گراف‌کش تابع مثلثاتی ساده

مقدمه‌ای بر گراف‌کش تابع مثلثاتی

یک گراف‌کش تابع مثلثاتی ابزاری ضروری برای تجسم توابع سینوس، کسینوس، تانژانت و دیگر توابع مثلثاتی است. این گراف‌کش تعاملی به شما اجازه می‌دهد تا توابع مثلثاتی استاندارد را با پارامترهای قابل تنظیم ترسیم کنید و به شما کمک می‌کند تا الگوها و رفتارهای بنیادی این روابط ریاضی مهم را درک کنید. چه شما یک دانش‌آموز باشید که در حال یادگیری مثلثات هستید، یک معلم که مفاهیم ریاضی را آموزش می‌دهد، یا یک حرفه‌ای که با پدیده‌های دوره‌ای کار می‌کند، این ابزار گراف‌کش ساده نمایشی واضح از توابع مثلثاتی ارائه می‌دهد.

گراف‌کش تابع مثلثاتی ساده ما بر روی سه تابع مثلثاتی اصلی تمرکز دارد: سینوس، کسینوس و تانژانت. شما می‌توانید به راحتی پارامترهایی مانند دامنه، فرکانس و جابجایی فاز را تنظیم کنید تا ببینید این تغییرات چگونه بر گراف نهایی تأثیر می‌گذارد. رابط کاربری شهودی آن، دسترسی به آن را برای کاربران در تمام سطوح، از مبتدیان تا ریاضیدانان پیشرفته، آسان می‌کند.

درک توابع مثلثاتی

توابع مثلثاتی روابط ریاضی بنیادی هستند که نسبت‌های اضلاع یک مثلث قائم‌الزاویه یا رابطه بین یک زاویه و یک نقطه بر روی دایره واحد را توصیف می‌کنند. این توابع دوره‌ای هستند، به این معنی که مقادیر خود را در فواصل منظم تکرار می‌کنند، که این امر آن‌ها را به ویژه برای مدل‌سازی پدیده‌های دوره‌ای مفید می‌سازد.

توابع مثلثاتی پایه

تابع سینوس

تابع سینوس، که به‌صورت $\sin(x)$ نشان داده می‌شود، نسبت ضلع مقابل به وتر در یک مثلث قائم‌الزاویه را نمایان می‌کند. بر روی دایره واحد، این تابع نمایانگر مختصات y یک نقطه بر روی دایره در زاویه x است.

تابع سینوس استاندارد به‌صورت زیر است:

$f(x) = \sin(x)$

ویژگی‌های کلیدی آن شامل:

دامنه: تمام اعداد حقیقی
دامنه: [-1, 1]
دوره: $2\pi$
تابع فرد: $\sin(-x) = -\sin(x)$

تابع کسینوس

تابع کسینوس، که به‌صورت $\cos(x)$ نشان داده می‌شود، نسبت ضلع مجاور به وتر در یک مثلث قائم‌الزاویه را نمایان می‌کند. بر روی دایره واحد، این تابع نمایانگر مختصات x یک نقطه بر روی دایره در زاویه x است.

تابع کسینوس استاندارد به‌صورت زیر است:

$f(x) = \cos(x)$

ویژگی‌های کلیدی آن شامل:

دامنه: تمام اعداد حقیقی
دامنه: [-1, 1]
دوره: $2\pi$
تابع زوج: $\cos(-x) = \cos(x)$

تابع تانژانت

تابع تانژانت، که به‌صورت $\tan(x)$ نشان داده می‌شود، نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور در یک مثلث قائم‌الزاویه را نمایان می‌کند. همچنین می‌توان آن را به‌عنوان نسبت سینوس به کسینوس تعریف کرد.

