Penyelesai Persamaan Kuadratik

Penyelesai Persamaan Kuadratik

Pengenalan

Persamaan kuadratik adalah persamaan polinomial darjah kedua dalam satu pembolehubah. Dalam bentuk standardnya, persamaan kuadratik ditulis sebagai:

$ax^2 + bx + c = 0$

di mana $a$, $b$, dan $c$ adalah nombor nyata dan $a \neq 0$. Istilah $ax^2$ dipanggil istilah kuadratik, $bx$ adalah istilah linear, dan $c$ adalah istilah pemalar.

Kalkulator ini membolehkan anda menyelesaikan persamaan kuadratik dengan memasukkan koefisien $a$, $b$, dan $c$. Ia menggunakan formula kuadratik untuk mencari akar (penyelesaian) persamaan dan memberikan output yang jelas dan diformat tentang hasilnya.

Cara Menggunakan Kalkulator Ini

1. Masukkan koefisien $a$ (harus tidak sama dengan sifar)
2. Masukkan koefisien $b$
3. Masukkan koefisien $c$
4. Pilih ketepatan yang diingini untuk hasil (bilangan tempat perpuluhan)
5. Klik butang "Selesaikan"
6. Kalkulator akan memaparkan akar (jika ada) dan maklumat tambahan tentang sifat penyelesaian

Formula

Formula kuadratik digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadratik. Untuk persamaan dalam bentuk $ax^2 + bx + c = 0$, penyelesaian diberikan oleh:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Istilah di bawah akar kuadrat, $b^2 - 4ac$, dipanggil diskriminan. Ia menentukan sifat akar:

• Jika $b^2 - 4ac > 0$, terdapat dua akar nyata yang berbeza
• Jika $b^2 - 4ac = 0$, terdapat satu akar nyata (akar yang berulang)
• Jika $b^2 - 4ac < 0$, tiada akar nyata (dua akar konjugat kompleks)

Pengiraan

Kalkulator melakukan langkah-langkah berikut untuk menyelesaikan persamaan kuadratik:

1. Mengesahkan input:

   • Pastikan $a$ tidak sama dengan sifar
   • Semak jika koefisien berada dalam julat yang sah (contohnya, antara -1e10 dan 1e10)

2. Mengira diskriminan: $\Delta = b^2 - 4ac$

3. Menentukan sifat akar berdasarkan diskriminan

4. Jika akar nyata wujud, hitung mereka menggunakan formula kuadratik: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ dan $x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$

5. Bulatkan hasil kepada ketepatan yang ditentukan

6. Paparkan hasil, termasuk:

   • Sifat akar
   • Nilai akar (jika nyata)
   • Persamaan dalam bentuk standard

Pengesahan Input dan Pengendalian Ralat

Kalkulator melaksanakan pemeriksaan berikut:

• Koefisien $a$ mesti tidak sama dengan sifar. Jika $a = 0$, mesej ralat akan dipaparkan.
• Semua koefisien mesti nombor yang sah. Input bukan nombor akan ditolak.
• Koefisien mesti dalam julat yang munasabah (contohnya, antara -1e10 dan 1e10) untuk mengelakkan ralat overflow.

Kes Penggunaan

Persamaan kuadratik mempunyai pelbagai aplikasi dalam pelbagai bidang:

1. Fizik: Menerangkan gerakan peluru, mengira masa untuk objek jatuh, dan menganalisis gerakan harmonik sederhana.

2. Kejuruteraan: Merancang reflektor parabolik untuk pencahayaan atau telekomunikasi, mengoptimumkan kawasan atau volum dalam projek pembinaan.

3. Ekonomi: Memodelkan lengkung penawaran dan permintaan, mengoptimumkan fungsi keuntungan.

4. Grafik Komputer: Menghasilkan lengkung dan permukaan parabolik, mengira persilangan antara bentuk geometri.

5. Kewangan: Mengira faedah kompaun, model harga pilihan.

6. Biologi: Memodelkan pertumbuhan populasi dengan faktor pembatas.

Alternatif

Walaupun formula kuadratik adalah alat yang kuat untuk menyelesaikan persamaan kuadratik, terdapat kaedah alternatif yang mungkin lebih sesuai dalam situasi tertentu:

1. Memfaktorkan: Untuk persamaan dengan koefisien integer dan akar rasional yang mudah, memfaktorkan boleh menjadi lebih cepat dan memberikan lebih banyak pemahaman tentang struktur persamaan.

2. Melengkapkan Kuadrat: Kaedah ini berguna untuk mendapatkan formula kuadratik dan untuk mengubah fungsi kuadratik ke dalam bentuk puncak.

3. Kaedah Grafik: Memplot fungsi kuadratik dan mencari pemotongan x-nya boleh memberikan pemahaman visual tentang akar tanpa pengiraan eksplisit.

4. Kaedah Numerik: Untuk koefisien yang sangat besar atau apabila ketepatan tinggi diperlukan, kaedah numerik seperti kaedah Newton-Raphson boleh lebih stabil.

Sejarah

Sejarah persamaan kuadratik bermula sejak tamadun purba:

• Babilonia (c. 2000 SM): Menyelesaikan persamaan kuadratik tertentu menggunakan teknik yang setara dengan melengkapkan kuadrat.
• Yunani Purba (c. 400 SM): Menyelesaikan persamaan kuadratik secara geometri.
• Ahli matematik India (c. 600 M): Brahmagupta memberikan formula eksplisit pertama untuk menyelesaikan persamaan kuadratik.
• Zaman Keemasan Islam (c. 800 M): Al-Khwarizmi secara sistematik menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan kaedah aljabar.
• Eropah Renaissance: Penyelesaian aljabar umum (formula kuadratik) menjadi terkenal dan digunakan secara meluas.

