Calculadora d'Àrea i Volum per Cono Circular Recte

Calculadora de Conus Circular Recte

Introducció

Un conus circular recte és una forma geomètrica tridimensional que s'estreny suaument d'una base circular plana a un punt anomenat àpex o vèrtex. Es diu "recte" perquè el segment de línia (eix) que uneix l'àpex amb el centre de la base és perpendicular a la base. Aquesta calculadora t'ajuda a trobar les propietats clau d'un conus circular recte:

Àrea Total de Superfície (A): La suma de l'àrea de la base i l'àrea de la superfície lateral (costat).
Volum (V): La quantitat d'espai tancat dins del conus.
Àrea de Superfície Lateral (Aₗ): L'àrea de la superfície lateral del conus.
Àrea de Superfície de la Base (A_b): L'àrea de la base circular.

Entendre aquestes propietats és essencial en camps com l'enginyeria, l'arquitectura i diverses ciències físiques.

Fórmula

Definicions

Deixeu que:

r = Radi de la base
h = Alçada del conus (distància perpendicular des de la base fins a l'àpex)
l = Alçada obliqua del conus

L'alçada obliqua (l) es pot calcular utilitzant el teorema de Pitàgores:

l = \sqrt{r^2 + h^2}

Càlculs

Àrea de Superfície de la Base (A_b):

L'àrea de la base circular es dóna per:
$A_b = \pi r^2$
Àrea de Superfície Lateral (Aₗ):

L'àrea de la superfície lateral és l'àrea de la superfície lateral del conus:
$Aₗ = \pi r l$
Àrea Total de Superfície (A):

La suma de l'àrea de la base i l'àrea de la superfície lateral:
$A = A_b + Aₗ = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l)$
Volum (V):

L'espai tancat dins del conus:
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

Casos Límit

Radi Zero (r = 0): Si el radi és zero, el conus es col·lapsa en una línia, resultant en volum i àrees de superfície zero.
Alçada Zero (h = 0): Si l'alçada és zero, el conus es converteix en un disc pla (la base), i el volum és zero. L'àrea total de superfície és igual a l'àrea de la base.
Valors Negatius: Els valors negatius per al radi o l'alçada no són físics en aquest context. La calculadora imposa que r ≥ 0 i h ≥ 0.

Casos d'Ús

Enginyeria i Disseny

Fabricació: Disseny de components cònics com embuts, cons de protecció i peces de màquina.
Construcció: Càlcul de materials necessaris per a teulades cònica, torres o estructures de suport.

Ciències Físiques

Òptica: Comprensió de la propagació de la llum en estructures cònics.
Geologia: Modelatge de cons volcànics i càlculs de volums de cambres de magma.

Educació Matemàtica

Ensenyament de la Geometria: Demostració de principis de geometria tridimensional i càlcul.
Resolució de Problemes: Ofereix aplicacions pràctiques per a conceptes matemàtics.

Alternatives

Càlculs de Cilindres: Per a formes amb seccions transversals uniformes, les fórmules cilíndriques poden ser més adequades.
Frustum d'un Conus: Si el conus és truncat (tallat), són necessàries càlculs per a un frustum cònic.

Història

L'estudi dels cònics es remunta a matemàtics grecs antics com Euclides i Apol·lo d'Perga, que van estudiar sistemàticament les seccions cònics. Els cònics han estat essencials en el desenvolupament de la geometria, el càlcul i tenen aplicacions en astronomia i física.

Elements d'Euclides: Primeres definicions i propietats dels cònics.
Seccions Còniques d'Apol·lo: Estudi detallat de les corbes formades per la intersecció d'un conus amb un pla.
Desenvolupament del Càlcul: Càlculs de volums i àrees de superfície van contribuir al càlcul integral.

Exemples

Exemple Numèric

Donat un conus amb un radi r = 5 unitats i una alçada h = 12 unitats.

Calculeu l'alçada obliqua (l):
$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ unitats}$
Àrea de Superfície de la Base (A_b):
$A_b = \pi r^2 = \pi (5)^2 = 25\pi \approx 78.54 \text{ unitats}^2$
Àrea de Superfície Lateral (Aₗ):
$Aₗ = \pi r l = \pi (5)(13) = 65\pi \approx 204.20 \text{ unitats}^2$
Àrea Total de Superfície (A):
$A = A_b + Aₗ = 25\pi + 65\pi = 90\pi \approx 282.74 \text{ unitats}^2$
Volum (V):
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (5)^2 (12) = \frac{1}{3} \pi (25)(12) = 100\pi \approx 314.16 \text{ unitats}^3$

