ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ ಪರಿಹಾರಕ

ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣ ಪರಿಹಾರಕ

ಪರಿಚಯ

ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವು ಒಬ್ಬ ಚರದಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಶ್ರೇಣಿಯ ಪಾಲಿನ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಇದರ ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

$ax^2 + bx + c = 0$

ಇಲ್ಲಿ $a$, $b$, ಮತ್ತು $c$ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು $a \neq 0$. $ax^2$ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಚತುರ್ಭುಜ ಪದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, $bx$ ಅನ್ನು ರೇಖೀಯ ಪದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು $c$ ಅನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಪದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ನಿಮಗೆ $a$, $b$, ಮತ್ತು $c$ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಮೂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳನ್ನು (ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು) ಹುಡುಕಲು ಚತುರ್ಭುಜ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸ್ಪಷ್ಟ, ರೂಪಿತ ಔಟ್‌ಪುಟ್ ಅನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ.

ಈ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸುವುದು

1. ಗುಣಾಂಕ $a$ ಅನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ (ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಬಾರದು)
2. ಗುಣಾಂಕ $b$ ಅನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ
3. ಗುಣಾಂಕ $c$ ಅನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ
4. ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಾದ ಶುದ್ಧತೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ (ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಳಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ)
5. "ಪರಿಹರಿಸು" ಬಟನ್ ಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡಿ
6. ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಮೂಲಗಳನ್ನು (ಅವುಗಳಿದ್ದರೆ) ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳ ಸ್ವಭಾವದ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ

ಸೂತ್ರ

ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಚತುರ್ಭುಜ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. $ax^2 + bx + c = 0$ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಪರಿಹಾರಗಳು ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತವೆ:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ಚದರಮೂಲದ ಅಡಿ ಇರುವ ಪದ, $b^2 - 4ac$, ಅನ್ನು ವಿಭಜಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಮೂಲಗಳ ಸ್ವಭಾವವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ:

• $b^2 - 4ac > 0$ ಇದ್ದರೆ, ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ವಾಸ್ತವ ಮೂಲಗಳಿವೆ
• $b^2 - 4ac = 0$ ಇದ್ದರೆ, ಒಂದು ವಾಸ್ತವ ಮೂಲವಿದೆ (ಪುನರಾವೃತ್ತ ಮೂಲ)
• $b^2 - 4ac < 0$ ಇದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ವಾಸ್ತವ ಮೂಲಗಳಿಲ್ಲ (ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮಾನಾಂತರ ಮೂಲಗಳು)

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ

ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಹೀಗಿದೆ:

1. ಇನ್ಪುಟ್ಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ:

   • $a$ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರಬಾರದು
   • ಗುಣಾಂಕಗಳು ಮಾನ್ಯ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, -1e10 ಮತ್ತು 1e10 ನಡುವಿನ) ಪರಿಶೀಲಿಸಿ

2. ವಿಭಜಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ: $\Delta = b^2 - 4ac$

3. ವಿಭಜಕ ಆಧಾರಿತವಾಗಿ ಮೂಲಗಳ ಸ್ವಭಾವವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ

4. ವಾಸ್ತವ ಮೂಲಗಳಿದ್ದರೆ, ಚತುರ್ಭುಜ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅವುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ ಮತ್ತು $x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$

5. ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಶುದ್ಧತೆಗೆ ಸುತ್ತಿಸಿ

6. ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಿ, ಒಳಗೊಂಡಂತೆ:

   • ಮೂಲಗಳ ಸ್ವಭಾವ
   • ಮೂಲಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು (ವಾಸ್ತವವಾದರೆ)
   • ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣ

ಇನ್ಪುಟ್ ಪರಿಶೀಲನೆ ಮತ್ತು ದೋಷ ನಿರ್ವಹಣೆ

ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಈ ಪರಿಶೀಲನೆಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ:

• ಗುಣಾಂಕ $a$ ಶೂನ್ಯವಾಗಬಾರದು. $a = 0$ ಇದ್ದರೆ, ದೋಷ ಸಂದೇಶವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
• ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರಬೇಕು. ಅಸಂಖ್ಯಾತ ಇನ್ಪುಟ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
• ಗುಣಾಂಕಗಳು ಸಮಂಜಸ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿರಬೇಕು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, -1e10 ಮತ್ತು 1e10 ನಡುವಿನ) ಓವರ್ಫ್ಲೋ ದೋಷಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು.

