Calculator pentru siguranța sarcinii unei grinzi

Un calculator pentru siguranța sarcinii unei grinzi verifică dacă grinda poate suporta o anumită sarcină fără a depăși limita de tensiune admisibilă a materialului. Acesta calculează tensiunea de încovoiere creată de sarcină în interiorul grinzii, compară această tensiune cu tensiunea admisibilă a materialului și raportează un coeficient de siguranță, împreună cu verdictul sigur sau nesigur.

Ce înseamnă „siguranța grinzii”

O grindă este un element structural care se întinde între două reazeme și transmite sarcina lateral către acestea, cum ar fi o grindă de planșeu, un lintel deasupra unei uși sau un suport de raft. Când o sarcină apasă în jos pe o grindă, aceasta se încovoaie. Încovoierea întinde fibrele de pe o parte și comprimă fibrele de pe cealaltă. Valoarea tensiunii create depinde de greutatea sarcinii, de distanța dintre reazeme și de forma secțiunii transversale a grinzii.

O grindă cedează sau este considerată nesigură atunci când tensiunea din interiorul ei depășește ceea ce poate suporta materialul. Inginerii nu proiectează exact până la această limită. Ei lasă o rezervă numită coeficient de siguranță, astfel încât grinda să reziste chiar dacă sarcina reală, rezistența materialului sau calitatea execuției diferă puțin de plan.

Acest calculator tratează un caz obișnuit: o grindă sprijinită pe două reazeme, cu o singură sarcină orientată în jos și aplicată în centru. Aceasta se numește grindă simplu rezemată cu sarcină concentrată centrală. Nu sunt incluse consolele (grinzi fixate doar la un capăt), sarcinile distribuite pe toată deschiderea, sarcinile multiple sau greutatea proprie a grinzii.

Formula pentru siguranța sarcinii unei grinzi

Tensiunea de încovoiere

Tensiunea creată de o sarcină în interiorul unei grinzi este:

$\sigma = \frac{M}{S}$

• σ (sigma) este tensiunea de încovoiere, în megapascali (MPa)
• M este momentul maxim de încovoiere, în newton-metri (N·m)
• S este modulul de rezistență al secțiunii transversale a grinzii, în metri cubi (m³)

Pentru o grindă sprijinită pe două reazeme, cu o singură sarcină în centru, momentul maxim de încovoiere este:

$M = \frac{P \times L}{4}$

• P este sarcina aplicată, în newtoni (N)
• L este deschiderea dintre reazeme, în metri (m)

Modulul de rezistență al secțiunii în funcție de formă

Modulul de rezistență al secțiunii S depinde de forma secțiunii transversale a grinzii. El este egal cu momentul de inerție (I), o măsură a modului în care materialul este distribuit față de centru, împărțit la distanța de la centru la marginea exterioară (c).

Dreptunghi (masiv, precum o grindă de lemn pentru planșeu):

$I = \frac{b \times h^3}{12}, \qquad S = \frac{I}{h/2}$

b este lățimea, iar h este înălțimea.

Cerc (o bară sau o țeavă):

$I = \frac{\pi \times d^4}{64}, \qquad S = \frac{I}{d/2}$

d este diametrul.

Profil I (o secțiune de oțel cu tălpi sus și jos și o inimă subțire între ele):

$I = \frac{b \times h^3}{12} - \frac{(b - t_w) \times h_w^3}{12}, \qquad S = \frac{I}{h/2}$

Aici b este lățimea tălpii, h este înălțimea totală, $t_w$ este grosimea inimii, iar $h_w$ este înălțimea inimii (înălțimea totală minus de două ori grosimea tălpii). Profilul I este tratat ca un dreptunghi masiv în care s-a decupat un locaș dreptunghiular în mijloc.