تابع تانژانت استاندارد به‌صورت زیر است:

$f(x) = \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$

ویژگی‌های کلیدی آن شامل:

دامنه: تمام اعداد حقیقی به جز $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$ که n یک عدد صحیح است
دامنه: تمام اعداد حقیقی
دوره: $\pi$
تابع فرد: $\tan(-x) = -\tan(x)$
دارای خط‌های عمودی در $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$

توابع مثلثاتی اصلاح‌شده

شما می‌توانید توابع مثلثاتی پایه را با تنظیم پارامترهایی مانند دامنه، فرکانس و جابجایی فاز اصلاح کنید. فرم کلی به‌صورت زیر است:

$f(x) = A \sin(Bx + C) + D$

که در آن:

A دامنه است (بر رفتار ارتفاع گراف تأثیر می‌گذارد)
B فرکانس است (بر تعداد چرخه‌ها در یک بازه معین تأثیر می‌گذارد)
C جابجایی فاز است (گراف را به‌صورت افقی جابجا می‌کند)
D جابجایی عمودی است (گراف را به‌صورت عمودی جابجا می‌کند)

تغییرات مشابهی برای توابع کسینوس و تانژانت اعمال می‌شود.

نحوه استفاده از گراف‌کش تابع مثلثاتی

گراف‌کش تابع مثلثاتی ساده ما یک رابط کاربری شهودی برای تجسم توابع مثلثاتی فراهم می‌کند. مراحل زیر را برای ایجاد و سفارشی‌سازی گراف‌های خود دنبال کنید:

انتخاب یک تابع: از منوی کشویی سینوس (sin)، کسینوس (cos) یا تانژانت (tan) را انتخاب کنید.
تنظیم پارامترها:
- دامنه: از نوار لغزنده برای تغییر ارتفاع گراف استفاده کنید. برای سینوس و کسینوس، این تعیین می‌کند که تابع چقدر بالاتر و پایین‌تر از محور x کشیده می‌شود. برای تانژانت، بر شیب منحنی‌ها تأثیر می‌گذارد.
- فرکانس: تعداد چرخه‌ها را در دوره استاندارد تنظیم کنید. مقادیر بالاتر، امواج فشرده‌تری ایجاد می‌کنند.
- جابجایی فاز: گراف را به‌صورت افقی در امتداد محور x جابجا کنید.
مشاهده گراف: گراف به‌صورت بلادرنگ با تنظیم پارامترها به‌روزرسانی می‌شود و نمایشی واضح از تابع انتخابی شما ارائه می‌دهد.
تحلیل نقاط کلیدی: مشاهده کنید که تابع در نقاط بحرانی مانند x = 0، π/2، π و غیره چگونه رفتار می‌کند.
کپی فرمول: از دکمه کپی برای ذخیره فرمول تابع فعلی برای مرجع یا استفاده در برنامه‌های دیگر استفاده کنید.

نکات برای گراف‌کشی مؤثر

ساده شروع کنید: با تابع پایه (دامنه = 1، فرکانس = 1، جابجایی فاز = 0) شروع کنید تا شکل بنیادی آن را درک کنید.
تنها یک پارامتر را در یک زمان تغییر دهید: این به شما کمک می‌کند تا بفهمید هر پارامتر به‌طور مستقل چگونه بر گراف تأثیر می‌گذارد.
به خط‌های عمودی توجه کنید: هنگام گراف‌کشی توابع تانژانت، به خط‌های عمودی توجه کنید که تابع در آن‌ها تعریف نشده است.
توابع را مقایسه کنید: بین سینوس، کسینوس و تانژانت جابه‌جا شوید تا روابط و تفاوت‌های آن‌ها را مشاهده کنید.
به مقادیر افراطی بپردازید: سعی کنید مقادیر بسیار بالا یا پایین برای دامنه و فرکانس را امتحان کنید تا ببینید تابع در افراط‌ها چگونه رفتار می‌کند.