Exemples de Codi

Excel

1' Calculeu les propietats d'un conus circular recte en Excel VBA
2Function ConeProperties(r As Double, h As Double) As String
3    If r < 0 Or h < 0 Then
4        ConeProperties = "El radi i l'alçada han de ser no negatius."
5        Exit Function
6    End If
7    l = Sqr(r ^ 2 + h ^ 2)
8    A_b = WorksheetFunction.Pi() * r ^ 2
9    A_l = WorksheetFunction.Pi() * r * l
10    A = A_b + A_l
11    V = (1 / 3) * WorksheetFunction.Pi() * r ^ 2 * h
12    ConeProperties = "Àrea de la Base: " & A_b & vbCrLf & _
13                     "Àrea Lateral: " & A_l & vbCrLf & _
14                     "Àrea Total de Superfície: " & A & vbCrLf & _
15                     "Volum: " & V
16End Function
17' Ús en una cel·la d'Excel:
18' =ConeProperties(5, 12)
19

Python

1import math
2
3def cone_properties(r, h):
4    if r < 0 or h < 0:
5        return "El radi i l'alçada han de ser no negatius."
6    l = math.sqrt(r ** 2 + h ** 2)
7    A_b = math.pi * r ** 2
8    A_l = math.pi * r * l
9    A = A_b + A_l
10    V = (1 / 3) * math.pi * r ** 2 * h
11    return {
12        'Àrea de la Base': A_b,
13        'Àrea Lateral': A_l,
14        'Àrea Total de Superfície': A,
15        'Volum': V
16    }
17
18## Ús d'exemple
19result = cone_properties(5, 12)
20for key, value in result.items():
21    print(f"{key}: {value:.4f}")
22

JavaScript

1function coneProperties(r, h) {
2  if (r < 0 || h < 0) {
3    return "El radi i l'alçada han de ser no negatius.";
4  }
5  const l = Math.sqrt(r ** 2 + h ** 2);
6  const A_b = Math.PI * r ** 2;
7  const A_l = Math.PI * r * l;
8  const A = A_b + A_l;
9  const V = (1 / 3) * Math.PI * r ** 2 * h;
10  return {
11    areaBase: A_b,
12    areaLateral: A_l,
13    areaTotal: A,
14    volum: V,
15  };
16}
17
18// Ús d'exemple
19const result = coneProperties(5, 12);
20for (const [key, value] of Object.entries(result)) {
21  console.log(`${key}: ${value.toFixed(4)}`);
22}
23

Java

1public class RightCircularCone {
2    public static void main(String[] args) {
3        double r = 5;
4        double h = 12;
5        String result = coneProperties(r, h);
6        System.out.println(result);
7    }
8
9    public static String coneProperties(double r, double h) {
10        if (r < 0 || h < 0) {
11            return "El radi i l'alçada han de ser no negatius.";
12        }
13        double l = Math.sqrt(Math.pow(r, 2) + Math.pow(h, 2));
14        double A_b = Math.PI * Math.pow(r, 2);
15        double A_l = Math.PI * r * l;
16        double A = A_b + A_l;
17        double V = (1.0 / 3) * Math.PI * Math.pow(r, 2) * h;
18        return String.format("Àrea de la Base: %.4f\nÀrea Lateral: %.4f\nÀrea Total de Superfície: %.4f\nVolum: %.4f",
19                A_b, A_l, A, V);
20    }
21}
22

C++

1#include <iostream>
2#include <cmath>
3#include <string>
4
5std::string coneProperties(double r, double h) {
6    if (r < 0 || h < 0) {
7        return "El radi i l'alçada han de ser no negatius.";
8    }
9    double l = std::sqrt(r * r + h * h);
10    double A_b = M_PI * r * r;
11    double A_l = M_PI * r * l;
12    double A = A_b + A_l;
13    double V = (1.0 / 3) * M_PI * r * r * h;
14    char buffer[256];
15    snprintf(buffer, sizeof(buffer), "Àrea de la Base: %.4f\nÀrea Lateral: %.4f\nÀrea Total de Superfície: %.4f\nVolum: %.4f",
16             A_b, A_l, A, V);
17    return std::string(buffer);
18}
19
20int main() {
21    double r = 5;
22    double h = 12;
23    std::string result = coneProperties(r, h);
24    std::cout << result << std::endl;
25    return 0;
26}
27

Diagrames

Diagrama SVG d'un Conus Circular Recte

Explicació del Diagrama

Forma del Conus: El conus es representa amb un camí lateral i una el·lipse de base per representar la forma tridimensional.
Alçada (h): Mostrada com una línia discontínua des de l'àpex fins al centre de la base.
Radi (r): Mostrat com una línia discontínua des del centre de la base fins al seu bord.
Etiquetes: Indiquen les dimensions del conus.

Referències

Diàmetre Hidràulic - Viquipèdia
Calculadora de Flux de Canal Obert
Thomas, G. B., & Finney, R. L. (1996). Càlcul i Geometria Analítica. Addison Wesley.

Nota: La calculadora imposa que el radi (r) i l'alçada (h) han de ser iguals o superiors a zero. Les entrades negatives es consideren no vàlides i produiran un missatge d'error.

Whiz Tools