Калькулятор розподілу Пуассона

Калькулятор розподілу Пуассона

Вступ

Розподіл Пуассона — це дискретний розподіл ймовірностей, який виражає ймовірність того, що певна кількість подій відбудеться в фіксованому інтервалі часу або простору, за умови, що ці події відбуваються з відомою сталою середньою швидкістю та незалежно від часу, що минув з моменту останньої події. Цей калькулятор дозволяє визначити ймовірність виникнення певної кількості подій на основі середньої швидкості виникнення.

Формула

Ймовірнісна масова функція розподілу Пуассона задається формулою:

$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$

Де:

• $\lambda$ (лямбда) — середня кількість подій за інтервал
• $k$ — кількість подій, для яких ми обчислюємо ймовірність
• $e$ — число Ейлера (приблизно 2.71828)

Як користуватися цим калькулятором

1. Введіть середню швидкість виникнення ($\lambda$)
2. Введіть кількість подій, яка вас цікавить ($k$)
3. Натисніть кнопку "Обчислити", щоб отримати ймовірність
4. Результат буде відображено як десяткове число між 0 і 1

Примітка: Як $\lambda$, так і $k$ повинні бути невід'ємними числами. Крім того, $k$ повинен бути цілим числом.

Перевірка введення

Калькулятор виконує такі перевірки на введені дані користувача:

• $\lambda$ повинно бути позитивним числом
• $k$ повинно бути невід'ємним цілим числом
• Для дуже великих значень $\lambda$ або $k$ може з'явитися попередження про можливу числову нестабільність

Якщо виявлено недійсні введення, буде відображено повідомлення про помилку, і обчислення не буде продовжено, поки не буде виправлено.

Обчислення

Калькулятор використовує формулу розподілу Пуассона для обчислення ймовірності на основі введених даних користувача. Ось покрокове пояснення обчислення:

1. Обчисліть $e^{-\lambda}$
2. Обчисліть $\lambda^k$
3. Обчисліть $k!$ (факторіал $k$)
4. Помножте результати кроків 1 і 2
5. Розділіть результат кроку 4 на результат кроку 3

Остаточний результат — це ймовірність того, що точно $k$ подій відбудеться в інтервалі, де середня кількість подій дорівнює $\lambda$.

Сценарії використання

Розподіл Пуассона має різні застосування в різних сферах:

1. Управління кол-центрами: Прогнозування кількості дзвінків, отриманих за певний період часу.

2. Контроль якості: Оцінка кількості дефектів у виробничій партії.

3. Біологія: Моделювання кількості мутацій у послідовності ДНК.

4. Страхування: Обчислення ймовірності певної кількості заявок за певний період.

5. Потік трафіку: Оцінка кількості автомобілів, що прибувають на перехрестя за певний час.

6. Радіоактивний розпад: Прогнозування кількості частинок, що вивільняються за фіксований інтервал часу.

Альтернативи

Хоча розподіл Пуассона корисний для багатьох сценаріїв, є й інші розподіли, які можуть бути більш доречними в певних ситуаціях:

1. Біноміальний розподіл: Коли є фіксована кількість випробувань з постійною ймовірністю успіху.

2. Негативний біноміальний розподіл: Коли вас цікавить кількість успіхів перед тим, як відбудеться певна кількість невдач.

3. Експоненціальний розподіл: Для моделювання часу між подіями, розподіленими за Пуассоном.

4. Гамма-розподіл: Узагальнення експоненціального розподілу, корисне для моделювання часу очікування.

Історія

Розподіл Пуассона був відкритий французьким математиком Симоном Денісом Пуассоном і опублікований у 1838 році в його праці "Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile" (Дослідження ймовірності суджень у кримінальних і цивільних справах).

Спочатку робота Пуассона не отримала великої уваги. Лише на початку 20-го століття розподіл здобув популярність, особливо завдяки роботам статистиків, таких як Рональд Фішер, які застосували його до біологічних проблем.

Сьогодні розподіл Пуассона широко використовується в різних сферах — від квантової фізики до операційних досліджень, що демонструє його універсальність та важливість у теорії ймовірностей і статистики.

