محاسبه شعاع دایره با استفاده از قطر و محیط و مساحت

شعاع دایره را با استفاده از قطر، محیط یا مساحت محاسبه کنید. ایده‌آل برای محاسبات هندسه و درک خواص دایره.

ماشین‌حساب شعاع دایره

📚

مستندات

ماشین حساب شعاع دایره

مقدمه

شعاع دایره یکی از ویژگی‌های بنیادی آن است. این فاصله از مرکز دایره تا هر نقطه‌ای بر روی محیط آن است. این ماشین حساب به شما امکان می‌دهد تا شعاع دایره را بر اساس سه پارامتر ورودی مختلف تعیین کنید:

  1. قطر
  2. محیط
  3. مساحت

با ارائه هر یک از این مقادیر، می‌توانید شعاع را با استفاده از روابط ریاضی موجود در هندسه دایره محاسبه کنید.

فرمول

شعاع می‌تواند از قطر، محیط یا مساحت با استفاده از فرمول‌های زیر محاسبه شود:

  1. از قطر (dd):

    r=d2r = \frac{d}{2}
  2. از محیط (CC):

    r=C2πr = \frac{C}{2\pi}
  3. از مساحت (AA):

    r=Aπr = \sqrt{\frac{A}{\pi}}

این فرمول‌ها از ویژگی‌های پایه‌ای دایره مشتق شده‌اند:

  • قطر: قطر دو برابر شعاع است (d=2rd = 2r).
  • محیط: محیط فاصله دور دایره است (C=2πrC = 2\pi r).
  • مساحت: مساحت محصور شده توسط دایره (A=πr2A = \pi r^2).

محاسبه

محاسبه شعاع از قطر

با توجه به قطر، شعاع به سادگی نصف آن است:

r=d2r = \frac{d}{2}

مثال:

اگر قطر 10 واحد باشد:

r=102=5 واحدr = \frac{10}{2} = 5 \text{ واحد}

محاسبه شعاع از محیط

با شروع از فرمول محیط:

C=2πrC = 2\pi r

حل برای rr:

r=C2πr = \frac{C}{2\pi}

مثال:

اگر محیط 31.415931.4159 واحد باشد:

r=31.41592π31.41596.28325 واحدr = \frac{31.4159}{2\pi} \approx \frac{31.4159}{6.2832} \approx 5 \text{ واحد}

محاسبه شعاع از مساحت

با شروع از فرمول مساحت:

A=πr2A = \pi r^2

حل برای rr:

r=Aπr = \sqrt{\frac{A}{\pi}}

مثال:

اگر مساحت 78.539878.5398 واحد مربع باشد:

r=78.5398π=78.53983.141625=5 واحدr = \sqrt{\frac{78.5398}{\pi}} = \sqrt{\frac{78.5398}{3.1416}} \approx \sqrt{25} = 5 \text{ واحد}

موارد حاشیه‌ای و اعتبارسنجی ورودی

  • ورودی‌های صفر یا منفی: یک دایره نمی‌تواند قطر، محیط یا مساحت منفی یا صفر داشته باشد. اگر هر یک از این مقادیر صفر یا منفی باشد، شعاع تعریف نشده است. ماشین حساب در این موارد یک پیام خطا نمایش خواهد داد.

  • ورودی‌های غیر عددی: ماشین حساب به ورودی‌های عددی نیاز دارد. مقادیر غیر عددی (مانند حروف یا نمادها) نامعتبر هستند.

دقت و گرد کردن

این ماشین حساب از حساب عددی با دقت دوگانه برای محاسبات استفاده می‌کند. نتایج معمولاً به چهار رقم اعشار گرد می‌شوند تا دقت بیشتری داشته باشند. هنگام استفاده از ثابت‌های ریاضی مانند π\pi، ماشین حساب از حداکثر دقت موجود در زبان برنامه‌نویسی یا محیط استفاده می‌کند. توجه داشته باشید که حساب عددی می‌تواند در برخی موارد خطاهای گرد کردن کوچکی را وارد کند.

موارد استفاده

محاسبه شعاع یک دایره در زمینه‌های مختلف ضروری است:

مهندسی و ساخت و ساز

  • طراحی اجزای دایره‌ای: مهندسان اغلب نیاز دارند تا شعاع را هنگام طراحی چرخ‌ها، دنده‌ها، لوله‌ها یا گنبدها تعیین کنند.

  • معماری: معماران از شعاع برای طراحی قوس‌ها، گنبدها و ساختمان‌های دایره‌ای استفاده می‌کنند.