Coeficientul de siguranță

$\text{Coeficient de siguranță} = \frac{\text{Tensiune admisibilă}}{\text{Tensiune efectivă}}$

Un coeficient de siguranță de 1,0 înseamnă că grinda este încărcată exact până la limită. O valoare sub 1,0 înseamnă că grinda este nesigură: sarcina creează o tensiune mai mare decât poate suporta materialul. O valoare peste 1,0 înseamnă că grinda are o rezervă. Calculatorul consideră grinda sigură atunci când coeficientul de siguranță ajunge la 1,0.

Tensiunea admisibilă în funcție de material

Calculatorul folosește o tensiune de încovoiere admisibilă fixă pentru fiecare material. Aceasta nu este aceeași cu valoarea la care materialul începe să se rupă; este o valoare de proiectare care include deja o rezervă, similară valorilor utilizate de normele de proiectare structurală, precum manualul AISC pentru structuri din oțel.

Acestea sunt valori simplificate, de uz general. Tensiunea admisibilă reală variază în funcție de marca oțelului, specia și clasa lemnului, precum și de aliajul și starea de tratament ale aluminiului. Pentru un proiect real de construcții, verificați marca specifică a materialului în raport cu normativul de construcții aplicabil înainte de definitivarea proiectului.

Cum se calculează siguranța sarcinii unei grinzi: exemplu rezolvat

Un proprietar dorește să verifice dacă o grindă existentă de planșeu poate susține o cadă de baie.

Date:

• Formă: dreptunghiulară, lățime 0,05 m, înălțime 0,2 m (aproximativ o placă de 2 pe 8)
• Material: lemn
• Deschiderea dintre reazeme: 3,5 m
• Sarcina în centru: 2000 N (aproximativ greutatea căzii, a apei și a unei persoane)

Pasul 1: Momentul de inerție. $I = \frac{0.05 \times 0.2^3}{12} = 3.33 \times 10^{-5}\ \text{m}^4$

Pasul 2: Modulul de rezistență al secțiunii. $S = \frac{3.33 \times 10^{-5}}{0.2 / 2} = 3.33 \times 10^{-4}\ \text{m}^3$

Pasul 3: Momentul de încovoiere. $M = \frac{2000 \times 3.5}{4} = 1750\ \text{N·m}$

Pasul 4: Tensiunea de încovoiere. $\sigma = \frac{1750}{3.33 \times 10^{-4}} \approx 5.25\ \text{MPa}$

Pasul 5: Coeficientul de siguranță. Tensiunea admisibilă a lemnului este 10 MPa, deci: $\text{Coeficient de siguranță} = \frac{10}{5.25} \approx 1.90$

Un coeficient de siguranță de 1,90 este mai mare decât 1,0, astfel încât grinda este sigură pentru această sarcină, cu o rezervă rezonabilă.

Încă două exemple

Profil I din oțel. Înălțime 0,2 m, lățimea tălpii 0,1 m, grosimea tălpii 0,01 m, grosimea inimii 0,006 m, deschidere 5 m, sarcină centrală 50.000 N. Momentul de inerție rezultă aproximativ 2,10 × 10⁻⁵ m⁴, ceea ce conduce la o tensiune de încovoiere de aproximativ 298 MPa, față de tensiunea admisibilă a oțelului, de 165 MPa. Coeficientul de siguranță este aproximativ 0,55, ceea ce este nesigur: grinda este prea mică pentru această deschidere și sarcină. Este necesară o secțiune mai înaltă, o deschidere mai scurtă sau o sarcină mai mică.

Bară de aluminiu. Diametru 0,08 m, deschidere 4 m, sarcină centrală 800 N. Modulul de rezistență al secțiunii este aproximativ 5,03 × 10⁻⁵ m³, ceea ce conduce la o tensiune de încovoiere de aproximativ 15,9 MPa, față de tensiunea admisibilă a aluminiului, de 100 MPa. Coeficientul de siguranță este aproximativ 6,28, deci grinda este sigură cu o rezervă considerabilă.

