محاسبه نمره خام از میانگین و انحراف معیار

محاسبه نمره خام

مقدمه

نمره خام یک مفهوم بنیادی در آمار است که نمایانگر داده اصلی و بدون تغییر در یک مجموعه داده است. این مقدار قبل از هرگونه استانداردسازی یا نرمال‌سازی است. هنگام کار با نمرات استاندارد شده مانند نمرات z، ممکن است نیاز باشد که به نمره خام برگردید تا نتایج را در زمینه اصلی تفسیر کنید. این ماشین‌حساب به شما کمک می‌کند تا نمره خام را از میانگین، انحراف معیار و نمره z تعیین کنید.

فرمول

نمره خام $x$ را می‌توان با استفاده از فرمول زیر محاسبه کرد:

x = \mu + z \times \sigma

که در آن:

$x$ = نمره خام
$\mu$ = میانگین مجموعه داده
$\sigma$ = انحراف معیار مجموعه داده
$z$ = نمره z مربوط به نمره خام

نمودار

نمودار زیر منحنی توزیع نرمال را نشان می‌دهد که میانگین ( $\mu$ )، انحراف معیارها ( $\sigma$ ) و نمرات z ( $z$ ) را نشان می‌دهد:

توجه: نمودار SVG توزیع نرمال استاندارد را نشان می‌دهد و نشان می‌دهد که چگونه نمره خام به میانگین و انحراف معیارها مربوط می‌شود.

مراحل محاسبه

شناسایی میانگین ( $\mu$ ): میانگین مجموعه داده خود را تعیین کنید.
تعیین انحراف معیار ( $\sigma$ ): محاسبه کنید که داده‌ها چقدر از میانگین متغیر هستند.
به‌دست آوردن نمره z ( $z$ ): تعداد انحراف معیارهایی که یک نقطه داده از میانگین فاصله دارد.
محاسبه نمره خام ( $x$ ): مقادیر را در فرمول قرار دهید تا نقطه داده اصلی را پیدا کنید.

موارد حاشیه‌ای و ملاحظات

انحراف معیار صفر یا منفی: انحراف معیار صفر نشان‌دهنده عدم تنوع در داده‌ها است؛ تمام نقاط داده مشابه میانگین هستند. انحراف معیار منفی ممکن نیست. اطمینان حاصل کنید که $\sigma > 0$ .
نمرات z افراطی: در حالی که نمرات z معمولاً بین -3 و 3 در یک توزیع نرمال قرار دارند، مقادیر خارج از این محدوده ممکن است رخ دهند و نمایانگر نقاط دورافتاده هستند.
محدودیت‌های میانگین یا انحراف معیار: مقادیر بسیار بزرگ یا کوچک میانگین یا انحراف معیار می‌تواند منجر به محاسباتی شود که از محدودیت‌های عملی یا محاسباتی فراتر رود.

موارد استفاده

ارزیابی‌های آموزشی

معلمان و محققان آموزشی نمرات آزمون استاندارد شده را به نمرات خام تبدیل می‌کنند تا عملکرد یک دانش‌آموز را نسبت به نمره واقعی آزمون درک کنند.

آزمون‌های روان‌شناختی

روان‌شناسان با تبدیل نمرات z به نمرات خام، ارزیابی‌های استاندارد شده را تفسیر می‌کنند که به تشخیص و پیگیری شرایط کمک می‌کند.

کنترل کیفیت در تولید

تولیدکنندگان از نمرات خام برای تعیین اینکه آیا یک محصول با استانداردهای کیفیت مطابقت دارد یا خیر، با مقایسه اندازه‌گیری‌ها با انحراف معیارها از میانگین استفاده می‌کنند.

معیارهای مالی

تحلیلگران نمرات z را به ارقام مالی خام تبدیل می‌کنند تا شاخص‌های عملکرد را در واحدهای پولی اصلی خود ارزیابی کنند.

گزینه‌های دیگر

سایر اندازه‌گیری‌های آماری مرتبط با نمرات خام:

پرسنتایل‌ها: نمایانگر موقعیت نسبی یک مقدار در مجموعه داده است.
نمرات T: نمرات استاندارد شده با میانگین 50 و انحراف معیار 10 که معمولاً در آزمون‌های روان‌شناختی استفاده می‌شود.
استانین‌ها: روشی برای مقیاس‌بندی نمرات آزمون در یک مقیاس استاندارد نه‌نقطه‌ای.

این گزینه‌های دیگر ممکن است زمانی که مقایسه بین مجموعه‌های داده مختلف یا زمانی که داده‌ها توزیع نرمال را دنبال نمی‌کنند، ترجیح داده شوند.

تاریخچه

استفاده از استانداردسازی و نمرات z به توسعه نظریه‌های آماری در قرن نوزدهم برمی‌گردد. کارل پیرسون مفهوم نمره z را در اوایل قرن بیستم به عنوان راهی برای استانداردسازی مجموعه‌های داده مختلف برای مقایسه معرفی کرد. توانایی تبدیل بین نمرات خام و نمرات استاندارد شده از آن زمان به یک سنگ بنای تحلیل آماری تبدیل شده است و اجازه تفسیر معنادار در زمینه‌های مختلف از جمله آموزش، روان‌شناسی و مالی را می‌دهد.