فرمول‌ها و محاسبات ریاضی

گراف‌کش تابع مثلثاتی از فرمول‌های زیر برای محاسبه و نمایش گراف‌ها استفاده می‌کند:

تابع سینوس با پارامترها

$f(x) = A \sin(Bx + C)$

که در آن:

A = دامنه
B = فرکانس
C = جابجایی فاز

تابع کسینوس با پارامترها

$f(x) = A \cos(Bx + C)$

که در آن:

A = دامنه
B = فرکانس
C = جابجایی فاز

تابع تانژانت با پارامترها

$f(x) = A \tan(Bx + C)$

که در آن:

A = دامنه
B = فرکانس
C = جابجایی فاز

مثال محاسباتی

برای تابع سینوس با دامنه = 2، فرکانس = 3 و جابجایی فاز = π/4:

$f(x) = 2 \sin(3x + \pi/4)$

برای محاسبه مقدار در x = π/6:

$f(\pi/6) = 2 \sin(3 \times \pi/6 + \pi/4) = 2 \sin(\pi/2 + \pi/4) = 2 \sin(3\pi/4) \approx 1.414$

موارد استفاده برای گراف‌کش تابع مثلثاتی

توابع مثلثاتی کاربردهای متعددی در زمینه‌های مختلف دارند. در اینجا برخی از موارد استفاده رایج برای گراف‌کش تابع مثلثاتی ما آورده شده است:

آموزش و یادگیری

آموزش مثلثات: معلمان می‌توانند از گراف‌کش برای نشان دادن چگونگی تأثیر تغییر پارامترها بر توابع مثلثاتی استفاده کنند.
کمک به تکالیف و مطالعه: دانش‌آموزان می‌توانند محاسبات دستی خود را تأیید کنند و درک خود از رفتار تابع را توسعه دهند.
تجسم مفاهیم: مفاهیم ریاضی انتزاعی با تجسم گرافیکی واضح‌تر می‌شوند.

فیزیک و مهندسی

پدیده‌های موجی: مدل‌سازی امواج صوتی، امواج نوری و دیگر پدیده‌های نوسانی.
تحلیل مدار: تجسم رفتار جریان متناوب در مدارهای الکتریکی.
ارتعاشات مکانیکی: مطالعه حرکت فنرها، پاندول‌ها و دیگر سیستم‌های مکانیکی.
پردازش سیگنال: تجزیه و تحلیل سیگنال‌های دوره‌ای و مؤلفه‌های آن‌ها.

گرافیک کامپیوتری و انیمیشن

طراحی حرکتی: ایجاد انیمیشن‌های طبیعی و روان با استفاده از توابع سینوس و کسینوس.
توسعه بازی: پیاده‌سازی الگوهای حرکتی واقع‌گرایانه برای اشیاء و شخصیت‌ها.
تولید تصادفی: تولید زمین، بافت‌ها و دیگر عناصر با تصادفی کنترل‌شده.

تحلیل داده

روندهای فصلی: شناسایی و مدل‌سازی الگوهای دوره‌ای در داده‌های زمان‌سری.
تحلیل فرکانس: تجزیه سیگنال‌های پیچیده به مؤلفه‌های سینوسی و کسینوسی ساده‌تر.
شناسایی الگو: شناسایی الگوهای دوره‌ای در داده‌های تجربی یا مشاهداتی.

مثال دنیای واقعی: مدل‌سازی موج صوتی

موج‌های صوتی می‌توانند با استفاده از توابع سینوس مدل‌سازی شوند. برای یک تن خالص با فرکانس f (در هرتز)، فشار هوا p در زمان t می‌تواند به‌صورت زیر نمایان شود:

$p(t) = A \sin(2\pi ft)$

با استفاده از گراف‌کش ما، می‌توانید تنظیم کنید:

تابع: سینوس
دامنه: متناسب با بلندی صدا
فرکانس: مرتبط با زیر و بم (فرکانس بالاتر = زیر و بم بالاتر)
جابجایی فاز: تعیین می‌کند که موج صوتی از کجا شروع می‌شود.

