원점수 계산기: 평균, 표준편차, z-점수로 데이터 분석하기

원시 점수 계산기

소개

원시 점수는 데이터 집합 내에서 원래의 변환되지 않은 데이터 포인트를 나타내는 통계의 기본 개념입니다. 이는 표준화 또는 정규화가 적용되기 전의 값입니다. z-점수와 같은 표준화된 점수를 사용할 때, 원래의 맥락에서 결과를 해석하기 위해 원시 점수로 다시 변환해야 할 수 있습니다. 이 계산기는 평균, 표준 편차 및 z-점수로부터 원시 점수를 결정하는 데 도움을 줍니다.

공식

원시 점수 $x$ 는 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다:

x = \mu + z \times \sigma

여기서:

$x$ = 원시 점수
$\mu$ = 데이터 집합의 평균
$\sigma$ = 데이터 집합의 표준 편차
$z$ = 원시 점수에 해당하는 z-점수

다이어그램

아래 다이어그램은 정규 분포 곡선을 나타내며, 평균( $\mu$ ), 표준 편차( $\sigma$ ), z-점수( $z$ )를 보여줍니다:

참고: SVG 다이어그램은 표준 정규 분포를 보여주고 원시 점수가 평균 및 표준 편차와 어떻게 관련되는지를 나타냅니다.

계산 단계

평균( $\mu$ ) 확인: 데이터 집합의 평균 값을 결정합니다.
표준 편차( $\sigma$ ) 결정: 데이터가 평균에서 얼마나 변동하는지 계산합니다.
z-점수( $z$ ) 얻기: 데이터 포인트가 평균에서 몇 표준 편차 떨어져 있는지를 나타냅니다.
원시 점수( $x$ ) 계산: 값을 공식에 대입하여 원래 데이터 포인트를 찾습니다.

엣지 케이스 및 고려 사항

표준 편차가 0 또는 음수인 경우: 표준 편차가 0이면 데이터에 변동성이 없음을 나타내며, 모든 데이터 포인트가 평균과 동일합니다. 음의 표준 편차는 불가능합니다. $\sigma > 0$ 인지 확인하세요.
극단적인 z-점수: z-점수는 일반적으로 정규 분포에서 -3과 3 사이에 있지만, 이 범위를 벗어난 값이 발생할 수 있으며 이는 이상치를 나타냅니다.
평균 또는 표준 편차의 한계: 평균 또는 표준 편차의 극단적으로 크거나 작은 값은 실용적이거나 계산적인 한계를 초과하는 계산으로 이어질 수 있습니다.

사용 사례

교육 평가

교사와 교육 연구자는 표준화된 시험 점수를 원시 점수로 변환하여 학생의 성과를 시험의 실제 점수와 비교하여 이해합니다.

심리 테스트

심리학자는 z-점수를 원시 점수로 변환하여 표준화된 평가를 해석하여 진단 및 조건 추적에 도움을 줍니다.

제조 품질 관리

제조업체는 원시 점수를 사용하여 제품이 품질 기준을 충족하는지 확인하기 위해 측정값을 평균에서 표준 편차와 비교합니다.

재무 지표

분석가는 z-점수를 원시 재무 수치로 변환하여 원래의 화폐 단위에서 성과 지표를 평가합니다.

대안

원시 점수와 관련된 다른 통계적 측정:

백분위수: 데이터 집합 내에서 값의 상대적 위치를 나타냅니다.
T-점수: 평균이 50이고 표준 편차가 10인 표준화된 점수로, 주로 심리 테스트에 사용됩니다.
스탠인: 9점 표준 척도로 시험 점수를 스케일링하는 방법입니다.

이러한 대안은 서로 다른 데이터 집합 간의 비교를 하거나 데이터가 정규 분포를 따르지 않을 때 선호될 수 있습니다.

역사

표준화 및 z-점수의 사용은 19세기 통계 이론의 발전에 뿌리를 두고 있습니다. Karl Pearson은 20세기 초 z-점수 개념을 도입하여 서로 다른 데이터 집합을 비교하기 위한 방법으로 사용했습니다. 원시 점수와 표준화된 점수 간의 변환 능력은 이후 통계 분석의 초석이 되어 교육, 심리학 및 재무를 포함한 다양한 분야에서 의미 있는 해석을 가능하게 했습니다.