مثال‌ها

مثال 1: محاسبه نمره خام آزمون

داده‌ها:
- نمره میانگین ( $\mu$ ) = 80
- انحراف معیار ( $\sigma$ ) = 5
- نمره z دانش‌آموز ( $z$ ) = 1.2
محاسبه: $x = \mu + z \times \sigma = 80 + 1.2 \times 5 = 86$
تفسیر: نمره خام دانش‌آموز 86 است.

مثال 2: تعیین اندازه‌گیری در کنترل کیفیت

داده‌ها:
- طول میانگین ( $\mu$ ) = 150 mm
- انحراف معیار ( $\sigma$ ) = 2 mm
- نمره z قطعه ( $z$ ) = -1.5
محاسبه: $x = \mu + z \times \sigma = 150 + (-1.5) \times 2 = 147$
تفسیر: طول قطعه 147 mm است که کمتر از میانگین است.

قطعه‌های کد

در اینجا مثال‌های کد در زبان‌های مختلف برای محاسبه نمره خام آورده شده است.

اکسل

'فرمول اکسل برای محاسبه نمره خام
=MEAN + (Z_SCORE * STANDARD_DEVIATION)

مثال استفاده:

با فرض اینکه:

میانگین در سلول A1
انحراف معیار در سلول A2
نمره z در سلول A3

=A1 + (A3 * A2)

پایتون

mean = 80
standard_deviation = 5
z_score = 1.2

raw_score = mean + z_score * standard_deviation
print(f"نمره خام: {raw_score}")

جاوااسکریپت

const mean = 80;
const standardDeviation = 5;
const zScore = 1.2;

const rawScore = mean + zScore * standardDeviation;
console.log(`نمره خام: ${rawScore}`);

R

mean <- 80
standard_deviation <- 5
z_score <- 1.2

raw_score <- mean + z_score * standard_deviation
cat("نمره خام:", raw_score)

متلب

mean = 80;
standard_deviation = 5;
z_score = 1.2;

raw_score = mean + z_score * standard_deviation;
fprintf('نمره خام: %.2f\n', raw_score);

جاوا

public class RawScoreCalculator {
    public static void main(String[] args) {
        double mean = 80;
        double standardDeviation = 5;
        double zScore = 1.2;

        double rawScore = mean + zScore * standardDeviation;
        System.out.println("نمره خام: " + rawScore);
    }
}

C++

#include <iostream>

int main() {
    double mean = 80;
    double standardDeviation = 5;
    double zScore = 1.2;

    double rawScore = mean + zScore * standardDeviation;
    std::cout << "نمره خام: " << rawScore << std::endl;
    return 0;
}

C#

using System;

class Program
{
    static void Main()
    {
        double mean = 80;
        double standardDeviation = 5;
        double zScore = 1.2;

        double rawScore = mean + zScore * standardDeviation;
        Console.WriteLine("نمره خام: " + rawScore);
    }
}

PHP

<?php
$mean = 80;
$standardDeviation = 5;
$zScore = 1.2;

$rawScore = $mean + $zScore * $standardDeviation;
echo "نمره خام: " . $rawScore;
?>

Go

package main
import "fmt"

func main() {
    mean := 80.0
    standardDeviation := 5.0
    zScore := 1.2

    rawScore := mean + zScore * standardDeviation
    fmt.Printf("نمره خام: %.2f\n", rawScore)
}

سوئیفت

let mean = 80.0
let standardDeviation = 5.0
let zScore = 1.2

let rawScore = mean + zScore * standardDeviation
print("نمره خام: \(rawScore)")

روبی

mean = 80
standard_deviation = 5
z_score = 1.2

raw_score = mean + z_score * standard_deviation
puts "نمره خام: #{raw_score}"

راست

fn main() {
    let mean: f64 = 80.0;
    let standard_deviation: f64 = 5.0;
    let z_score: f64 = 1.2;

    let raw_score = mean + z_score * standard_deviation;
    println!("نمره خام: {}", raw_score);
}

منابع

درک نمرات z - Statistics How To
نمره استاندارد - Wikipedia
نمره z: تعریف، محاسبه و تفسیر - Investopedia
مقدمه‌ای بر آمار - Khan Academy

ابزارهای مرتبط

محاسبه Z-Score برای تحلیل‌های آماری و استانداردسازی

محاسبه‌گر معنی‌داری آماری برای آزمایش‌های A/B

محاسبه Z-Score آلتمن برای ارزیابی ریسک اعتباری

محاسبه‌گر آزمون Z برای تحلیل‌های آماری و علمی

محاسبه نمودار جعبه‌ای و شاخک‌ها برای تحلیل داده‌ها

محاسبه مقدار بحرانی برای آزمون‌های آماری مختلف

ماشین حساب t-Test برای تحلیل آماری و مقایسه میانگین‌ها