جایگزین‌های گراف‌کش تابع مثلثاتی

در حالی که گراف‌کش تابع مثلثاتی ساده ما بر روی توابع پایه و تغییرات آن‌ها تمرکز دارد، رویکردها و ابزارهای جایگزین برای وظایف مشابه وجود دارد:

ماشین‌حساب‌های گرافیکی پیشرفته

ماشین‌حساب‌ها و نرم‌افزارهای گرافیکی حرفه‌ای مانند Desmos، GeoGebra یا Mathematica ویژگی‌های بیشتری ارائه می‌دهند، از جمله:

ترسیم چندین تابع بر روی یک گراف
تجسم سه‌بعدی سطوح مثلثاتی
پشتیبانی از توابع پارامتریک و قطبی
قابلیت‌های انیمیشن
ابزارهای تجزیه و تحلیل عددی

رویکرد سری فوریه

برای توابع دوره‌ای پیچیده‌تر، تجزیه سری فوریه آن‌ها را به‌صورت مجموع توابع سینوسی و کسینوسی بیان می‌کند:

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right]$

این رویکرد به‌ویژه برای:

پردازش سیگنال
معادلات دیفرانسیل جزئی
مسائل انتقال حرارت
مکانیک کوانتومی مفید است.

نمایش فازوری

در مهندسی الکترونیک، توابع سینوسی معمولاً به‌صورت فازورها (بردارهای چرخشی) برای ساده‌سازی محاسبات مربوط به اختلاف فازها نمایان می‌شوند.

جدول مقایسه: رویکردهای گراف‌کشی

ویژگی	گراف‌کش مثلثاتی ساده	ماشین‌حساب‌های پیشرفته	تحلیل فوریه	روش فازوری
سهولت استفاده	★★★★★	★★★☆☆	★★☆☆☆	★★★☆☆
وضوح بصری	★★★★☆	★★★★★	★★★☆☆	★★☆☆☆
قدرت ریاضی	★★☆☆☆	★★★★★	★★★★★	★★★☆☆
منحنی یادگیری	حداقل	متوسط	تند	متوسط
بهترین برای	درک پایه	تحلیل دقیق	الگوهای پیچیده	مدارهای AC

تاریخچه توابع مثلثاتی و نمایندگی گرافیکی آن‌ها

توسعه توابع مثلثاتی و نمایندگی گرافیکی آن‌ها هزاران سال به طول انجامیده و از کاربردهای عملی به نظریه‌های ریاضی پیچیده تکامل یافته است.

ریشه‌های باستانی

مثلثات با نیازهای عملی نجوم، ناوبری و نقشه‌برداری در تمدن‌های باستانی آغاز شد:

بابلی‌ها (حدود ۱۹۰۰-۱۶۰۰ قبل از میلاد): جداول مقادیر مربوط به مثلث‌های قائم‌الزاویه را ایجاد کردند.
مصر باستان: از اشکال ابتدایی مثلثات برای ساخت هرم‌ها استفاده کردند.
یونانیان باستان: هیپارخوس (حدود ۱۹۰-۱۲۰ قبل از میلاد) به‌عنوان "پدر مثلثات" شناخته می‌شود که اولین جدول شناخته‌شده از توابع وتر را ایجاد کرد، که پیش‌درآمد تابع سینوس است.

توسعه توابع مثلثاتی مدرن

ریاضیات هندی (۴۰۰-۱۲۰۰ میلادی): ریاضیدانانی مانند آریابهاتا توابع سینوس و کسینوس را به‌صورت امروزی توسعه دادند.
عصر طلایی اسلامی (قرن ۸-۱۴): دانشمندانی مانند الخوارزمی و البتانی دانش مثلثاتی را گسترش داده و جداول دقیق‌تری ایجاد کردند.
رنسانس اروپایی: رژیومونتانوس (۱۴۳۶-۱۴۷۶) جداول و فرمول‌های مثلثاتی جامع‌تری را منتشر کرد.