Приклади

Ось кілька прикладів коду для обчислення ймовірності розподілу Пуассона:

' Функція VBA Excel для ймовірності розподілу Пуассона
Function PoissonProbability(lambda As Double, k As Integer) As Double
    PoissonProbability = (Exp(-lambda) * lambda ^ k) / Application.WorksheetFunction.Fact(k)
End Function
' Використання:
' =PoissonProbability(2, 3)

import math

def poisson_probability(lambda_param, k):
    return (math.exp(-lambda_param) * (lambda_param ** k)) / math.factorial(k)

## Приклад використання:
lambda_param = 2  # середня швидкість
k = 3  # кількість випадків
probability = poisson_probability(lambda_param, k)
print(f"Ймовірність: {probability:.6f}")

function poissonProbability(lambda, k) {
  const factorial = (n) => (n === 0 || n === 1) ? 1 : n * factorial(n - 1);
  return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
}

// Приклад використання:
const lambda = 2; // середня швидкість
const k = 3; // кількість випадків
const probability = poissonProbability(lambda, k);
console.log(`Ймовірність: ${probability.toFixed(6)}`);

public class PoissonDistributionCalculator {
    public static double poissonProbability(double lambda, int k) {
        return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
    }

    private static long factorial(int n) {
        if (n == 0 || n == 1) return 1;
        return n * factorial(n - 1);
    }

    public static void main(String[] args) {
        double lambda = 2.0; // середня швидкість
        int k = 3; // кількість випадків

        double probability = poissonProbability(lambda, k);
        System.out.printf("Ймовірність: %.6f%n", probability);
    }
}

Ці приклади демонструють, як обчислити ймовірність розподілу Пуассона для різних мов програмування. Ви можете адаптувати ці функції до своїх конкретних потреб або інтегрувати їх у більші системи статистичного аналізу.

Числові приклади

1. Сценарій кол-центру:

   • Середня кількість дзвінків на годину ($\lambda$) = 5
   • Ймовірність точно 3 дзвінків за годину ($k$ = 3)
   • Ймовірність ≈ 0.140373

2. Контроль якості виробництва:

   • Середня кількість дефектів у партії ($\lambda$) = 1.5
   • Ймовірність відсутності дефектів у партії ($k$ = 0)
   • Ймовірність ≈ 0.223130

3. Радіоактивний розпад:

   • Середня кількість викидів за хвилину ($\lambda$) = 3.5
   • Ймовірність точно 6 викидів за хвилину ($k$ = 6)
   • Ймовірність ≈ 0.116422

4. Потік трафіку:

   • Середня кількість автомобілів за хвилину ($\lambda$) = 2
   • Ймовірність точно 5 автомобілів за хвилину ($k$ = 5)
   • Ймовірність ≈ 0.036288

Країні випадки та обмеження

1. Великі значення $\lambda$: Для дуже великих $\lambda$ (наприклад, $\lambda > 100$) обчислення можуть стати чисельно нестабільними через експоненціальні та факторіальні терміни. У таких випадках наближення, такі як нормальний розподіл, можуть бути більш доречними.

2. Великі значення $k$: Аналогічно, дуже великі значення $k$ можуть призвести до числової нестабільності. Калькулятор повинен попереджати користувачів, коли наближаються до цих меж.

3. Непарне $k$: Розподіл Пуассона визначений лише для цілих $k$. Калькулятор повинен забезпечити цю умову.

4. Маленькі ймовірності: Для комбінацій великих $\lambda$ і малих $k$ (або навпаки) отримані ймовірності можуть бути надзвичайно малими, що потенційно призводить до проблеми переповнення в деяких мовах програмування.

5. Припущення незалежності: Розподіл Пуассона припускає, що події відбуваються незалежно. У реальних сценаріях це припущення може не завжди виконуватися, що обмежує застосовність розподілу.

6. Припущення про сталу швидкість: Розподіл Пуассона припускає постійну середню швидкість. У багатьох реальних сценаріях швидкість може змінюватися з часом або простором.

7. Рівність середнього і дисперсії: У розподілі Пуассона середнє дорівнює дисперсії ($\lambda$). Ця властивість, відома як еквідиспершн, може не виконуватися в деяких реальних даних, що призводить до перевищення або недостачі дисперсії.

При використанні калькулятора розподілу Пуассона важливо враховувати ці обмеження та розглянути, чи є розподіл доречним для конкретного сценарію.

Посилання

1. Haight, Frank A. "Handbook of the Poisson Distribution." New York: John Wiley & Sons, 1967.
2. Cameron, A. Colin, and Pravin K. Trivedi. "Regression Analysis of Count Data." Cambridge University Press, 2013.
3. Ross, Sheldon M. "Introduction to Probability Models." Academic Press, 2014.
4. "Poisson Distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution. Accessed 2 Aug. 2024.
5. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp, and Samuel Kotz. "Univariate Discrete Distributions." John Wiley & Sons, 2005.