نجوم

  • مدارهای سیاره‌ای: ستاره‌شناسان شعاع مدارهای سیاره‌ای را بر اساس داده‌های مشاهداتی محاسبه می‌کنند.

  • اجسام آسمانی: تعیین اندازه‌های سیارات، ستاره‌ها و سایر اجسام آسمانی.

حل مشکلات روزمره

  • هنر و طراحی: هنرمندان و طراحان شعاع را برای ایجاد الگوها و طراحی‌های دایره‌ای محاسبه می‌کنند.

  • پروژه‌های DIY: محاسبه مواد مورد نیاز برای میزها، باغ‌ها یا فواره‌های دایره‌ای.

ریاضیات و آموزش

  • یادگیری هندسه: درک ویژگی‌های دایره‌ها در آموزش هندسه بنیادی است.

  • حل مسائل: محاسبات شعاع در مسائل و مسابقات ریاضی رایج است.

گزینه‌های جایگزین

در حالی که شعاع یک ویژگی اصلی است، گاهی اوقات سایر ویژگی‌های دایره‌ای به طور مستقیم راحت‌تر اندازه‌گیری می‌شوند:

  • اندازه‌گیری طول وتر: مفید است زمانی که نقاط ثابتی بر روی یک دایره دارید و نیاز به محاسبه شعاع دارید.

  • استفاده از مساحت بخش یا طول قوس: در مواردی که شامل بخش‌های جزئی از یک دایره است.

تاریخچه

مطالعه دایره‌ها به تمدن‌های باستانی برمی‌گردد:

  • هندسه باستان: دایره از زمان مصریان و بابلی‌ها مورد مطالعه قرار گرفته است.

  • عناصر اقلیدس: حدود 300 سال قبل از میلاد، اقلیدس دایره و ویژگی‌های آن را در اثر برجسته‌اش، عناصر تعریف کرد.

  • آرشمیدس: روش‌هایی برای تقریب π\pi ارائه داد و مساحت‌ها و حجم‌های مربوط به دایره‌ها و کره‌ها را محاسبه کرد.

  • توسعه π\pi: در طول قرن‌ها، ریاضیدانانی مانند لیو هوی، زو چونگ‌ژی، آریابهاتا و در نهایت جان والیس و آیزاک نیوتن مقدار و درک π\pi را اصلاح کردند.

شعاع همچنان یک مفهوم بنیادی نه تنها در هندسه بلکه در فیزیک، مهندسی و علوم کاربردی مختلف باقی مانده است.

مثال‌ها

در اینجا مثال‌های کد در چندین زبان برنامه‌نویسی برای محاسبه شعاع از قطر، محیط و مساحت آورده شده است.