نمایندگی گرافیکی

تجسم توابع مثلثاتی به‌صورت گراف‌های پیوسته یک توسعه نسبتاً جدید است:

رنه دکارت (۱۵۹۶-۱۶۵۰): اختراع سیستم مختصات دکارتی امکان نمایاندن توابع به‌صورت گرافیکی را فراهم کرد.
لئونارد اویلر (۱۷۰۷-۱۷۸۳): به توابع مثلثاتی کمک‌های قابل توجهی کرد، از جمله فرمول مشهور اویلر ( $e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)$ ) که توابع مثلثاتی را به توابع نمایی متصل می‌کند.
جوزف فوریه (۱۷۶۸-۱۸۳۰): سری فوریه را توسعه داد و نشان داد که توابع دوره‌ای پیچیده می‌توانند به‌صورت مجموع توابع سینوسی و کسینوسی نمایان شوند.

عصر مدرن

قرن نوزدهم: توسعه حساب دیفرانسیل و انتگرال و تحلیل درک عمیق‌تری از توابع مثلثاتی فراهم کرد.
قرن بیستم: ماشین‌حساب‌های الکترونیکی و کامپیوترها توانایی محاسبه و تجسم توابع مثلثاتی را متحول کردند.
قرن بیست و یکم: ابزارهای آنلاین تعاملی (مانند این گراف‌کش) دسترسی به توابع مثلثاتی را برای هر کسی که به اینترنت متصل است، فراهم می‌آورد.

سوالات متداول

توابع مثلثاتی چیستند؟

توابع مثلثاتی توابع ریاضی هستند که نسبت‌های اضلاع یک مثلث را به زوایای آن مرتبط می‌کنند. توابع مثلثاتی اصلی شامل سینوس، کسینوس و تانژانت هستند، با معکوس‌های آن‌ها که شامل کاسینوس، سکانت و کاتانژانت می‌شود. این توابع در ریاضیات بنیادی هستند و کاربردهای متعددی در فیزیک، مهندسی و دیگر زمینه‌ها دارند.

چرا به تجسم توابع مثلثاتی نیاز دارم؟

تجسم توابع مثلثاتی به درک رفتار، دوره‌ای بودن و ویژگی‌های کلیدی آن‌ها کمک می‌کند. گراف‌ها شناسایی الگوها، صفرها، ماکزیمم‌ها، مینیمم‌ها و خط‌های عمودی را آسان‌تر می‌کنند. این درک بصری برای کاربردها در تحلیل امواج، پردازش سیگنال و مدل‌سازی پدیده‌های دوره‌ای ضروری است.

پارامتر دامنه چه کاری انجام می‌دهد؟

پارامتر دامنه ارتفاع گراف را کنترل می‌کند. برای توابع سینوس و کسینوس، این تعیین می‌کند که تابع چقدر بالاتر و پایین‌تر از محور x کشیده می‌شود. دامنه بزرگتر قله‌های بلندتر و دره‌های عمیق‌تری ایجاد می‌کند. به‌عنوان مثال، $2\sin(x)$ قله‌هایی در y=2 و دره‌هایی در y=-2 خواهد داشت، در مقایسه با سینوس استاندارد $\sin(x)$ که قله‌هایی در y=1 و دره‌هایی در y=-1 دارد.

پارامتر فرکانس چه کاری انجام می‌دهد؟

پارامتر فرکانس تعیین می‌کند که چند چرخه از تابع در یک بازه معین وجود دارد. مقادیر بالاتر، گراف را به‌صورت افقی فشرده می‌کنند و منجر به چرخه‌های بیشتر می‌شوند. به‌عنوان مثال، $\sin(2x)$ دو چرخه کامل را در بازه $[0, 2\pi]$ کامل می‌کند، در حالی که $\sin(x)$ تنها یک چرخه را در همان بازه کامل می‌کند.

پارامتر جابجایی فاز چه کاری انجام می‌دهد؟

پارامتر جابجایی فاز گراف را به‌صورت افقی جابجا می‌کند. جابجایی فاز مثبت، گراف را به سمت چپ و جابجایی فاز منفی، گراف را به سمت راست جابجا می‌کند. به‌عنوان مثال، $\sin(x + \pi/2)$ منحنی سینوس استاندارد را به سمت چپ به اندازه $\pi/2$ واحد جابجا می‌کند و به‌طور مؤثر آن را شبیه منحنی کسینوس می‌کند.