예시

예시 1: 원시 시험 점수 계산

주어진 값:
- 평균 점수 ( $\mu$ ) = 80
- 표준 편차 ( $\sigma$ ) = 5
- 학생의 z-점수 ( $z$ ) = 1.2
계산: $x = \mu + z \times \sigma = 80 + 1.2 \times 5 = 86$
해석: 학생의 원시 점수는 86입니다.

예시 2: 품질 관리에서 측정값 결정

주어진 값:
- 평균 길이 ( $\mu$ ) = 150 mm
- 표준 편차 ( $\sigma$ ) = 2 mm
- 구성 요소의 z-점수 ( $z$ ) = -1.5
계산: $x = \mu + z \times \sigma = 150 + (-1.5) \times 2 = 147$
해석: 구성 요소의 길이는 147 mm로, 평균보다 낮습니다.

코드 스니펫

다양한 프로그래밍 언어에서 원시 점수를 계산하는 코드 예시입니다.

엑셀

'원시 점수를 계산하는 엑셀 공식
=MEAN + (Z_SCORE * STANDARD_DEVIATION)

사용 예시:

A1 셀에 평균, A2 셀에 표준 편차, A3 셀에 z-점수가 있다고 가정할 때:

=A1 + (A3 * A2)

파이썬

mean = 80
standard_deviation = 5
z_score = 1.2

raw_score = mean + z_score * standard_deviation
print(f"원시 점수: {raw_score}")

자바스크립트

const mean = 80;
const standardDeviation = 5;
const zScore = 1.2;

const rawScore = mean + zScore * standardDeviation;
console.log(`원시 점수: ${rawScore}`);

R

mean <- 80
standard_deviation <- 5
z_score <- 1.2

raw_score <- mean + z_score * standard_deviation
cat("원시 점수:", raw_score)

MATLAB

mean = 80;
standard_deviation = 5;
z_score = 1.2;

raw_score = mean + z_score * standard_deviation;
fprintf('원시 점수: %.2f\n', raw_score);

자바

public class RawScoreCalculator {
    public static void main(String[] args) {
        double mean = 80;
        double standardDeviation = 5;
        double zScore = 1.2;

        double rawScore = mean + zScore * standardDeviation;
        System.out.println("원시 점수: " + rawScore);
    }
}

C++

#include <iostream>

int main() {
    double mean = 80;
    double standardDeviation = 5;
    double zScore = 1.2;

    double rawScore = mean + zScore * standardDeviation;
    std::cout << "원시 점수: " << rawScore << std::endl;
    return 0;
}

C#

using System;

class Program
{
    static void Main()
    {
        double mean = 80;
        double standardDeviation = 5;
        double zScore = 1.2;

        double rawScore = mean + zScore * standardDeviation;
        Console.WriteLine("원시 점수: " + rawScore);
    }
}

PHP

<?php
$mean = 80;
$standardDeviation = 5;
$zScore = 1.2;

$rawScore = $mean + $zScore * $standardDeviation;
echo "원시 점수: " . $rawScore;
?>

Go

package main
import "fmt"

func main() {
    mean := 80.0
    standardDeviation := 5.0
    zScore := 1.2

    rawScore := mean + zScore * standardDeviation
    fmt.Printf("원시 점수: %.2f\n", rawScore)
}

스위프트

let mean = 80.0
let standardDeviation = 5.0
let zScore = 1.2

let rawScore = mean + zScore * standardDeviation
print("원시 점수: \(rawScore)")

루비

mean = 80
standard_deviation = 5
z_score = 1.2

raw_score = mean + z_score * standard_deviation
puts "원시 점수: #{raw_score}"

러스트

fn main() {
    let mean: f64 = 80.0;
    let standard_deviation: f64 = 5.0;
    let z_score: f64 = 1.2;

    let raw_score = mean + z_score * standard_deviation;
    println!("원시 점수: {}", raw_score);
}

참고 문헌

Z-점수 이해하기 - Statistics How To
표준 점수 - Wikipedia
Z-점수: 정의, 계산 및 해석 - Investopedia
통계학 개론 - Khan Academy