原始分数计算器

介绍

原始分数是统计学中的一个基本概念，表示数据集中原始的、未转换的数据点。它是应用任何标准化或归一化之前的值。当处理像z分数这样的标准化分数时，您可能需要转换回原始分数，以便在原始上下文中解释结果。此计算器帮助您根据均值、标准差和z分数确定原始分数。

公式

原始分数 $x$ 可以使用以下公式计算：

x = \mu + z \times \sigma

其中：

$x$ = 原始分数
$\mu$ = 数据集的均值
$\sigma$ = 数据集的标准差
$z$ = 与原始分数对应的z分数

图示

下面的图示展示了一个正态分布曲线，显示了均值 ( $\mu$ )、标准差 ( $\sigma$ ) 和 z 分数 ( $z$ )：

注意：SVG 图示展示了标准正态分布，并指示原始分数如何与均值和标准差相关。

计算步骤

确定均值 ( $\mu$ )：确定数据集的平均值。
确定标准差 ( $\sigma$ )：计算数据与均值的变异程度。
获取 z 分数 ( $z$ )：数据点与均值的标准差数量。
计算原始分数 ( $x$ )：将值代入公式以找到原始数据点。

边界情况和考虑事项

标准差为零或负数：标准差为零表示数据没有变异性；所有数据点与均值相同。负标准差是不可行的。确保 $\sigma > 0$ 。
极端 z 分数：虽然 z 分数通常在正态分布中范围在 -3 到 3 之间，但也可以出现超出此范围的值，表示异常值。
均值或标准差限制：均值或标准差的极大或极小值可能导致超出实际或计算限制的计算。

用例

教育评估

教师和教育研究人员将标准化测试分数转换回原始分数，以了解学生相对于测试实际评分的表现。

心理测试

心理学家通过将 z 分数转换为原始分数来解释标准化评估，帮助诊断和跟踪状况。

制造质量控制

制造商使用原始分数来确定产品是否符合质量标准，通过将测量值与均值的标准差进行比较。

财务指标

分析师将 z 分数转换为原始财务数字，以评估其原始货币单位中的绩效指标。

替代方案

与原始分数相关的其他统计度量：

百分位数：指示值在数据集中的相对位置。
T 分数：标准化分数，均值为 50，标准差为 10，通常用于心理测试。
标准分数：一种将测试分数缩放到九点标准尺度的方法。

当在不同数据集之间进行比较或数据不遵循正态分布时，这些替代方案可能更为可取。

历史

标准化和 z 分数的使用可以追溯到 19 世纪统计理论的发展。卡尔·皮尔逊在 20 世纪初引入了 z 分数的概念，作为标准化不同数据集以进行比较的一种方法。能够在原始分数和标准化分数之间转换，已成为统计分析的基石，使得在教育、心理学和金融等各个领域进行有意义的解释成为可能。

示例

示例 1：计算原始测试分数

给定：
- 均分 ( $\mu$ ) = 80
- 标准差 ( $\sigma$ ) = 5
- 学生的 z 分数 ( $z$ ) = 1.2
计算： $x = \mu + z \times \sigma = 80 + 1.2 \times 5 = 86$
解释：学生的原始分数为 86。

示例 2：确定质量控制中的测量

给定：
- 均值长度 ( $\mu$ ) = 150 mm
- 标准差 ( $\sigma$ ) = 2 mm
- 组件的 z 分数 ( $z$ ) = -1.5
计算： $x = \mu + z \times \sigma = 150 + (-1.5) \times 2 = 147$
解释：组件的长度为 147 mm，低于均值。

代码片段

以下是各种编程语言中计算原始分数的代码示例。

Excel

'Excel 公式计算原始分数
=MEAN + (Z_SCORE * STANDARD_DEVIATION)

使用示例：

假设：

均值在单元格 A1
标准差在单元格 A2
Z 分数在单元格 A3

=A1 + (A3 * A2)

Python

mean = 80
standard_deviation = 5
z_score = 1.2

raw_score = mean + z_score * standard_deviation
print(f"原始分数: {raw_score}")

JavaScript

const mean = 80;
const standardDeviation = 5;
const zScore = 1.2;

const rawScore = mean + zScore * standardDeviation;
console.log(`原始分数: ${rawScore}`);

R

mean <- 80
standard_deviation <- 5
z_score <- 1.2

raw_score <- mean + z_score * standard_deviation
cat("原始分数:", raw_score)

MATLAB

mean = 80;
standard_deviation = 5;
z_score = 1.2;

raw_score = mean + z_score * standard_deviation;
fprintf('原始分数: %.2f\n', raw_score);

Java

public class RawScoreCalculator {
    public static void main(String[] args) {
        double mean = 80;
        double standardDeviation = 5;
        double zScore = 1.2;

        double rawScore = mean + zScore * standardDeviation;
        System.out.println("原始分数: " + rawScore);
    }
}

C++

#include <iostream>

int main() {
    double mean = 80;
    double standardDeviation = 5;
    double zScore = 1.2;

    double rawScore = mean + zScore * standardDeviation;
    std::cout << "原始分数: " << rawScore << std::endl;
    return 0;
}

C#

using System;

class Program
{
    static void Main()
    {
        double mean = 80;
        double standardDeviation = 5;
        double zScore = 1.2;

        double rawScore = mean + zScore * standardDeviation;
        Console.WriteLine("原始分数: " + rawScore);
    }
}

PHP

<?php
$mean = 80;
$standardDeviation = 5;
$zScore = 1.2;

$rawScore = $mean + $zScore * $standardDeviation;
echo "原始分数: " . $rawScore;
?>

Go

package main
import "fmt"

func main() {
    mean := 80.0
    standardDeviation := 5.0
    zScore := 1.2

    rawScore := mean + zScore * standardDeviation
    fmt.Printf("原始分数: %.2f\n", rawScore)
}

Swift

let mean = 80.0
let standardDeviation = 5.0
let zScore = 1.2

let rawScore = mean + zScore * standardDeviation
print("原始分数: \(rawScore)")

Ruby

mean = 80
standard_deviation = 5
z_score = 1.2

raw_score = mean + z_score * standard_deviation
puts "原始分数: #{raw_score}"

Rust

fn main() {
    let mean: f64 = 80.0;
    let standard_deviation: f64 = 5.0;
    let z_score: f64 = 1.2;

    let raw_score = mean + z_score * standard_deviation;
    println!("原始分数: {}", raw_score);
}

参考文献

理解 Z 分数 - Statistics How To
标准分数 - 维基百科
Z 分数：定义、计算与解释 - Investopedia
统计学入门 - Khan Academy

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