چرا تابع تانژانت خط‌های عمودی دارد؟

خط‌های عمودی در گراف تابع تانژانت نمایانگر خط‌های عمودی هستند که در آن‌ها تابع تعریف نشده است. به‌طور ریاضی، تانژانت به‌صورت $\tan(x) = \sin(x)/\cos(x)$ تعریف می‌شود، بنابراین در مقادیر که $\cos(x) = 0$ (مانند $x = \pi/2, 3\pi/2$ و غیره) تابع تانژانت به بی‌نهایت نزدیک می‌شود و این خط‌های عمودی را ایجاد می‌کند.

تفاوت بین رادیان و درجه چیست؟

رادیان‌ها و درجه‌ها دو روش برای اندازه‌گیری زوایا هستند. یک دایره کامل ۳۶۰ درجه یا $2\pi$ رادیان است. رادیان‌ها معمولاً در تحلیل ریاضی ترجیح داده می‌شوند زیرا بسیاری از فرمول‌ها را ساده‌تر می‌کنند. گراف‌کش ما از رادیان برای مقادیر محور x استفاده می‌کند، جایی که $\pi$ تقریباً برابر با ۳.۱۴۱۵۹ است.

آیا می‌توانم چندین تابع را به‌طور همزمان گراف‌کشی کنم؟

گراف‌کش تابع مثلثاتی ساده ما بر روی وضوح و سهولت استفاده تمرکز دارد، بنابراین تنها یک تابع را در یک زمان نمایش می‌دهد. این به مبتدیان کمک می‌کند تا رفتار هر تابع را بدون سردرگمی درک کنند. برای مقایسه چندین تابع، ممکن است بخواهید از ابزارهای گراف‌کشی پیشرفته‌تر مانند Desmos یا GeoGebra استفاده کنید.

دقت این گراف‌کش چقدر است؟

این گراف‌کش از توابع ریاضی استاندارد جاوا اسکریپت و D3.js برای تجسم استفاده می‌کند و دقت کافی برای استفاده‌های آموزشی و عمومی را فراهم می‌کند. برای کاربردهای علمی یا مهندسی بسیار دقیق، نرم‌افزارهای تخصصی ممکن است مناسب‌تر باشند.

آیا می‌توانم گراف‌هایم را ذخیره یا به اشتراک بگذارم؟

در حال حاضر، می‌توانید با استفاده از دکمه "کپی" فرمول تابع را ذخیره کنید. در حالی که ذخیره‌سازی تصویر به‌طور مستقیم پیاده‌سازی نشده است، می‌توانید از قابلیت اسکرین‌شات دستگاه خود برای ضبط و به اشتراک‌گذاری گراف استفاده کنید.

مثال‌های کد برای توابع مثلثاتی

در اینجا مثال‌هایی در زبان‌های برنامه‌نویسی مختلف آورده شده است که نشان می‌دهد چگونه می‌توان با توابع مثلثاتی کار کرد و آن‌ها را محاسبه کرد:

1// مثال جاوا اسکریپت برای محاسبه و ترسیم تابع سینوس
2function calculateSinePoints(amplitude, frequency, phaseShift, start, end, steps) {
3  const points = [];
4  const stepSize = (end - start) / steps;
5  
6  for (let i = 0; i <= steps; i++) {
7    const x = start + i * stepSize;
8    const y = amplitude * Math.sin(frequency * x + phaseShift);
9    points.push({ x, y });
10  }
11  
12  return points;
13}
14
15// مثال استفاده:
16const sinePoints = calculateSinePoints(2, 3, Math.PI/4, -Math.PI, Math.PI, 100);
17console.log(sinePoints);
18

