Quadratic Equation Solver

Introduction

ਇੱਕ ਕਵਾਡ੍ਰੈਟਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਦੂਜੀ ਦਰਜੇ ਦਾ ਪਾਲੀਨੋਮਿਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਵਾਰਤਕ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸਦੀ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਕਵਾਡ੍ਰੈਟਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:

$ax^2 + bx + c = 0$

ਜਿੱਥੇ $a$, $b$, ਅਤੇ $c$ ਅਸਲ ਨੰਬਰ ਹਨ ਅਤੇ $a \neq 0$। ਟਰਮ $ax^2$ ਨੂੰ ਕਵਾਡ੍ਰੈਟਿਕ ਟਰਮ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, $bx$ ਨੂੰ ਲੀਨੀਅਰ ਟਰਮ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ $c$ ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਟਰਮ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਇਹ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਤੁਹਾਨੂੰ ਕਵਾਡ੍ਰੈਟਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ ਕੋਐਫੀਸ਼ੀਅੰਟ $a$, $b$, ਅਤੇ $c$ ਦਾਖਲ ਕਰਦੇ ਹੋ। ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਜ roots ਂ (ਹੱਲਾਂ) ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕਵਾਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਸਾਫ਼, ਫਾਰਮੈਟ ਕੀਤੀ ਹੋਈ ਆਉਟਪੁੱਟ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।

How to Use This Calculator

1. ਕੋਐਫੀਸ਼ੀਅੰਟ $a$ ਦਾਖਲ ਕਰੋ (ਜੋ ਕਿ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੈ ਕਿ ਜ਼ੀਰੋ ਨਾ ਹੋਵੇ)
2. ਕੋਐਫੀਸ਼ੀਅੰਟ $b$ ਦਾਖਲ ਕਰੋ
3. ਕੋਐਫੀਸ਼ੀਅੰਟ $c$ ਦਾਖਲ ਕਰੋ
4. ਨਤੀਜਿਆਂ ਲਈ ਚਾਹੀਦੀ ਦਰਜਾ (ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ) ਚੁਣੋ
5. "Solve" ਬਟਨ 'ਤੇ ਕਲਿੱਕ ਕਰੋ
6. ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਜ roots ਂ ਨੂੰ ਦਿਖਾਏਗਾ (ਜੇ ਉਹ ਮੌਜੂਦ ਹਨ) ਅਤੇ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਤੀ ਬਾਰੇ ਵਾਧੂ ਜਾਣਕਾਰੀ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰੇਗਾ

Formula

ਕਵਾਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਕਵਾਡ੍ਰੈਟਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। $ax^2 + bx + c = 0$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ, ਹੱਲ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ਚੋਟੀ ਦੇ ਅੰਦਰ, $b^2 - 4ac$, ਨੂੰ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਜ roots ਂ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਤੀ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ:

• ਜੇ $b^2 - 4ac > 0$, ਤਾਂ ਦੋ ਵੱਖਰੇ ਅਸਲ ਜ roots ਹਨ
• ਜੇ $b^2 - 4ac = 0$, ਤਾਂ ਇੱਕ ਅਸਲ ਜ root (ਇੱਕ ਦੁਹਰਾਇਆ ਗਿਆ ਜ root )
• ਜੇ $b^2 - 4ac < 0$, ਤਾਂ ਕੋਈ ਅਸਲ ਜ roots ਨਹੀਂ ਹਨ (ਦੋ ਕੰਪਲੈਕਸ ਕਾਂਜੁਗੇਟ ਜ roots )

Calculation

ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਕਵਾਡ੍ਰੈਟਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਕਦਮ ਚਲਾਉਂਦਾ ਹੈ:

1. ਇਨਪੁਟ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ:

   • ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਓ ਕਿ $a$ ਜ਼ੀਰੋ ਨਹੀਂ ਹੈ
   • ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਓ ਕਿ ਕੋਐਫੀਸ਼ੀਅੰਟ ਇੱਕ ਵੈਧ ਰੇਂਜ ਵਿੱਚ ਹਨ (ਉਦਾਹਰਣ ਵਜੋਂ, -1e10 ਅਤੇ 1e10 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ)

2. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਕ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕਰੋ: $\Delta = b^2 - 4ac$

3. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਕ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਜ roots ਂ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਤੀ ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕਰੋ

4. ਜੇ ਅਸਲ ਜ roots ਮੌਜੂਦ ਹਨ, ਤਾਂ ਕਵਾਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕਰੋ: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ ਅਤੇ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$

5. ਨਤੀਜਿਆਂ ਨੂੰ ਚਾਹੀਦੀ ਦਰਜਾ ਵਿੱਚ ਗੋਲ ਕਰੋ

6. ਨਤੀਜੇ ਦਿਖਾਓ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ:

   • ਜ roots ਂ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਤੀ
   • ਜ roots ਦੇ ਮੂਲ ਮੁੱਲ (ਜੇ ਅਸਲ ਹੋ)
   • ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ

Input Validation and Error Handling

ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਚੈਕਾਂ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਦਾ ਹੈ:

• ਕੋਐਫੀਸ਼ੀਅੰਟ $a$ ਨੂੰ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੈ ਕਿ ਜ਼ੀਰੋ ਨਾ ਹੋਵੇ। ਜੇ $a = 0$, ਤਾਂ ਇੱਕ ਗਲਤੀ ਸੁਨੇਹਾ ਦਿਖਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
• ਸਾਰੇ ਕੋਐਫੀਸ਼ੀਅੰਟ ਵੈਧ ਨੰਬਰ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ। ਗੈਰ-ਸੰਖਿਆਤਮਿਕ ਇਨਪੁਟ ਨੂੰ ਰੱਦ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
• ਕੋਐਫੀਸ਼ੀਅੰਟ ਇੱਕ ਯੋਗ ਰੇਂਜ ਦੇ ਅੰਦਰ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ (ਉਦਾਹਰਣ ਵਜੋਂ, -1e10 ਅਤੇ 1e10 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ) ਤਾਕਿ ਓਵਰਫਲੋ ਗਲਤੀਆਂ ਤੋਂ ਬਚਿਆ ਜਾ ਸਕੇ।

Use Cases

ਕਵਾਡ੍ਰੈਟਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਕਈ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਅਰਜ਼ੀਆਂ ਹਨ:

1. ਭੌਤਿਕੀ: ਪ੍ਰੋਜੈਕਟਾਈਲ ਮੋਸ਼ਨ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨਾ, ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਡਿੱਗਣ ਲਈ ਸਮਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕਰਨਾ, ਅਤੇ ਸਧਾਰਣ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਮੋਸ਼ਨ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰਨਾ।

2. ਇੰਜੀਨੀਅਰਿੰਗ: ਰੋਸ਼ਨੀ ਜਾਂ ਟੈਲੀਕਮਿਊਨਿਕੇਸ਼ਨ ਲਈ ਪੈਰਾਬੋਲਿਕ ਰਿਫਲੈਕਟਰ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਕਰਨਾ, ਨਿਰਮਾਣ ਪ੍ਰਾਜੈਕਟਾਂ ਵਿੱਚ ਖੇਤਰ ਜਾਂ ਆਕਾਰ ਨੂੰ ਅਨੁਕੂਲ ਕਰਨਾ।

3. ਆਰਥਿਕਤਾ: ਸਪਲਾਈ ਅਤੇ ਮਾਂਗ ਦੇ ਵਕਰਾਂ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣਾ, ਨਫ਼ਾ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਅਨੁਕੂਲ ਕਰਨਾ।

4. ਕੰਪਿਊਟਰ ਗ੍ਰਾਫਿਕਸ: ਪੈਰਾਬੋਲਿਕ ਵਕਰਾਂ ਅਤੇ ਸਤਹਾਂ ਨੂੰ ਰੇਂਡਰ ਕਰਨਾ, ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਆਕਾਰਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਇੰਟਰਸੈਕਸ਼ਨ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕਰਨਾ।

5. ਵਿੱਤ: ਸੰਕਲਨ ਬਿਆਜ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕਰਨਾ, ਵਿਕਲਪ ਕੀਮਤਾਂ ਦੇ ਮਾਡਲ।

