa mchanganyiko wa $\lambda$ kubwa na $k$ ndogo (au kinyume chake), uwezekano wa matokeo unaweza kuwa mdogo sana, na hivyo kusababisha matatizo ya chini katika baadhi ya lugha za programu.

5. Dhana ya uhuru: Usambazaji wa Poisson unadhania matukio yanatokea kwa uhuru. Katika hali halisi, dhana hii inaweza isiwe sahihi kila wakati, ikipunguza matumizi ya usambazaji huu.

6. Dhana ya kiwango thabiti: Usambazaji wa Poisson unadhania kiwango cha wastani ni thabiti. Katika hali nyingi halisi, kiwango kinaweza kubadilika kwa muda au nafasi.

7. Usawa wa wastani na tofauti: Katika usambazaji wa Poisson, wastani unalingana na tofauti ($\lambda$). Sifa hii, inayojulikana kama usawa, inaweza isiwe sahihi katika baadhi ya data halisi, ikisababisha kupita au chini ya usambazaji.

Unapokuwa unatumia kihesabu cha usambazaji wa Poisson, ni muhimu kuzingatia mipaka hii na kufikiria ikiwa usambazaji huu unafaa kwa hali maalum unayoshughulika nayo.

Marejeleo

1. Haight, Frank A. "Handbook of the Poisson Distribution." New York: John Wiley & Sons, 1967.
2. Cameron, A. Colin, na Pravin K. Trivedi. "Regression Analysis of Count Data." Cambridge University Press, 2013.
3. Ross, Sheldon M. "Introduction to Probability Models." Academic Press, 2014.
4. "Poisson Distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution. Imefikiwa 2 Ag. 2024.
5. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp, na Samuel Kotz. "Univariate Discrete Distributions." John Wiley & Sons, 2005.