1# مثال پایتون با matplotlib برای تجسم توابع مثلثاتی
2import numpy as np
3import matplotlib.pyplot as plt
4
5def plot_trig_function(func_type, amplitude, frequency, phase_shift):
6    # ایجاد مقادیر x
7    x = np.linspace(-2*np.pi, 2*np.pi, 1000)
8    
9    # محاسبه مقادیر y بر اساس نوع تابع
10    if func_type == 'sin':
11        y = amplitude * np.sin(frequency * x + phase_shift)
12        title = f"f(x) = {amplitude} sin({frequency}x + {phase_shift})"
13    elif func_type == 'cos':
14        y = amplitude * np.cos(frequency * x + phase_shift)
15        title = f"f(x) = {amplitude} cos({frequency}x + {phase_shift})"
16    elif func_type == 'tan':
17        y = amplitude * np.tan(frequency * x + phase_shift)
18        # فیلتر کردن مقادیر بی‌نهایت برای تجسم بهتر
19        y = np.where(np.abs(y) > 10, np.nan, y)
20        title = f"f(x) = {amplitude} tan({frequency}x + {phase_shift})"
21    
22    # ایجاد گراف
23    plt.figure(figsize=(10, 6))
24    plt.plot(x, y)
25    plt.grid(True)
26    plt.axhline(y=0, color='k', linestyle='-', alpha=0.3)
27    plt.axvline(x=0, color='k', linestyle='-', alpha=0.3)
28    plt.title(title)
29    plt.xlabel('x')
30    plt.ylabel('f(x)')
31    
32    # افزودن نقاط ویژه برای محور x
33    special_points = [-2*np.pi, -3*np.pi/2, -np.pi, -np.pi/2, 0, np.pi/2, np.pi, 3*np.pi/2, 2*np.pi]
34    special_labels = ['-2π', '-3π/2', '-π', '-π/2', '0', 'π/2', 'π', '3π/2', '2π']
35    plt.xticks(special_points, special_labels)
36    
37    plt.ylim(-5, 5)  # محدود کردن محور y برای تجسم بهتر
38    plt.show()
39
40# مثال استفاده:
41plot_trig_function('sin', 2, 1, 0)  # ترسیم f(x) = 2 sin(x)
42

1// مثال جاوا برای محاسبه مقادیر توابع مثلثاتی
2import java.util.ArrayList;
3import java.util.List;
4
5public class TrigonometricCalculator {
6    
7    public static class Point {
8        public double x;
9        public double y;
10        
11        public Point(double x, double y) {
12            this.x = x;
13            this.y = y;
14        }
15        
16        @Override
17        public String toString() {
18            return "(" + x + ", " + y + ")";
19        }
20    }
21    
22    public static List<Point> calculateCosinePoints(
23            double amplitude, 
24            double frequency, 
25            double phaseShift, 
26            double start, 
27            double end, 
28            int steps) {
29        
30        List<Point> points = new ArrayList<>();
31        double stepSize = (end - start) / steps;
32        
33        for (int i = 0; i <= steps; i++) {
34            double x = start + i * stepSize;
35            double y = amplitude * Math.cos(frequency * x + phaseShift);
36            points.add(new Point(x, y));
37        }
38        
39        return points;
40    }
41    
42    public static void main(String[] args) {
43        // محاسبه نقاط برای f(x) = 2 cos(3x + π/4)
44        List<Point> cosinePoints = calculateCosinePoints(
45            2.0,  // دامنه
46            3.0,  // فرکانس
47            Math.PI/4,  // جابجایی فاز
48            -Math.PI,  // شروع
49            Math.PI,  // پایان
50            100  // مراحل
51        );
52        
53        // چاپ چند نقطه اول
54        System.out.println("پنج نقطه اول برای f(x) = 2 cos(3x + π/4):");
55        for (int i = 0; i < 5 && i < cosinePoints.size(); i++) {
56            System.out.println(cosinePoints.get(i));
57        }
58    }
59}
60

