پواسن تقسیم کا کیلکولیٹر

پواسن تقسیم کا کیلکولیٹر

تعارف

پواسن تقسیم ایک متغیر احتمال تقسیم ہے جو ایک مقررہ وقت یا جگہ میں ایک مخصوص تعداد میں واقعات کے ہونے کی احتمال کو ظاہر کرتی ہے، فرض کرتے ہوئے کہ یہ واقعات ایک معلوم مستقل اوسط کی شرح سے ہوتے ہیں اور پچھلے واقعے کے وقت سے آزاد ہوتے ہیں۔ یہ کیلکولیٹر آپ کو واقعے کے ہونے کی اوسط شرح کی بنیاد پر مخصوص تعداد میں واقعات کے ہونے کی احتمال معلوم کرنے کی اجازت دیتا ہے۔

فارمولا

پواسن تقسیم کی احتمال ماس فنکشن اس طرح دی گئی ہے:

$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$

جہاں:

• $\lambda$ (لامبڈا) ہر وقفے میں ہونے والے واقعات کی اوسط تعداد ہے
• $k$ وہ واقعات ہیں جن کے لیے ہم احتمال کا حساب لگا رہے ہیں
• $e$ یولر کا عدد ہے (تقریباً 2.71828)

اس کیلکولیٹر کا استعمال کیسے کریں

1. واقعے کی اوسط شرح ($\lambda$) درج کریں
2. آپ جس تعداد کے واقعات میں دلچسپی رکھتے ہیں ($k$) درج کریں
3. احتمال حاصل کرنے کے لیے "حساب کریں" کے بٹن پر کلک کریں
4. نتیجہ 0 اور 1 کے درمیان ایک اعشاریہ کے طور پر دکھایا جائے گا

نوٹ: دونوں $\lambda$ اور $k$ غیر منفی عدد ہونے چاہئیں۔ اس کے علاوہ، $k$ ایک صحیح عدد ہونا چاہیے۔

ان پٹ کی توثیق

کیلکولیٹر صارف کی ان پٹ پر درج ذیل چیک کرتا ہے:

• $\lambda$ ایک مثبت عدد ہونا چاہیے
• $k$ ایک غیر منفی صحیح عدد ہونا چاہیے
• بہت بڑے $\lambda$ یا $k$ کی قیمتوں کے لیے، ممکنہ عددی عدم استحکام کے بارے میں ایک انتباہ دکھایا جا سکتا ہے

اگر غلط ان پٹ کا پتہ چلا تو ایک غلطی کا پیغام دکھایا جائے گا، اور حساب کتاب اس وقت تک جاری نہیں رہے گا جب تک کہ اسے درست نہ کیا جائے۔

حساب کتاب

کیلکولیٹر صارف کی ان پٹ کی بنیاد پر احتمال کو حساب کرنے کے لیے پواسن تقسیم کے فارمولا کا استعمال کرتا ہے۔ حساب کتاب کی ایک مرحلہ وار وضاحت یہ ہے:

1. $e^{-\lambda}$ کا حساب لگائیں
2. $\lambda^k$ کا حساب لگائیں
3. $k!$ (k کا فیکٹوریل) کا حساب لگائیں
4. مرحلہ 1 اور 2 کے نتائج کو ضرب دیں
5. مرحلہ 4 کے نتیجے کو مرحلہ 3 کے نتیجے سے تقسیم کریں

آخری نتیجہ ایک وقفے میں بالکل $k$ واقعات کے ہونے کی احتمال ہے جہاں اوسط تعداد کے واقعات $\lambda$ ہے۔

استعمال کے کیس

پواسن تقسیم مختلف شعبوں میں کئی درخواستیں رکھتی ہے:

1. کال سینٹر کی انتظامیہ: ایک مخصوص وقت میں موصول ہونے والی کالز کی تعداد کی پیش گوئی کرنا۔

2. معیار کنٹرول: پیداوار کے بیچ میں نقصانات کی تعداد کا تخمینہ لگانا۔

3. حیاتیات: ڈی این اے کے سلسلے میں ہونے والی تبدیلیوں کی تعداد کا ماڈل بنانا۔

4. انشورنس: ایک وقت میں مخصوص تعداد میں دعووں کی احتمال کا حساب لگانا۔

5. ٹریفک کی روانی: ایک مخصوص وقت میں ایک انٹرسیکشن پر آنے والی گاڑیوں کی تعداد کا تخمینہ لگانا۔

