Kalkulačka pre pravý kruhový kužeľ

Kalkulátor pravej kruhovej kužeľa

Úvod

Pravý kruhový kužeľ je trojrozmerný geometrický tvar, ktorý sa hladko zužuje od plochého kruhového základu k bodu nazývanému vrchol alebo apex. Nazýva sa "pravý", pretože úsečka (os) spájajúca vrchol s centrom základu je kolmá na základ. Tento kalkulátor vám pomôže nájsť kľúčové vlastnosti pravej kruhovej kužeľa:

Celkový povrch (A): Súčet plochy základu a laterálneho (bočného) povrchu.
Objem (V): Množstvo priestoru uzavretého v kuželi.
Laterálny povrch (Aₗ): Plocha bočného povrchu kužeľa.
Plocha základne (A_b): Plocha kruhovej základne.

Pochopenie týchto vlastností je zásadné v oblastiach ako inžinierstvo, architektúra a rôzne fyzikálne vedy.

Vzorec

Definície

Nech:

r = Polomer základne
h = Výška kužeľa (kolmá vzdialenosť od základu k vrcholu)
l = Šikmá výška kužeľa

Šikmá výška (l) sa dá vypočítať pomocou Pythagorovej vety:

l = \sqrt{r^2 + h^2}

Výpočty

Plocha základne (A_b):

Plocha kruhovej základne je daná:
$A_b = \pi r^2$
Laterálny povrch (Aₗ):

Laterálny povrch je plocha bočného povrchu kužeľa:
$Aₗ = \pi r l$
Celkový povrch (A):

Súčet plochy základne a laterálneho povrchu:
$A = A_b + Aₗ = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l)$
Objem (V):

Priestor uzavretý v kuželi:
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

Hraničné prípady

Nulový polomer (r = 0): Ak je polomer nulový, kužeľ sa zrúti do čiary, čo vedie k nulovému objemu a povrchovým plochám.
Nulová výška (h = 0): Ak je výška nulová, kužeľ sa stáva plochým diskom (základňou) a objem je nulový. Celková plocha sa rovná ploche základne.
Záporné hodnoty: Záporné hodnoty pre polomer alebo výšku sú v tomto kontexte nefyziologické. Kalkulátor zabezpečuje, že r ≥ 0 a h ≥ 0.

Použitie

Inžinierstvo a dizajn

Výroba: Navrhovanie kužeľových komponentov, ako sú lieviky, ochranné kužele a strojné časti.
Staviteľstvo: Vypočítavanie materiálov potrebných na kužeľové strechy, veže alebo podporné štruktúry.

Fyzikálne vedy

Optika: Pochopenie šírenia svetla v kužeľových štruktúrach.
Geológia: Modelovanie vulkanických kužeľov a vypočítavanie objemov magmatických komôr.

Vzdelávanie v matematike

Výučba geometrie: Demonštrovanie princípov trojrozmernej geometrie a kalkulu.
Riešenie problémov: Ponúkanie praktických aplikácií pre matematické koncepty.

Alternatívy

Výpočty valca: Pre tvary s rovnomernými prierezmi môžu byť valcové vzorce vhodnejšie.
Frustum kužeľa: Ak je kužeľ skrátený (preťatý), sú potrebné výpočty pre kužeľový frustum.

História

Štúdium kužeľov siaha až k starovekým gréckym matematikom, ako sú Euklid a Apollónios z Perga, ktorí systematicky študovali kuželové rezy. Kužele boli zásadné pre rozvoj geometrie, kalkulu a majú aplikácie v astronómii a fyzike.

Euklidove prvky: Ranné definície a vlastnosti kužeľov.
Apollóniove kuželové rezy: Podrobná štúdia kriviek vytvorených priesečníkom kužeľa s rovinou.
Rozvoj kalkulu: Výpočet objemov a povrchových plôch prispel k integrálnemu kalkulu.

Príklady

Numerický príklad

Daný kužeľ s polomerom r = 5 jednotiek a výškou h = 12 jednotiek.

Vypočítajte šikmú výšku (l):
$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ jednotiek}$
Plocha základne (A_b):
$A_b = \pi r^2 = \pi (5)^2 = 25\pi \approx 78.54 \text{ jednotiek}^2$
Laterálny povrch (Aₗ):
$Aₗ = \pi r l = \pi (5)(13) = 65\pi \approx 204.20 \text{ jednotiek}^2$
Celkový povrch (A):
$A = A_b + Aₗ = 25\pi + 65\pi = 90\pi \approx 282.74 \text{ jednotiek}^2$
Objem (V):
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (5)^2 (12) = \frac{1}{3} \pi (25)(12) = 100\pi \approx 314.16 \text{ jednotiek}^3$