Ce nu acoperă calculatorul

• Console. O grindă fixată la un capăt, cu o sarcină la capătul liber, este supusă unui moment de încovoiere diferit și mai mare ($M = P \times L$, nu $P \times L / 4$) față de cazul grinzii simplu rezemate modelat de acest calculator.
• Sarcini distribuite. Sarcinile distribuite uniform pe deschidere, cum ar fi greutatea unui planșeu, nu sunt echivalente cu o singură sarcină concentrată în centru.
• Greutatea proprie. Calculatorul ia în considerare doar sarcina aplicată. El nu adaugă greutatea proprie a grinzii.
• Deformația. O grindă poate trece verificarea tensiunii și totuși să se curbeze mai mult decât este acceptabil pentru un planșeu sau un tavan. Verificarea săgeții necesită un calcul separat al deformației.
• Sarcini dinamice și repetate. Rafalele de vânt, vibrațiile și sarcinile de impact implică forțe care depășesc o simplă verificare statică.

Pentru o structură reală, mai ales atunci când o cedare ar putea răni pe cineva, solicitați unui inginer structurist autorizat să verifice proiectul.

Întrebări frecvente

Ce este un calculator pentru siguranța sarcinii unei grinzi? Este un instrument care compară tensiunea creată de o sarcină într-o grindă cu tensiunea admisibilă a materialului grinzii, apoi raportează un coeficient de siguranță și un rezultat sigur sau nesigur.

Ce coeficient de siguranță este suficient? Nu există un singur răspuns; acesta depinde de normativul de construcții aplicabil și de cât de bine este cunoscută sarcina. Un coeficient de 1,0 este minimul absolut și nu lasă nicio rezervă. Multe proiecte obișnuite folosesc coeficienți mai mari, adesea în intervalul de la 1,5 la 3, însă normativul care reglementează proiectul respectiv stabilește cerința efectivă.

Poate acest calculator să verifice o grindă în consolă? Nu. El modelează doar o grindă sprijinită la ambele capete, cu o singură sarcină în centru. O consolă, fixată la un capăt și încărcată la celălalt, are un moment de încovoiere diferit și, în general, mai mare pentru aceeași sarcină și aceeași lungime.

De ce este tensiunea admisibilă a oțelului mai mică decât limita sa de curgere? Limita de curgere este tensiunea la care oțelul începe să se deformeze permanent. Normele pentru structuri stabilesc tensiunea admisibilă de proiectare sub limita de curgere, de obicei la aproximativ două treimi din aceasta, astfel încât grinda să nu funcționeze chiar la limita deformării permanente sub sarcina de exploatare.

Înseamnă un rezultat sigur că grinda nu se va curba? Nu. Acest calculator verifică doar tensiunea de încovoiere. O grindă poate fi sigură din punctul de vedere al tensiunii și totuși să se deformeze sau să se curbeze mai mult decât este confortabil ori permis pentru aplicația respectivă. Curbura se verifică printr-un calcul separat al deformației.

De ce contează atât de mult înălțimea grinzii? Înălțimea apare în formula momentului de inerție sub forma $h^3$, însă modulul de rezistență al secțiunii care stabilește capacitatea portantă a calculatorului este $S = bh^2/6$ pentru un dreptunghi, astfel încât înălțimea apare sub forma $h^2$. Dublarea înălțimii unei grinzi dreptunghiulare îi cvadruplează modulul de rezistență al secțiunii și, prin urmare, cvadruplează sarcina admisibilă raportată de calculator, mult mai mult decât dublarea lățimii, care doar dublează S. De aceea, grinzile mai înalte sunt mult mai eficiente la rezistența la încovoiere decât cele mai late. Creșterea de opt ori a momentului de inerție contează pentru rigiditate și deformație, pe care acest calculator nu le calculează.

Referințe

1. Gere, J. M. și Goodno, B. J. (2012). Mechanics of Materials (ediția a 8-a). Cengage Learning.
2. American Institute of Steel Construction. (2017). Steel Construction Manual (ediția a 15-a). AISC.
3. American Wood Council. (2018). National Design Specification for Wood Construction. AWC.