6. تابکاری کی خرابی: ایک مقررہ وقت میں خارج ہونے والے ذرات کی تعداد کی پیش گوئی کرنا۔

متبادل

اگرچہ پواسن تقسیم کئی منظرناموں کے لیے مفید ہے، لیکن کچھ حالات میں دوسرے تقسیم زیادہ موزوں ہو سکتے ہیں:

1. بائنومیئل تقسیم: جب ایک مقررہ تعداد میں تجربات ہوں جن میں کامیابی کی مستقل احتمال ہو۔

2. منفی بائنومیئل تقسیم: جب آپ کو ایک مخصوص تعداد میں ناکامیوں سے پہلے کامیابیوں کی تعداد میں دلچسپی ہو۔

3. ایکسپونینشل تقسیم: پواسن تقسیم شدہ واقعات کے درمیان وقت ماڈل کرنے کے لیے۔

4. گاما تقسیم: ایکسپونینشل تقسیم کا عمومی شکل، جو انتظار کے اوقات کی ماڈلنگ کے لیے مفید ہے۔

تاریخ

پواسن تقسیم کا انکشاف فرانسیسی ریاضی دان سمین ڈینس پواسن نے کیا اور یہ 1838 میں ان کے کام "Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile" (جرم اور شہری معاملات میں فیصلوں کی احتمال پر تحقیق) میں شائع ہوا۔

ابتدائی طور پر، پواسن کا کام زیادہ توجہ نہیں حاصل کر سکا۔ یہ 20ویں صدی کے اوائل میں تھا جب اس تقسیم نے خاص طور پر ریاضی دانوں جیسے رونالڈ فشر کے کام کے ذریعے اہمیت حاصل کی، جنہوں نے اسے حیاتیاتی مسائل پر لاگو کیا۔

آج، پواسن تقسیم مختلف شعبوں میں وسیع پیمانے پر استعمال ہوتی ہے، کوانٹم طبیعیات سے لے کر آپریشنز ریسرچ تک، اس کی تنوع اور اہمیت کو ظاہر کرتی ہے۔

مثالیں

یہاں کچھ کوڈ کی مثالیں ہیں جو پواسن تقسیم کی احتمال کا حساب لگاتی ہیں:

' ایکسل VBA فنکشن برائے پواسن تقسیم کی احتمال
Function PoissonProbability(lambda As Double, k As Integer) As Double
    PoissonProbability = (Exp(-lambda) * lambda ^ k) / Application.WorksheetFunction.Fact(k)
End Function
' استعمال:
' =PoissonProbability(2, 3)

import math

def poisson_probability(lambda_param, k):
    return (math.exp(-lambda_param) * (lambda_param ** k)) / math.factorial(k)

## مثال کا استعمال:
lambda_param = 2  # اوسط شرح
k = 3  # واقعات کی تعداد
probability = poisson_probability(lambda_param, k)
print(f"احتمال: {probability:.6f}")

function poissonProbability(lambda, k) {
  const factorial = (n) => (n === 0 || n === 1) ? 1 : n * factorial(n - 1);
  return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
}

// مثال کا استعمال:
const lambda = 2; // اوسط شرح
const k = 3; // واقعات کی تعداد
const probability = poissonProbability(lambda, k);
console.log(`احتمال: ${probability.toFixed(6)}`);

public class PoissonDistributionCalculator {
    public static double poissonProbability(double lambda, int k) {
        return (Math.exp(-lambda) * Math.pow(lambda, k)) / factorial(k);
    }

    private static long factorial(int n) {
        if (n == 0 || n == 1) return 1;
        return n * factorial(n - 1);
    }

    public static void main(String[] args) {
        double lambda = 2.0; // اوسط شرح
        int k = 3; // واقعات کی تعداد

        double probability = poissonProbability(lambda, k);
        System.out.printf("احتمال: %.6f%n", probability);
    }
}

یہ مثالیں مختلف پروگرامنگ زبانوں کے لیے پواسن تقسیم کی احتمال کا حساب لگانے کا طریقہ دکھاتی ہیں۔ آپ ان فنکشنز کو اپنی مخصوص ضروریات کے مطابق ڈھال سکتے ہیں یا انہیں بڑے شماریاتی تجزیے کے نظام میں شامل کر سکتے ہیں۔