از قطر

پایتون
1## محاسبه شعاع از قطر
2def radius_from_diameter(diameter):
3    if diameter <= 0:
4        raise ValueError("قطر باید بزرگتر از صفر باشد.")
5    return diameter / 2
6
7## مثال استفاده
8d = 10
9r = radius_from_diameter(d)
10print(f"شعاع {r} واحد است.")
11
جاوا اسکریپت
1// محاسبه شعاع از قطر
2function radiusFromDiameter(diameter) {
3    if (diameter <= 0) {
4        throw new Error("قطر باید بزرگتر از صفر باشد.");
5    }
6    return diameter / 2;
7}
8
9// مثال استفاده
10let d = 10;
11let r = radiusFromDiameter(d);
12console.log(`شعاع ${r} واحد است.`);
13
جاوا
1public class CircleRadiusCalculator {
2    public static double radiusFromDiameter(double diameter) {
3        if (diameter <= 0) {
4            throw new IllegalArgumentException("قطر باید بزرگتر از صفر باشد.");
5        }
6        return diameter / 2;
7    }
8
9    public static void main(String[] args) {
10        double d = 10;
11        double r = radiusFromDiameter(d);
12        System.out.printf("شعاع %.2f واحد است.%n", r);
13    }
14}
15
C++
1// محاسبه شعاع از قطر
2#include <iostream>
3#include <stdexcept>
4
5double radiusFromDiameter(double diameter) {
6    if (diameter <= 0) {
7        throw std::invalid_argument("قطر باید بزرگتر از صفر باشد.");
8    }
9    return diameter / 2.0;
10}
11
12int main() {
13    double d = 10.0;
14    try {
15        double r = radiusFromDiameter(d);
16        std::cout << "شعاع " << r << " واحد است." << std::endl;
17    } catch (const std::exception& e) {
18        std::cerr << e.what() << std::endl;
19    }
20    return 0;
21}
22
R
1## محاسبه شعاع از قطر
2radius_from_diameter <- function(diameter) {
3  if (diameter <= 0) {
4    stop("قطر باید بزرگتر از صفر باشد.")
5  }
6  return(diameter / 2)
7}
8
9## مثال استفاده
10d <- 10
11r <- radius_from_diameter(d)
12cat(sprintf("شعاع %.2f واحد است.\n", r))
13
روبی
1## محاسبه شعاع از قطر
2def radius_from_diameter(diameter)
3  raise ArgumentError, "قطر باید بزرگتر از صفر باشد." if diameter <= 0
4  diameter / 2.0
5end
6
7## مثال استفاده
8d = 10
9r = radius_from_diameter(d)
10puts "شعاع #{r} واحد است."
11
PHP
1<?php
2// محاسبه شعاع از قطر
3function radiusFromDiameter($diameter) {
4    if ($diameter <= 0) {
5        throw new Exception('قطر باید بزرگتر از صفر باشد.');
6    }
7    return $diameter / 2;
8}
9
10// مثال استفاده
11$d = 10;
12$r = radiusFromDiameter($d);
13echo "شعاع {$r} واحد است.";
14?>
15
راست
1// محاسبه شعاع از قطر
2fn radius_from_diameter(diameter: f64) -> Result<f64, &'static str> {
3    if diameter <= 0.0 {
4        return Err("قطر باید بزرگتر از صفر باشد.");
5    }
6    Ok(diameter / 2.0)
7}
8
9fn main() {
10    let d = 10.0;
11    match radius_from_diameter(d) {
12        Ok(r) => println!("شعاع {:.2} واحد است.", r),
13        Err(e) => println!("{}", e),
14    }
15}
16
سوئیفت
1import Foundation
2
3// محاسبه شعاع از قطر
4func radiusFromDiameter(_ diameter: Double) throws -> Double {
5    if diameter <= 0 {
6        throw NSError(domain: "InvalidInput", code: 0, userInfo: [NSLocalizedDescriptionKey: "قطر باید بزرگتر از صفر باشد."])
7    }
8    return diameter / 2.0
9}
10
11// مثال استفاده
12do {
13    let d = 10.0
14    let r = try radiusFromDiameter(d)
15    print("شعاع \(r) واحد است.")
16} catch {
17    print(error.localizedDescription)
18}
19

