Kalkulačka pro pravoúhlý kužel

Kalkulátor pro pravý kruhový kužel

Úvod

Pravý kruhový kužel je trojrozměrný geometrický tvar, který se hladce zužuje od plochého kruhového základu k bodu nazývanému vrchol nebo apex. Nazývá se "pravý", protože úsečka (osa) spojující vrchol se středem základny je kolmá na základnu. Tento kalkulátor vám pomůže najít klíčové vlastnosti pravého kruhového kužele:

Celkový povrch (A): Součet plochy základny a laterální (boční) plochy.
Objem (V): Množství prostoru uzavřeného uvnitř kužele.
Laterální plocha (Aₗ): Plocha boční plochy kužele.
Plocha základny (A_b): Plocha kruhové základny.

Porozumění těmto vlastnostem je zásadní v oblastech jako je inženýrství, architektura a různé fyzikální vědy.

Vzorec

Definice

Nechť:

r = Poloměr základny
h = Výška kužele (kolmá vzdálenost od základny k vrcholu)
l = Šikmá výška kužele

Šikmá výška (l) se dá vypočítat pomocí Pythagorovy věty:

l = \sqrt{r^2 + h^2}

Výpočty

Plocha základny (A_b):

Plocha kruhové základny je dána vzorcem:
$A_b = \pi r^2$
Laterální plocha (Aₗ):

Laterální plocha je plocha boční plochy kužele:
$Aₗ = \pi r l$
Celkový povrch (A):

Součet plochy základny a laterální plochy:
$A = A_b + Aₗ = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l)$
Objem (V):

Prostor uzavřený uvnitř kužele:
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

Okrajové případy

Nulový poloměr (r = 0): Pokud je poloměr nula, kužel se zhroutí do čáry, což vede k nulovému objemu a plochám.
Nulová výška (h = 0): Pokud je výška nula, kužel se stává plochým diskem (základnou) a objem je nula. Celková plocha se rovná ploše základny.
Záporné hodnoty: Záporné hodnoty pro poloměr nebo výšku jsou v tomto kontextu nefyziologické. Kalkulátor vynucuje, že r ≥ 0 a h ≥ 0.

Případy použití

Inženýrství a design

Výroba: Navrhování kuželových komponentů, jako jsou trychtýře, ochranné kužely a strojní součásti.
Stavitelství: Výpočet materiálů potřebných pro kuželové střechy, věže nebo podpůrné struktury.

Fyzikální vědy

Optika: Porozumění šíření světla v kuželových strukturách.
Geologie: Modelování vulkanických kuželů a výpočet objemů magmatických komor.

Vzdělávání v matematice

Výuka geometrie: Demonstrovat principy trojrozměrné geometrie a kalkulu.
Řešení problémů: Nabídnout praktické aplikace matematických konceptů.

Alternativy

Výpočty válců: Pro tvary s jednotným průřezem mohou být vhodnější vzorce pro válce.
Frustum kužele: Pokud je kužel zkrácen (řezán), jsou potřebné výpočty pro kuželový frustum.

Historie

Studium kuželů sahá až do starověkých řeckých matematiků, jako byli Euklidés a Apollónios z Perga, kteří systematicky studovali kuželové úsečky. Kužely byly zásadní pro rozvoj geometrie, kalkulu a mají aplikace v astronomii a fyzice.

Euklidovy prvky: Rané definice a vlastnosti kuželů.
Apollóniovy kuželové úsečky: Podrobná studie křivek vzniklých průnikem kužele s rovinou.
Rozvoj kalkulu: Výpočet objemů a ploch přispěl k integrálnímu kalkulu.

Příklady

Numerický příklad

Dán kužel s poloměrem r = 5 jednotek a výškou h = 12 jednotek.

Vypočítejte šikmou výšku (l):
$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ jednotek}$
Plocha základny (A_b):
$A_b = \pi r^2 = \pi (5)^2 = 25\pi \approx 78.54 \text{ jednotek}^2$
Laterální plocha (Aₗ):
$Aₗ = \pi r l = \pi (5)(13) = 65\pi \approx 204.20 \text{ jednotek}^2$
Celkový povrch (A):
$A = A_b + Aₗ = 25\pi + 65\pi = 90\pi \approx 282.74 \text{ jednotek}^2$
Objem (V):
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (5)^2 (12) = \frac{1}{3} \pi (25)(12) = 100\pi \approx 314.16 \text{ jednotek}^3$