عددی مثالیں

1. کال سینٹر منظرنامہ:

   • اوسط کالز فی گھنٹہ ($\lambda$) = 5
   • ایک گھنٹے میں بالکل 3 کالز کی احتمال ($k$ = 3)
   • احتمال ≈ 0.140373

2. مینوفیکچرنگ معیار کنٹرول:

   • بیچ میں اوسط نقصانات ($\lambda$) = 1.5
   • ایک بیچ میں کوئی نقصانات کی احتمال ($k$ = 0)
   • احتمال ≈ 0.223130

3. تابکاری کی خرابی:

   • فی منٹ اوسط اخراجات ($\lambda$) = 3.5
   • ایک منٹ میں بالکل 6 اخراجات کی احتمال ($k$ = 6)
   • احتمال ≈ 0.116422

4. ٹریفک کی روانی:

   • فی منٹ اوسط گاڑیاں ($\lambda$) = 2
   • ایک منٹ میں بالکل 5 گاڑیوں کی احتمال ($k$ = 5)
   • احتمال ≈ 0.036288

کنارے کے معاملات اور حدود

1. بڑے $\lambda$ کی قیمتیں: بہت بڑے $\lambda$ (مثلاً، $\lambda > 100$) کی صورت میں، حساب کتاب عددی عدم استحکام کا شکار ہو سکتا ہے کیونکہ ایکسپونینشل اور فیکٹوریل کی شرائط۔ ایسے معاملات میں، معمولی تقسیم جیسے تخمینے زیادہ موزوں ہو سکتے ہیں۔

2. بڑے $k$ کی قیمتیں: بڑے $k$ کی قیمتیں بھی عددی عدم استحکام کا باعث بن سکتی ہیں۔ کیلکولیٹر کو صارفین کو ان حدود کے قریب پہنچنے پر انتباہ دینا چاہیے۔

3. غیر صحیح $k$: پواسن تقسیم صرف صحیح $k$ کے لیے تعریف کی گئی ہے۔ کیلکولیٹر کو اس پابندی کو نافذ کرنا چاہیے۔

4. چھوٹی احتمالات: بڑے $\lambda$ اور چھوٹے $k$ (یا اس کے برعکس) کے مجموعوں کے لیے، نتیجے میں آنے والی احتمالات انتہائی چھوٹی ہو سکتی ہیں، جو کچھ پروگرامنگ زبانوں میں انڈر فلو کے مسائل کا باعث بن سکتی ہیں۔

5. آزادی کا مفروضہ: پواسن تقسیم فرض کرتی ہے کہ واقعات آزادانہ طور پر ہوتے ہیں۔ حقیقی دنیا کے منظرناموں میں، یہ مفروضہ ہمیشہ درست نہیں ہو سکتا، جس سے تقسیم کی درخواست کی حد ہوتی ہے۔

6. مستقل شرح کا مفروضہ: پواسن تقسیم ایک مستقل اوسط کی شرح فرض کرتی ہے۔ بہت سے حقیقی دنیا کے منظرناموں میں، یہ شرح وقت یا جگہ کے ساتھ مختلف ہو سکتی ہے۔

7. اوسط اور واریانس کی برابری: پواسن تقسیم میں، اوسط واریانس کے برابر ہوتی ہے ($\lambda$)۔ یہ خصوصیت، جسے مساوی تقسیم کہا جاتا ہے، کچھ حقیقی دنیا کے اعداد و شمار میں درست نہیں ہو سکتی، جس سے زیادہ یا کم تقسیم ہو سکتی ہے۔

جب آپ پواسن تقسیم کے کیلکولیٹر کا استعمال کرتے ہیں، تو یہ اہم ہے کہ ان حدود کو ذہن میں رکھیں اور یہ غور کریں کہ آیا یہ تقسیم مخصوص منظرنامے کے لیے موزوں ہے یا نہیں۔

حوالہ جات

1. Haight, Frank A. "Handbook of the Poisson Distribution." New York: John Wiley & Sons, 1967.
2. Cameron, A. Colin, and Pravin K. Trivedi. "Regression Analysis of Count Data." Cambridge University Press, 2013.
3. Ross, Sheldon M. "Introduction to Probability Models." Academic Press, 2014.
4. "Poisson Distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution. Accessed 2 Aug. 2024.
5. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp, and Samuel Kotz. "Univariate Discrete Distributions." John Wiley & Sons, 2005.