6. ਜੀਵ ਵਿਗਿਆਨ: ਸੀਮਿਤ ਕਾਰਕਾਂ ਨਾਲ ਆਬਾਦੀ ਦੀ ਵਾਧਾ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣਾ।

Alternatives

ਜਦੋਂ ਕਿ ਕਵਾਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਕਵਾਡ੍ਰੈਟਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸ਼ਕਤੀਸ਼ਾਲੀ ਸਾਧਨ ਹੈ, ਕੁਝ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚ ਹੋਰ ਵਿਕਲਪਿਕ ਵਿਧੀਆਂ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਹੋਰ ਉਚਿਤ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ:

1. ਫੈਕਟਰੀੰਗ: ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਨਾਲ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਪੂਰੇ ਕੋਐਫੀਸ਼ੀਅੰਟ ਅਤੇ ਸਧਾਰਣ ਰਾਸ਼ੀ ਦੇ ਜ roots ਹਨ, ਫੈਕਟਰੀੰਗ ਤੇਜ਼ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਸੰਰਚਨਾ ਵਿੱਚ ਹੋਰ ਜਾਣਕਾਰੀ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰ ਸਕਦੀ ਹੈ।

2. ਵਰਤਮਾਨ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨਾ: ਇਹ ਵਿਧੀ ਕਵਾਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਅਤੇ ਕਵਾਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਵਰਟੈਕਸ ਫਾਰਮ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਲਈ ਉਪਯੋਗੀ ਹੈ।

3. ਗ੍ਰਾਫਿਕਲ ਵਿਧੀਆਂ: ਕਵਾਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਪਲੌਟ ਕਰਨਾ ਅਤੇ ਇਸ ਦੇ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ ਜ roots ਂ ਦੀ ਵਿਜ਼ੂਅਲ ਸਮਝ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ।

4. ਨੰਬਰਾਤਮਕ ਵਿਧੀਆਂ: ਬਹੁਤ ਵੱਡੇ ਕੋਐਫੀਸ਼ੀਅੰਟਾਂ ਲਈ ਜਾਂ ਜਦੋਂ ਉੱਚ ਸ਼ੁੱਧਤਾ ਦੀ ਜ਼ਰੂਰਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਨੰਬਰਾਤਮਕ ਵਿਧੀਆਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਨਿਊਟਨ-ਰਾਫਸਨ ਪদ্ধਤੀ ਹੋਰ ਸਥਿਰ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ।

History

ਕਵਾਡ੍ਰੈਟਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਇਤਿਹਾਸ ਪ੍ਰਾਚੀਨ ਸਭਿਆਚਾਰਾਂ ਤੱਕ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ:

• ਬਾਬਿਲੋਨੀ (ਕ੍ਰੀ. ਪੂ. 2000): ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਦੇ ਤਰੀਕੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਖਾਸ ਕਵਾਡ੍ਰੈਟਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕੀਤਾ।
• ਪ੍ਰਾਚੀਨ ਯੂਨਾਨੀ (ਕ੍ਰੀ. ਪੂ. 400): ਜਯਾਮਿਤੀਕ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਕਵਾਡ੍ਰੈਟਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕੀਤਾ।
• ਭਾਰਤੀ ਗਣਿਤਜੀ (ਕ੍ਰੀ. ਪੂ. 600): ਬ੍ਰਹਮਗੁਪਤਾ ਨੇ ਕਵਾਡ੍ਰੈਟਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਪਹਿਲੀ ਸਪਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲਾ ਦਿੱਤੀ।
• ਇਸਲਾਮੀ ਸੋਨੇ ਦਾ ਯੁਗ (ਕ੍ਰੀ. ਪੂ. 800): ਅਲ-ਖਵਾਰਿਜਮੀ ਨੇ ਕਵਾਡ੍ਰੈਟਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਅਲਜੀਬਰਾ ਦੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਣਾਲੀਬੱਧ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕੀਤਾ।
• ਪੁਰਾਤਨ ਯੂਰਪ: ਆਮ ਅਲਜੀਬਰਾ ਦੇ ਹੱਲ (ਕਵਾਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫਾਰਮੂਲਾ) ਨੂੰ ਵਿਸ਼ਾਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਜਾਣਿਆ ਗਿਆ ਅਤੇ ਵਰਤਿਆ ਗਿਆ।

ਕਵਾਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦਾ ਆਧੁਨਿਕ ਰੂਪ 16ਵੀਂ ਸਦੀ ਵਿੱਚ ਅੰਤਿਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਆਇਆ, ਹਾਲਾਂਕਿ ਇਸ ਦੇ ਅੰਗ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਜਾਣੇ ਜਾਂਦੇ ਸਨ।

Examples

ਹੇਠਾਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮਿੰਗ ਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਕਵਾਡ੍ਰੈਟਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕੋਡ ਉਦਾਹਰਣ ਹਨ:

1' Excel VBA Function for Quadratic Equation Solver
2Function SolveQuadratic(a As Double, b As Double, c As Double) As String
3    Dim discriminant As Double
4    Dim x1 As Double, x2 As Double
5    
6    discriminant = b ^ 2 - 4 * a * c
7    
8    If discriminant > 0 Then
9        x1 = (-b + Sqr(discriminant)) / (2 * a)
10        x2 = (-b - Sqr(discriminant)) / (2 * a)
11        SolveQuadratic = "ਦੋ ਅਸਲ ਜ roots : x1 = " & x1 & ", x2 = " & x2
12    ElseIf discriminant = 0 Then
13        x1 = -b / (2 * a)
14        SolveQuadratic = "ਇੱਕ ਅਸਲ ਜ root : x = " & x1
15    Else
16        SolveQuadratic = "ਕੋਈ ਅਸਲ ਜ roots ਨਹੀਂ"
17    End If
18End Function
19' ਵਰਤੋਂ:
20' =SolveQuadratic(1, 5, 6)
21

1import math
2
3def solve_quadratic(a, b, c):
4    discriminant = b**2 - 4*a*c
5    if discriminant > 0:
6        x1 = (-b + math.sqrt(discriminant)) / (2*a)
7        x2 = (-b - math.sqrt(discriminant)) / (2*a)
8        return f"ਦੋ ਅਸਲ ਜ roots : x₁ = {x1:.2f}, x₂ = {x2:.2f}"
9    elif discriminant == 0:
10        x = -b / (2*a)
11        return f"ਇੱਕ ਅਸਲ ਜ root : x = {x:.2f}"
12    else:
13        return "ਕੋਈ ਅਸਲ ਜ roots ਨਹੀਂ"
14
15# ਉਦਾਹਰਣ ਵਰਤੋਂ:
16print(solve_quadratic(1, 5, 6))
17

1function solveQuadratic(a, b, c) {
2  const discriminant = b * b - 4 * a * c;
3  if (discriminant > 0) {
4    const x1 = (-b + Math.sqrt(discriminant)) / (2 * a);
5    const x2 = (-b - Math.sqrt(discriminant)) / (2 * a);
6    return `ਦੋ ਅਸਲ ਜ roots : x₁ = ${x1.toFixed(2)}, x₂ = ${x2.toFixed(2)}`;
7  } else if (discriminant === 0) {
8    const x = -b / (2 * a);
9    return `ਇੱਕ ਅਸਲ ਜ root : x = ${x.toFixed(2)}`;
10  } else {
11    return "ਕੋਈ ਅਸਲ ਜ roots ਨਹੀਂ";
12  }
13}
14
15// ਉਦਾਹਰਣ ਵਰਤੋਂ:
16console.log(solveQuadratic(1, 5, 6));
17

1public class QuadraticSolver {
2    public static String solveQuadratic(double a, double b, double c) {
3        double discriminant = b * b - 4 * a * c;
4        if (discriminant > 0) {
5            double x1 = (-b + Math.sqrt(discriminant)) / (2 * a);
6            double x2 = (-b - Math.sqrt(discriminant)) / (2 * a);
7            return String.format("ਦੋ ਅਸਲ ਜ roots : x₁ = %.2f, x₂ = %.2f", x1, x2);
8        } else if (discriminant == 0) {
9            double x = -b / (2 * a);
10            return String.format("ਇੱਕ ਅਸਲ ਜ root : x = %.2f", x);
11        } else {
12            return "ਕੋਈ ਅਸਲ ਜ roots ਨਹੀਂ";
13        }
14    }
15
16    public static void main(String[] args) {
17        System.out.println(solveQuadratic(1, 5, 6));
18    }
19}
20