Příklady kódu

Excel

' Vypočítat vlastnosti pravého kruhového kužele v Excel VBA
Function ConeProperties(r As Double, h As Double) As String
    If r < 0 Or h < 0 Then
        ConeProperties = "Poloměr a výška musí být nezáporné."
        Exit Function
    End If
    l = Sqr(r ^ 2 + h ^ 2)
    A_b = WorksheetFunction.Pi() * r ^ 2
    A_l = WorksheetFunction.Pi() * r * l
    A = A_b + A_l
    V = (1 / 3) * WorksheetFunction.Pi() * r ^ 2 * h
    ConeProperties = "Plocha základny: " & A_b & vbCrLf & _
                     "Laterální plocha: " & A_l & vbCrLf & _
                     "Celkový povrch: " & A & vbCrLf & _
                     "Objem: " & V
End Function
' Použití v buňce Excelu:
' =ConeProperties(5, 12)

Python

import math

def cone_properties(r, h):
    if r < 0 or h < 0:
        return "Poloměr a výška musí být nezáporné."
    l = math.sqrt(r ** 2 + h ** 2)
    A_b = math.pi * r ** 2
    A_l = math.pi * r * l
    A = A_b + A_l
    V = (1 / 3) * math.pi * r ** 2 * h
    return {
        'Plocha základny': A_b,
        'Laterální plocha': A_l,
        'Celkový povrch': A,
        'Objem': V
    }

## Příklad použití
result = cone_properties(5, 12)
for key, value in result.items():
    print(f"{key}: {value:.4f}")

JavaScript

function coneProperties(r, h) {
  if (r < 0 || h < 0) {
    return "Poloměr a výška musí být nezáporné.";
  }
  const l = Math.sqrt(r ** 2 + h ** 2);
  const A_b = Math.PI * r ** 2;
  const A_l = Math.PI * r * l;
  const A = A_b + A_l;
  const V = (1 / 3) * Math.PI * r ** 2 * h;
  return {
    plochaZákladny: A_b,
    laterálníPlocha: A_l,
    celkovýPovrch: A,
    objem: V,
  };
}

// Příklad použití
const result = coneProperties(5, 12);
for (const [key, value] of Object.entries(result)) {
  console.log(`${key}: ${value.toFixed(4)}`);
}

Java

public class PravýKruhovýKužel {
    public static void main(String[] args) {
        double r = 5;
        double h = 12;
        String result = coneProperties(r, h);
        System.out.println(result);
    }

    public static String coneProperties(double r, double h) {
        if (r < 0 || h < 0) {
            return "Poloměr a výška musí být nezáporné.";
        }
        double l = Math.sqrt(Math.pow(r, 2) + Math.pow(h, 2));
        double A_b = Math.PI * Math.pow(r, 2);
        double A_l = Math.PI * r * l;
        double A = A_b + A_l;
        double V = (1.0 / 3) * Math.PI * Math.pow(r, 2) * h;
        return String.format("Plocha základny: %.4f\nLaterální plocha: %.4f\nCelkový povrch: %.4f\nObjem: %.4f",
                A_b, A_l, A, V);
    }
}

C++

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <string>

std::string coneProperties(double r, double h) {
    if (r < 0 || h < 0) {
        return "Poloměr a výška musí být nezáporné.";
    }
    double l = std::sqrt(r * r + h * h);
    double A_b = M_PI * r * r;
    double A_l = M_PI * r * l;
    double A = A_b + A_l;
    double V = (1.0 / 3) * M_PI * r * r * h;
    char buffer[256];
    snprintf(buffer, sizeof(buffer), "Plocha základny: %.4f\nLaterální plocha: %.4f\nCelkový povrch: %.4f\nObjem: %.4f",
             A_b, A_l, A, V);
    return std::string(buffer);
}

int main() {
    double r = 5;
    double h = 12;
    std::string result = coneProperties(r, h);
    std::cout << result << std::endl;
    return 0;
}

Diagramy

SVG diagram pravého kruhového kužele

Vysvětlení diagramu

Tvar kužele: Kužel je zobrazen s boční cestou a základní elipsou, aby reprezentoval trojrozměrný tvar.
Výška (h): Zobrazena jako přerušovaná čára od vrcholu k centru základny.
Poloměr (r): Zobrazena jako přerušovaná čára od středu základny k jejímu okraji.
Popisky: Označují rozměry kužele.

Odkazy

Hydraulický průměr - Wikipedia
Kalkulátor otevřeného kanálu
Thomas, G. B., & Finney, R. L. (1996). Kalkulus a analytická geometrie. Addison Wesley.

Poznámka: Kalkulátor vynucuje, že poloměr (r) a výška (h) musí být větší nebo rovny nule. Záporné vstupy jsou považovány za neplatné a vyprodukují chybovou zprávu.

Související nástroje

Kalkulačka pro výpočet boční plochy kuželu

Kalkulačka průměru kužele pro geometrické výpočty

Kalkulátor pro výpočet výšky kužele a jeho rozměrů

Kalkulačka pro výpočet kuželoseček a jejich vlastností

Kalkulačka pro výpočet poloměru kruhu a jeho vlastností

Kalkulátor pro výpočet šikmé výšky kužele snadno