Kódové príklady

Excel

' Vypočítajte vlastnosti pravej kruhovej kužeľa v Excel VBA
Function ConeProperties(r As Double, h As Double) As String
    If r < 0 Or h < 0 Then
        ConeProperties = "Polomer a výška musia byť nezáporné."
        Exit Function
    End If
    l = Sqr(r ^ 2 + h ^ 2)
    A_b = WorksheetFunction.Pi() * r ^ 2
    A_l = WorksheetFunction.Pi() * r * l
    A = A_b + A_l
    V = (1 / 3) * WorksheetFunction.Pi() * r ^ 2 * h
    ConeProperties = "Plocha základne: " & A_b & vbCrLf & _
                     "Laterálna plocha: " & A_l & vbCrLf & _
                     "Celkový povrch: " & A & vbCrLf & _
                     "Objem: " & V
End Function
' Použitie v bunke Excel:
' =ConeProperties(5, 12)

Python

import math

def cone_properties(r, h):
    if r < 0 or h < 0:
        return "Polomer a výška musia byť nezáporné."
    l = math.sqrt(r ** 2 + h ** 2)
    A_b = math.pi * r ** 2
    A_l = math.pi * r * l
    A = A_b + A_l
    V = (1 / 3) * math.pi * r ** 2 * h
    return {
        'Plocha základne': A_b,
        'Laterálna plocha': A_l,
        'Celkový povrch': A,
        'Objem': V
    }

## Príklad použitia
result = cone_properties(5, 12)
for key, value in result.items():
    print(f"{key}: {value:.4f}")

JavaScript

function coneProperties(r, h) {
  if (r < 0 || h < 0) {
    return "Polomer a výška musia byť nezáporné.";
  }
  const l = Math.sqrt(r ** 2 + h ** 2);
  const A_b = Math.PI * r ** 2;
  const A_l = Math.PI * r * l;
  const A = A_b + A_l;
  const V = (1 / 3) * Math.PI * r ** 2 * h;
  return {
    plochaZakladne: A_b,
    lateralnaPlocha: A_l,
    celkovyPovrch: A,
    objem: V,
  };
}

// Príklad použitia
const result = coneProperties(5, 12);
for (const [key, value] of Object.entries(result)) {
  console.log(`${key}: ${value.toFixed(4)}`);
}

Java

public class RightCircularCone {
    public static void main(String[] args) {
        double r = 5;
        double h = 12;
        String result = coneProperties(r, h);
        System.out.println(result);
    }

    public static String coneProperties(double r, double h) {
        if (r < 0 || h < 0) {
            return "Polomer a výška musia byť nezáporné.";
        }
        double l = Math.sqrt(Math.pow(r, 2) + Math.pow(h, 2));
        double A_b = Math.PI * Math.pow(r, 2);
        double A_l = Math.PI * r * l;
        double A = A_b + A_l;
        double V = (1.0 / 3) * Math.PI * Math.pow(r, 2) * h;
        return String.format("Plocha základne: %.4f\nLaterálna plocha: %.4f\nCelkový povrch: %.4f\nObjem: %.4f",
                A_b, A_l, A, V);
    }
}

C++

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <string>

std::string coneProperties(double r, double h) {
    if (r < 0 || h < 0) {
        return "Polomer a výška musia byť nezáporné.";
    }
    double l = std::sqrt(r * r + h * h);
    double A_b = M_PI * r * r;
    double A_l = M_PI * r * l;
    double A = A_b + A_l;
    double V = (1.0 / 3) * M_PI * r * r * h;
    char buffer[256];
    snprintf(buffer, sizeof(buffer), "Plocha základne: %.4f\nLaterálna plocha: %.4f\nCelkový povrch: %.4f\nObjem: %.4f",
             A_b, A_l, A, V);
    return std::string(buffer);
}

int main() {
    double r = 5;
    double h = 12;
    std::string result = coneProperties(r, h);
    std::cout << result << std::endl;
    return 0;
}

Diagramy

SVG diagram pravej kruhovej kužeľa

Vysvetlenie diagramu

Tvar kužeľa: Kužeľ je zobrazený s bočnou cestou a základnou elipsou, aby sa reprezentoval trojrozmerný tvar.
Výška (h): Zobrazená ako prerušovaná čiara od vrcholu k stredu základne.
Polomer (r): Zobrazený ako prerušovaná čiara od stredu základne k jej okraju.
Popisy: Označujú rozmery kužeľa.

Referencie

Hydraulický priemer - Wikipedia
Kalkulátor otvoreného kanála
Thomas, G. B., & Finney, R. L. (1996). Kalkulus a analytická geometria. Addison Wesley.

Poznámka: Kalkulátor zabezpečuje, že polomer (r) a výška (h) musia byť väčšie alebo rovné nule. Záporné vstupy sú považované za neplatné a vyprodukujú chybovú správu.

Súvisiace nástroje

Kalkulačka na výpočet bočnej plochy kužeľa

Kalkulačka priemeru kužeľa a jeho geometrických vlastností

Kalkulačka na výpočet výšky kužeľa a jeho rozmerov

Kalkulačka pre rôzne typy kužeľových rezov a excentricitu

Kalkulačka na výpočet polomeru kruhu a jeho vlastností

Kalkulačka na výpočet šikmej výšky kužeľa a rozmerov