ಬಳಕೆದಾರ ಪ್ರಕರಣಗಳು

ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳು ವಿವಿಧ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ:

1. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ: ಪ್ರಾಜೆಕ್ಟೈಲ್ ಚಲನೆ, ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಬೀಳಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಕಾಲವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕುವುದು, ಮತ್ತು ಸರಳ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಚಲನೆಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ.

2. ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್: ಬೆಳಕು ಅಥವಾ ದೂರಸಂಚಾರಕ್ಕಾಗಿ ಪ್ಯಾರಬೋಲಿಕ್ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳನ್ನು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸುವುದು, ನಿರ್ಮಾಣ ಯೋಜನೆಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರದೇಶ ಅಥವಾ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಪರಿಮಿತಗೊಳಿಸುವುದು.

3. ಆರ್ಥಿಕಶಾಸ್ತ್ರ: ಒಪ್ಪಂದ ಮತ್ತು ಬೇಡಿಕೆ ವಕ್ರಗಳನ್ನು ಮಾದರೀಕರಿಸುವುದು, ಲಾಭ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಮಿತಗೊಳಿಸುವುದು.

4. ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್: ಪ್ಯಾರಬೋಲಿಕ್ ವಕ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮಟ್ಟಗಳನ್ನು ರೆಂಡರ್ ಮಾಡುವುದು, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕೃತಿಗಳ ನಡುವಿನ ಕಟಿಂಗ್‌ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕುವುದು.

5. ಹಣಕಾಸು: ಸಂಕೋಚನ ಬಡ್ಡಿಯ ಲೆಕ್ಕಹಾಕುವುದು, ಆಯ್ಕೆಯ ಬೆಲೆಯ ಮಾದರಿಗಳು.

6. ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರ: ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಬೆಳವಣಿಗೆ ಮಾದರೀಕರಣ.

ಪರ್ಯಾಯಗಳು

ಚತುರ್ಭುಜ ಸೂತ್ರವು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಶಕ್ತಿಯುತ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಕೆಲವು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ತವಾಗಿರುವ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನಗಳಿವೆ:

1. ಅಂಶಗಳನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸುವುದು: ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯಾ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಸರಳ ಅಂಕೀಯ ಮೂಲಗಳಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ, ವಿಂಗಡಿಸುವುದು ವೇಗವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದ ರಚನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಅರಿವು ನೀಡಬಹುದು.

2. ಚದರವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವುದು: ಈ ವಿಧಾನವು ಚತುರ್ಭುಜ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಉತ್ಪತ್ತಿ ಮಾಡಲು ಮತ್ತು ಚತುರ್ಭುಜ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಶ್ರೇಣೀಬದ್ಧ ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ.

3. ಗ್ರಾಫಿಕಲ್ ವಿಧಾನಗಳು: ಚತುರ್ಭುಜ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಲು ಮತ್ತು ಅದರ x-ಅಂತಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮೂಲಗಳ ದೃಷ್ಟಿ ಅರ್ಥವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ.

4. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳು: ಬಹಳ ದೊಡ್ಡ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಶುದ್ಧತೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುವಾಗ, ನ್ಯೂಟನ್-ರಾಫ್ಸನ್ ವಿಧಾನವು ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರಬಹುದು.

ಇತಿಹಾಸ

ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಇತಿಹಾಸವು ಪ್ರಾಚೀನ ನಾಗರಿಕತೆಗಳಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತದೆ:

• ಬಾಬಿಲೋನಿಯರು (ಸಂ. 2000 BC): ಚದರವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಂತೆ ಸಮಾನಾಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದರು.
• ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕರು (ಸಂ. 400 BC): ಭೂಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಕ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದರು.
• ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞರು (ಸಂ. 600 AD): ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತನು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮೊದಲ ಸ್ಪಷ್ಟ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೀಡಿದನು.
• ಇಸ್ಲಾಮಿಕ್ ಗೋಲ್ಡನ್ ಏಜ್ (ಸಂ. 800 AD): ಆಲ್-ಖ್ವಾರಿಜ್ಮಿ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾಗಿ ಅಲ್ಜೆಬ್ರಾ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದರು.
• ಪುನರುತ್ಥಾನ ಯುರೋಪ್: ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಲ್ಜೆಬ್ರಿಕ್ ಪರಿಹಾರ (ಚತುರ್ಭುಜ ಸೂತ್ರ) ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ತಿಳಿದ ಮತ್ತು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಚತುರ್ಭುಜ ಸೂತ್ರದ ಆಧುನಿಕ ರೂಪವು 16ನೇ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿ ಅಂತಿಮಗೊಳ್ಳಿತು, ಆದರೆ ಇದರ ಘಟಕಗಳು ಬಹಳ ಮೊದಲು ತಿಳಿದವು.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಇಲ್ಲಿವೆ ವಿವಿಧ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಭಾಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕೋಡ್ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