Bentuk moden formula kuadratik telah dimuktamadkan pada abad ke-16, walaupun komponennya telah diketahui lebih awal.

Contoh

Berikut adalah contoh kod untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dalam pelbagai bahasa pengaturcaraan:

' Fungsi Excel VBA untuk Penyelesai Persamaan Kuadratik
Function SolveQuadratic(a As Double, b As Double, c As Double) As String
    Dim discriminant As Double
    Dim x1 As Double, x2 As Double
    
    discriminant = b ^ 2 - 4 * a * c
    
    If discriminant > 0 Then
        x1 = (-b + Sqr(discriminant)) / (2 * a)
        x2 = (-b - Sqr(discriminant)) / (2 * a)
        SolveQuadratic = "Dua akar nyata: x1 = " & x1 & ", x2 = " & x2
    ElseIf discriminant = 0 Then
        x1 = -b / (2 * a)
        SolveQuadratic = "Satu akar nyata: x = " & x1
    Else
        SolveQuadratic = "Tiada akar nyata"
    End If
End Function
' Penggunaan:
' =SolveQuadratic(1, 5, 6)

import math

def solve_quadratic(a, b, c):
    discriminant = b**2 - 4*a*c
    if discriminant > 0:
        x1 = (-b + math.sqrt(discriminant)) / (2*a)
        x2 = (-b - math.sqrt(discriminant)) / (2*a)
        return f"Dua akar nyata: x₁ = {x1:.2f}, x₂ = {x2:.2f}"
    elif discriminant == 0:
        x = -b / (2*a)
        return f"Satu akar nyata: x = {x:.2f}"
    else:
        return "Tiada akar nyata"

# Contoh penggunaan:
print(solve_quadratic(1, 5, 6))

function solveQuadratic(a, b, c) {
  const discriminant = b * b - 4 * a * c;
  if (discriminant > 0) {
    const x1 = (-b + Math.sqrt(discriminant)) / (2 * a);
    const x2 = (-b - Math.sqrt(discriminant)) / (2 * a);
    return `Dua akar nyata: x₁ = ${x1.toFixed(2)}, x₂ = ${x2.toFixed(2)}`;
  } else if (discriminant === 0) {
    const x = -b / (2 * a);
    return `Satu akar nyata: x = ${x.toFixed(2)}`;
  } else {
    return "Tiada akar nyata";
  }
}

// Contoh penggunaan:
console.log(solveQuadratic(1, 5, 6));

public class PenyelesaiKuadratik {
    public static String solveQuadratic(double a, double b, double c) {
        double discriminant = b * b - 4 * a * c;
        if (discriminant > 0) {
            double x1 = (-b + Math.sqrt(discriminant)) / (2 * a);
            double x2 = (-b - Math.sqrt(discriminant)) / (2 * a);
            return String.format("Dua akar nyata: x₁ = %.2f, x₂ = %.2f", x1, x2);
        } else if (discriminant == 0) {
            double x = -b / (2 * a);
            return String.format("Satu akar nyata: x = %.2f", x);
        } else {
            return "Tiada akar nyata";
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(solveQuadratic(1, 5, 6));
    }
}

Contoh Numerik

1. Dua akar nyata:

   • Persamaan: $x^2 + 5x + 6 = 0$
   • Koefisien: $a = 1$, $b = 5$, $c = 6$
   • Hasil: Dua akar nyata: $x_1 = -2.00$, $x_2 = -3.00$

2. Satu akar nyata (berulang):

   • Persamaan: $x^2 + 4x + 4 = 0$
   • Koefisien: $a = 1$, $b = 4$, $c = 4$
   • Hasil: Satu akar nyata: $x = -2.00$

3. Tiada akar nyata:

   • Persamaan: $x^2 + x + 1 = 0$
   • Koefisien: $a = 1$, $b = 1$, $c = 1$
   • Hasil: Tiada akar nyata

4. Koefisien besar:

   • Persamaan: $1000000x^2 + 5000000x + 6000000 = 0$
   • Koefisien: $a = 1000000$, $b = 5000000$, $c = 6000000$
   • Hasil: Dua akar nyata: $x_1 = -1.00$, $x_2 = -4.00$

Menggambarkan Fungsi Kuadratik

Graf fungsi kuadratik $f(x) = ax^2 + bx + c$ adalah sebuah parabola. Akar persamaan kuadratik bersamaan dengan pemotongan x parabola ini. Titik kunci pada graf termasuk:

• Puncak: Titik tertinggi atau terendah pada parabola, diberikan oleh $(-b/(2a), f(-b/(2a)))$
• Paksi simetri: Garis menegak yang melalui puncak, diberikan oleh $x = -b/(2a)$
• Pemotongan y: Titik di mana parabola memotong paksi y, diberikan oleh $(0, c)$

Arah dan lebar parabola ditentukan oleh koefisien $a$:

• Jika $a > 0$, parabola terbuka ke atas
• Jika $a < 0$, parabola terbuka ke bawah
• Nilai mutlak $a$ yang lebih besar menghasilkan parabola yang lebih sempit

Memahami graf boleh memberikan pandangan tentang sifat dan nilai akar tanpa pengiraan eksplisit.

Rujukan

1. Weisstein, Eric W. "Persamaan Kuadratik." Dari MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/QuadraticEquation.html
2. "Persamaan kuadratik." Wikipedia, Yayasan Wikimedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_equation
3. Larson, Ron, dan Bruce Edwards. Kalkulus. Edisi ke-10, Cengage Learning, 2014.
4. Stewart, James. Kalkulus: Transendental Awal. Edisi ke-8, Cengage Learning, 2015.
5. "Sejarah Persamaan Kuadratik." ThoughtCo, https://www.thoughtco.com/history-of-the-quadratic-equation-3126340