Numerical Examples

1. ਦੋ ਅਸਲ ਜ roots:

   • ਸਮੀਕਰਨ: $x^2 + 5x + 6 = 0$
   • ਕੋਐਫੀਸ਼ੀਅੰਟ: $a = 1$, $b = 5$, $c = 6$
   • ਨਤੀਜਾ: ਦੋ ਅਸਲ ਜ roots: $x_1 = -2.00$, $x_2 = -3.00$

2. ਇੱਕ ਅਸਲ ਜ root (ਦੁਹਰਾਇਆ ਗਿਆ):

   • ਸਮੀਕਰਨ: $x^2 + 4x + 4 = 0$
   • ਕੋਐਫੀਸ਼ੀਅੰਟ: $a = 1$, $b = 4$, $c = 4$
   • ਨਤੀਜਾ: ਇੱਕ ਅਸਲ ਜ root: $x = -2.00$

3. ਕੋਈ ਅਸਲ ਜ roots ਨਹੀਂ:

   • ਸਮੀਕਰਨ: $x^2 + x + 1 = 0$
   • ਕੋਐਫੀਸ਼ੀਅੰਟ: $a = 1$, $b = 1$, $c = 1$
   • ਨਤੀਜਾ: ਕੋਈ ਅਸਲ ਜ roots ਨਹੀਂ

4. ਵੱਡੇ ਕੋਐਫੀਸ਼ੀਅੰਟ:

   • ਸਮੀਕਰਨ: $1000000x^2 + 5000000x + 6000000 = 0$
   • ਕੋਐਫੀਸ਼ੀਅੰਟ: $a = 1000000$, $b = 5000000$, $c = 6000000$
   • ਨਤੀਜਾ: ਦੋ ਅਸਲ ਜ roots: $x_1 = -1.00$, $x_2 = -4.00$

Graphing Quadratic Functions

ਕਵਾਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ $f(x) = ax^2 + bx + c$ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕਵਾਡ੍ਰੈਟਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਜ roots ਇਸ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੇ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਕੁਝ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ:

• ਵਰਟੈਕਸ: ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚਾ ਜਾਂ ਸਭ ਤੋਂ ਨੀਚਾ ਬਿੰਦੂ, ਜੋ $(-b/(2a), f(-b/(2a)))$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
• ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧਾਰਾ: ਵਰਟੈਕਸ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਬੀ ਰੇਖਾ, ਜੋ $x = -b/(2a)$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ
• y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ: ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦਾ y-ਧੁਰਾ ਨੂੰ ਕੱਟਣ ਵਾਲਾ ਬਿੰਦੂ, ਜੋ $(0, c)$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ

ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੇ ਦਿਸ਼ਾ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ ਨੂੰ ਕੋਐਫੀਸ਼ੀਅੰਟ $a$ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:

• ਜੇ $a > 0$, ਤਾਂ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਉੱਪਰ ਖੁਲਦਾ ਹੈ
• ਜੇ $a < 0$, ਤਾਂ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਹੇਠਾਂ ਖੁਲਦਾ ਹੈ
• $a$ ਦੇ ਵੱਡੇ ਅਬਸੋਲਿਊਟ ਮੁੱਲ ਸੰਗੀਨ ਪੈਰਾਬੋਲਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਨ

ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਸਮਝਣਾ ਜ roots ਂ ਦੇ ਮੁੱਲ ਅਤੇ ਪ੍ਰਕਿਰਤੀ ਬਾਰੇ ਜਾਣਕਾਰੀ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ ਬਿਨਾਂ ਕਿਸੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਗਿਣਤੀ ਦੇ।

References

1. Weisstein, Eric W. "Quadratic Equation." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/QuadraticEquation.html
2. "Quadratic equation." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_equation
3. Larson, Ron, and Bruce Edwards. Calculus. 10th ed., Cengage Learning, 2014.
4. Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. 8th ed., Cengage Learning, 2015.
5. "The History of the Quadratic Equation." ThoughtCo, https://www.thoughtco.com/history-of-the-quadratic-equation-3126340