' Excel VBA Function for Quadratic Equation Solver
Function SolveQuadratic(a As Double, b As Double, c As Double) As String
    Dim discriminant As Double
    Dim x1 As Double, x2 As Double
    
    discriminant = b ^ 2 - 4 * a * c
    
    If discriminant > 0 Then
        x1 = (-b + Sqr(discriminant)) / (2 * a)
        x2 = (-b - Sqr(discriminant)) / (2 * a)
        SolveQuadratic = "ಎರಡು ವಾಸ್ತವ ಮೂಲಗಳು: x1 = " & x1 & ", x2 = " & x2
    ElseIf discriminant = 0 Then
        x1 = -b / (2 * a)
        SolveQuadratic = "ಒಂದು ವಾಸ್ತವ ಮೂಲ: x = " & x1
    Else
        SolveQuadratic = "ಯಾವುದೇ ವಾಸ್ತವ ಮೂಲಗಳಿಲ್ಲ"
    End If
End Function
' ಬಳಕೆ:
' =SolveQuadratic(1, 5, 6)

import math

def solve_quadratic(a, b, c):
    discriminant = b**2 - 4*a*c
    if discriminant > 0:
        x1 = (-b + math.sqrt(discriminant)) / (2*a)
        x2 = (-b - math.sqrt(discriminant)) / (2*a)
        return f"ಎರಡು ವಾಸ್ತವ ಮೂಲಗಳು: x₁ = {x1:.2f}, x₂ = {x2:.2f}"
    elif discriminant == 0:
        x = -b / (2*a)
        return f"ಒಂದು ವಾಸ್ತವ ಮೂಲ: x = {x:.2f}"
    else:
        return "ಯಾವುದೇ ವಾಸ್ತವ ಮೂಲಗಳಿಲ್ಲ"

# ಉದಾಹರಣೆ ಬಳಕೆ:
print(solve_quadratic(1, 5, 6))

function solveQuadratic(a, b, c) {
  const discriminant = b * b - 4 * a * c;
  if (discriminant > 0) {
    const x1 = (-b + Math.sqrt(discriminant)) / (2 * a);
    const x2 = (-b - Math.sqrt(discriminant)) / (2 * a);
    return `ಎರಡು ವಾಸ್ತವ ಮೂಲಗಳು: x₁ = ${x1.toFixed(2)}, x₂ = ${x2.toFixed(2)}`;
  } else if (discriminant === 0) {
    const x = -b / (2 * a);
    return `ಒಂದು ವಾಸ್ತವ ಮೂಲ: x = ${x.toFixed(2)}`;
  } else {
    return "ಯಾವುದೇ ವಾಸ್ತವ ಮೂಲಗಳಿಲ್ಲ";
  }
}

// ಉದಾಹರಣೆ ಬಳಕೆ:
console.log(solveQuadratic(1, 5, 6));

public class QuadraticSolver {
    public static String solveQuadratic(double a, double b, double c) {
        double discriminant = b * b - 4 * a * c;
        if (discriminant > 0) {
            double x1 = (-b + Math.sqrt(discriminant)) / (2 * a);
            double x2 = (-b - Math.sqrt(discriminant)) / (2 * a);
            return String.format("ಎರಡು ವಾಸ್ತವ ಮೂಲಗಳು: x₁ = %.2f, x₂ = %.2f", x1, x2);
        } else if (discriminant == 0) {
            double x = -b / (2 * a);
            return String.format("ಒಂದು ವಾಸ್ತವ ಮೂಲ: x = %.2f", x);
        } else {
            return "ಯಾವುದೇ ವಾಸ್ತವ ಮೂಲಗಳಿಲ್ಲ";
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(solveQuadratic(1, 5, 6));
    }
}

ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

1. ಎರಡು ವಾಸ್ತವ ಮೂಲಗಳು:

   • ಸಮೀಕರಣ: $x^2 + 5x + 6 = 0$
   • ಗುಣಾಂಕಗಳು: $a = 1$, $b = 5$, $c = 6$
   • ಫಲಿತಾಂಶ: ಎರಡು ವಾಸ್ತವ ಮೂಲಗಳು: $x_1 = -2.00$, $x_2 = -3.00$

2. ಒಂದು ವಾಸ್ತವ ಮೂಲ (ಪುನರಾವೃತ್ತ):