از محیط

پایتون
1import math
2
3## محاسبه شعاع از محیط
4def radius_from_circumference(circumference):
5    if circumference <= 0:
6        raise ValueError("محیط باید بزرگتر از صفر باشد.")
7    return circumference / (2 * math.pi)
8
9## مثال استفاده
10C = 31.4159
11r = radius_from_circumference(C)
12print(f"شعاع {r:.2f} واحد است.")
13
جاوا اسکریپت
1// محاسبه شعاع از محیط
2function radiusFromCircumference(circumference) {
3    if (circumference <= 0) {
4        throw new Error("محیط باید بزرگتر از صفر باشد.");
5    }
6    return circumference / (2 * Math.PI);
7}
8
9// مثال استفاده
10let C = 31.4159;
11let r = radiusFromCircumference(C);
12console.log(`شعاع ${r.toFixed(2)} واحد است.`);
13
جاوا
1public class CircleRadiusCalculator {
2    public static double radiusFromCircumference(double circumference) {
3        if (circumference <= 0) {
4            throw new IllegalArgumentException("محیط باید بزرگتر از صفر باشد.");
5        }
6        return circumference / (2 * Math.PI);
7    }
8
9    public static void main(String[] args) {
10        double C = 31.4159;
11        double r = radiusFromCircumference(C);
12        System.out.printf("شعاع %.2f واحد است.%n", r);
13    }
14}
15
C++
1// محاسبه شعاع از محیط
2#include <iostream>
3#include <cmath>
4#include <stdexcept>
5
6double radiusFromCircumference(double circumference) {
7    if (circumference <= 0) {
8        throw std::invalid_argument("محیط باید بزرگتر از صفر باشد.");
9    }
10    return circumference / (2.0 * M_PI);
11}
12
13int main() {
14    double C = 31.4159;
15    try {
16        double r = radiusFromCircumference(C);
17        std::cout << "شعاع " << r << " واحد است." << std::endl;
18    } catch (const std::exception& e) {
19        std::cerr << e.what() << std::endl;
20    }
21    return 0;
22}
23
R
1## محاسبه شعاع از محیط
2radius_from_circumference <- function(circumference) {
3  if (circumference <= 0) {
4    stop("محیط باید بزرگتر از صفر باشد.")
5  }
6  return(circumference / (2 * pi))
7}
8
9## مثال استفاده
10C <- 31.4159
11r <- radius_from_circumference(C)
12cat(sprintf("شعاع %.2f واحد است.\n", r))
13
روبی
1## محاسبه شعاع از محیط
2def radius_from_circumference(circumference)
3  raise ArgumentError, "محیط باید بزرگتر از صفر باشد." if circumference <= 0
4  circumference / (2 * Math::PI)
5end
6
7## مثال استفاده
8C = 31.4159
9r = radius_from_circumference(C)
10puts "شعاع #{format('%.2f', r)} واحد است."
11
PHP
1<?php
2// محاسبه شعاع از محیط
3function radiusFromCircumference($circumference) {
4    if ($circumference <= 0) {
5        throw new Exception('محیط باید بزرگتر از صفر باشد.');
6    }
7    return $circumference / (2 * M_PI);
8}
9
10// مثال استفاده
11$C = 31.4159;
12$r = radiusFromCircumference($C);
13echo "شعاع " . round($r, 2) . " واحد است.";
14?>
15
راست
1use std::f64::consts::PI;
2
3// محاسبه شعاع از محیط
4fn radius_from_circumference(circumference: f64) -> Result<f64, &'static str> {
5    if circumference <= 0.0 {
6        return Err("محیط باید بزرگتر از صفر باشد.");
7    }
8    Ok(circumference / (2.0 * PI))
9}
10
11fn main() {
12    let C = 31.4159;
13    match radius_from_circumference(C) {
14        Ok(r) => println!("شعاع {:.2} واحد است.", r),
15        Err(e) => println!("{}", e),
16    }
17}
18
سوئیفت
1import Foundation
2
3// محاسبه شعاع از محیط
4func radiusFromCircumference(_ circumference: Double) throws -> Double {
5    if circumference <= 0 {
6        throw NSError(domain: "InvalidInput", code: 0, userInfo: [NSLocalizedDescriptionKey: "محیط باید بزرگتر از صفر باشد."])
7    }
8    return circumference / (2 * Double.pi)
9}
10
11// مثال استفاده
12do {
13    let C = 31.4159
14    let r = try radiusFromCircumference(C)
15    print(String(format: "شعاع %.2f واحد است.", r))
16} catch {
17    print(error.localizedDescription)
18}
19