   • ಸಮೀಕರಣ: $x^2 + 4x + 4 = 0$
   • ಗುಣಾಂಕಗಳು: $a = 1$, $b = 4$, $c = 4$
   • ಫಲಿತಾಂಶ: ಒಂದು ವಾಸ್ತವ ಮೂಲ: $x = -2.00$

3. ಯಾವುದೇ ವಾಸ್ತವ ಮೂಲಗಳಿಲ್ಲ:

   • ಸಮೀಕರಣ: $x^2 + x + 1 = 0$
   • ಗುಣಾಂಕಗಳು: $a = 1$, $b = 1$, $c = 1$
   • ಫಲಿತಾಂಶ: ಯಾವುದೇ ವಾಸ್ತವ ಮೂಲಗಳಿಲ್ಲ

4. ದೊಡ್ಡ ಗುಣಾಂಕಗಳು:

   • ಸಮೀಕರಣ: $1000000x^2 + 5000000x + 6000000 = 0$
   • ಗುಣಾಂಕಗಳು: $a = 1000000$, $b = 5000000$, $c = 6000000$
   • ಫಲಿತಾಂಶ: ಎರಡು ವಾಸ್ತವ ಮೂಲಗಳು: $x_1 = -1.00$, $x_2 = -4.00$

ಚತುರ್ಭುಜ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ ಮಾಡುವುದು

ಚತುರ್ಭುಜ ಕಾರ್ಯ $f(x) = ax^2 + bx + c$ ಯ ಗ್ರಾಫ್ ಒಂದು ಪ್ಯಾರಬೋಲಾ. ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳು ಈ ಪ್ಯಾರಬೋಲಾದ x-ಅಂತಾರಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಬಂಧಿಸುತ್ತವೆ. ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶಗಳು:

• ಶಿಖರ: ಪ್ಯಾರಬೋಲಾದ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಅಥವಾ ಅತಿಕೀಳದ ಬಿಂದು, $(-b/(2a), f(-b/(2a)))$ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗಿದೆ
• ಸಮರೇಖಾ ಅಕ್ಷ: ಶಿಖರವನ್ನು ಹಾರಿಸುವ ತಿರುಗು ಬಿಂದು, $x = -b/(2a)$ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗಿದೆ
• y-ಅಂತಾರ: ಪ್ಯಾರಬೋಲಾ y-ಅಂತಾರವನ್ನು ದಾಟುವ ಬಿಂದು, $(0, c)$ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗಿದೆ

ಪ್ಯಾರಬೋಲಾದ ದಿಕ್ಕು ಮತ್ತು ಅಗಲವು ಗುಣಾಂಕ $a$ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಧಾರವಾಗುತ್ತದೆ:

• $a > 0$ ಇದ್ದರೆ, ಪ್ಯಾರಬೋಲಾ ಮೇಲಕ್ಕೆ ತೆರೆಯುತ್ತದೆ
• $a < 0$ ಇದ್ದರೆ, ಪ್ಯಾರಬೋಲಾ ಕೀಳಕ್ಕೆ ತೆರೆಯುತ್ತದೆ
• $a$ ಯ ಅತಿ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯವು ತೀವ್ರವಾದ ಪ್ಯಾರಬೋಲಾಗಳನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ

ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮೂಲಗಳ ಸ್ವಭಾವ ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವಿಲ್ಲದೆ ತಿಳಿಯಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಉಲ್ಲೇಖಗಳು

1. ವೈಸ್‌ಸ್ಟೈನ್, ಎರಿಕ್ ಡಬ್ಲ್ಯೂ. "ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣ." MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/QuadraticEquation.html
2. "ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣ." ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾ, ವಿಕಿಮೀಡಿಯಾ ಫೌಂಡೇಶನ್, https://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_equation
3. ಲಾರ್ಸನ್, ರಾನ್, ಮತ್ತು ಬ್ರೂಸ್ ಎಡ್ವರ್ಡ್ಸ್. ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್. 10ನೇ ಆವೃತ್ತಿ, ಸೆಂಗೇಜ್ ಲರ್ನಿಂಗ್, 2014.
4. ಸ್ಟೀವಾರ್ಟ್, ಜೇಮ್ಸ್. ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್: ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪರಿವರ್ತಕಗಳು. 8ನೇ ಆವೃತ್ತಿ, ಸೆಂಗೇಜ್ ಲರ್ನಿಂಗ್, 2015.
5. "ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣದ ಇತಿಹಾಸ." ಥಾಟ್ಕೋ, https://www.thoughtco.com/history-of-the-quadratic-equation-3126340