از مساحت

پایتون
1import math
2
3## محاسبه شعاع از مساحت
4def radius_from_area(area):
5    if area <= 0:
6        raise ValueError("مساحت باید بزرگتر از صفر باشد.")
7    return math.sqrt(area / math.pi)
8
9## مثال استفاده
10A = 78.5398
11r = radius_from_area(A)
12print(f"شعاع {r:.2f} واحد است.")
13
جاوا اسکریپت
1// محاسبه شعاع از مساحت
2function radiusFromArea(area) {
3    if (area <= 0) {
4        throw new Error("مساحت باید بزرگتر از صفر باشد.");
5    }
6    return Math.sqrt(area / Math.PI);
7}
8
9// مثال استفاده
10let A = 78.5398;
11let r = radiusFromArea(A);
12console.log(`شعاع ${r.toFixed(2)} واحد است.`);
13
جاوا
1public class CircleRadiusCalculator {
2    public static double radiusFromArea(double area) {
3        if (area <= 0) {
4            throw new IllegalArgumentException("مساحت باید بزرگتر از صفر باشد.");
5        }
6        return Math.sqrt(area / Math.PI);
7    }
8
9    public static void main(String[] args) {
10        double A = 78.5398;
11        double r = radiusFromArea(A);
12        System.out.printf("شعاع %.2f واحد است.%n", r);
13    }
14}
15
C++
1// محاسبه شعاع از مساحت
2#include <iostream>
3#include <cmath>
4#include <stdexcept>
5
6double radiusFromArea(double area) {
7    if (area <= 0) {
8        throw std::invalid_argument("مساحت باید بزرگتر از صفر باشد.");
9    }
10    return std::sqrt(area / M_PI);
11}
12
13int main() {
14    double A = 78.5398;
15    try {
16        double r = radiusFromArea(A);
17        std::cout << "شعاع " << r << " واحد است." << std::endl;
18    } catch (const std::exception& e) {
19        std::cerr << e.what() << std::endl;
20    }
21    return 0;
22}
23
R
1## محاسبه شعاع از مساحت
2radius_from_area <- function(area) {
3  if (area <= 0) {
4    stop("مساحت باید بزرگتر از صفر باشد.")
5  }
6  return(sqrt(area / pi))
7}
8
9## مثال استفاده
10A <- 78.5398
11r <- radius_from_area(A)
12cat(sprintf("شعاع %.2f واحد است.\n", r))
13
MATLAB
1% محاسبه شعاع از مساحت
2function r = radius_from_area(area)
3    if area <= 0
4        error('مساحت باید بزرگتر از صفر باشد.');
5    end
6    r = sqrt(area / pi);
7end
8
9% مثال استفاده
10A = 78.5398;
11r = radius_from_area(A);
12fprintf('شعاع %.2f واحد است.\n', r);
13
C#
1using System;
2
3class CircleRadiusCalculator
4{
5    public static double RadiusFromArea(double area)
6    {
7        if (area <= 0)
8            throw new ArgumentException("مساحت باید بزرگتر از صفر باشد.");
9        return Math.Sqrt(area / Math.PI);
10    }
11
12    static void Main()
13    {
14        double A = 78.5398;
15        double r = RadiusFromArea(A);
16        Console.WriteLine("شعاع {0:F2} واحد است.", r);
17    }
18}
19
Go
1package main
2
3import (
4	"fmt"
5	"math"
6)
7
8func radiusFromArea(area float64) (float64, error) {
9	if area <= 0 {
10		return 0, fmt.Errorf("مساحت باید بزرگتر از صفر باشد.")
11	}
12	return math.Sqrt(area / math.Pi), nil
13}
14
15func main() {
16	A := 78.5398
17	r, err := radiusFromArea(A)
18	if err != nil {
19		fmt.Println(err)
20		return
21	}
22	fmt.Printf("شعاع %.2f واحد است.\n", r)
23}
24
روبی
1## محاسبه شعاع از مساحت
2def radius_from_area(area)
3  raise ArgumentError, "مساحت باید بزرگتر از صفر باشد." if area <= 0
4  Math.sqrt(area / Math::PI)
5end
6
7## مثال استفاده
8A = 78.5398
9r = radius_from_area(A)
10puts "شعاع #{format('%.2f', r)} واحد است."
11
PHP
1<?php
2// محاسبه شعاع از مساحت
3function radiusFromArea($area) {
4    if ($area <= 0) {
5        throw new Exception('مساحت باید بزرگتر از صفر باشد.');
6    }
7    return sqrt($area / M_PI);
8}
9
10// مثال استفاده
11$A = 78.5398;
12$r = radiusFromArea($A);
13echo "شعاع " . round($r, 2) . " واحد است.";
14?>
15
راست
1use std::f64::consts::PI;
2
3// محاسبه شعاع از مساحت
4fn radius_from_area(area: f64) -> Result<f64, &'static str> {
5    if area <= 0.0 {
6        return Err("مساحت باید بزرگتر از صفر باشد.");
7    }
8    Ok((area / PI).sqrt())
9}
10
11fn main() {
12    let A = 78.5398;
13    match radius_from_area(A) {
14        Ok(r) => println!("شعاع {:.2} واحد است.", r),
15        Err(e) => println!("{}", e),
16    }
17}
18
سوئیفت
1import Foundation
2
3// محاسبه شعاع از مساحت
4func radiusFromArea(_ area: Double) throws -> Double {
5    if area <= 0 {
6        throw NSError(domain: "InvalidInput", code: 0, userInfo: [NSLocalizedDescriptionKey: "مساحت باید بزرگتر از صفر باشد."])
7    }
8    return sqrt(area / Double.pi)
9}
10
11// مثال استفاده
12do {
13    let A = 78.5398
14    let r = try radiusFromArea(A)
15    print(String(format: "شعاع %.2f واحد است.", r))
16} catch {
17    print(error.localizedDescription)
18}
19

اکسل

1## محاسبه شعاع از قطر در سلول B1
2=IF(B1>0, B1/2, "ورودی نامعتبر")
3
4## محاسبه شعاع از محیط در سلول B2
5=IF(B2>0, B2/(2*PI()), "ورودی نامعتبر")
6
7## محاسبه شعاع از مساحت در سلول B3
8=IF(B3>0, SQRT(B3/PI()), "ورودی نامعتبر")
9

تجسم

یک نمودار SVG که رابطه بین شعاع، قطر و محیط را نشان می‌دهد:

شعاع (r) قطر (d) محیط (C)

منابع

  1. دایره - ویکی‌پدیا
  2. محیط - ریاضیات سرگرم‌کننده
  3. مساحت دایره - آکادمی خان
  4. تاریخچه π\pi - ویکی‌پدیا