1' تابع VBA در اکسل برای محاسبه مقادیر سینوس
2Function SineValue(x As Double, amplitude As Double, frequency As Double, phaseShift As Double) As Double
3    SineValue = amplitude * Sin(frequency * x + phaseShift)
4End Function
5
6' فرمول اکسل برای تابع سینوس (در سلول)
7' =A2*SIN(B2*C2+D2)
8' که در آن A2 دامنه، B2 فرکانس، C2 مقدار x و D2 جابجایی فاز است
9

1// پیاده‌سازی C برای محاسبه مقادیر تابع تانژانت
2#include <stdio.h>
3#include <math.h>
4
5// تابعی برای محاسبه تانژانت با پارامترها
6double parameterizedTangent(double x, double amplitude, double frequency, double phaseShift) {
7    double angle = frequency * x + phaseShift;
8    
9    // بررسی نقاط تعریف‌نشده (جایی که کسینوس = 0 است)
10    double cosValue = cos(angle);
11    if (fabs(cosValue) < 1e-10) {
12        return NAN; // عدد تعریف‌نشده برای نقاط تعریف‌نشده
13    }
14    
15    return amplitude * tan(angle);
16}
17
18int main() {
19    double amplitude = 1.0;
20    double frequency = 2.0;
21    double phaseShift = 0.0;
22    
23    printf("x\t\tf(x) = %g tan(%gx + %g)\n", amplitude, frequency, phaseShift);
24    printf("----------------------------------------\n");
25    
26    // چاپ مقادیر از -π تا π
27    for (double x = -M_PI; x <= M_PI; x += M_PI/8) {
28        double y = parameterizedTangent(x, amplitude, frequency, phaseShift);
29        
30        if (isnan(y)) {
31            printf("%g\t\tتعریف‌نشده (آسمت)\n", x);
32        } else {
33            printf("%g\t\t%g\n", x, y);
34        }
35    }
36    
37    return 0;
38}
39

منابع

Abramowitz, M. و Stegun, I. A. (Eds.). "Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables," چاپ نهم. نیویورک: Dover, 1972.
Gelfand, I. M. و Fomin, S. V. "Calculus of Variations." Courier Corporation, 2000.
Kreyszig, E. "Advanced Engineering Mathematics," ویرایش دهم. John Wiley & Sons, 2011.
Bostock, M., Ogievetsky, V. و Heer, J. "D3: Data-Driven Documents." IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics, 17(12), 2301-2309, 2011. https://d3js.org/
"توابع مثلثاتی." Khan Academy, https://www.khanacademy.org/math/trigonometry/trigonometry-right-triangles/intro-to-the-trig-ratios/a/trigonometric-functions. دسترسی 3 اوت 2023.
"تاریخ مثلثات." آرشیو تاریخ ریاضیات MacTutor، دانشگاه سنت اندروز، اسکاتلند. https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Trigonometric_functions/. دسترسی 3 اوت 2023.
Maor, E. "Trigonometric Delights." Princeton University Press, 2013.

امروز گراف‌کش تابع مثلثاتی ما را امتحان کنید!

زیبایی و قدرت توابع مثلثاتی را با گراف‌کش ساده و شهودی ما تجسم کنید. پارامترها را به‌صورت بلادرنگ تنظیم کنید تا ببینید چگونه بر گراف تأثیر می‌گذارد و درک خود را از این روابط ریاضی بنیادی عمیق‌تر کنید. چه در حال مطالعه برای یک امتحان باشید، چه در حال آموزش یک کلاس، یا فقط در حال کاوش در دنیای جذاب ریاضیات، گراف‌کش تابع مثلثاتی ما نمایشی واضح از رفتار توابع سینوس، کسینوس و تانژانت فراهم می‌کند.

هم‌اکنون شروع به گراف‌کشی کنید و الگوهایی را که ریاضیات را به ریتم‌های دنیای طبیعی ما متصل می‌کند، کشف کنید!

نقشه‌کش توابع مثلثاتی ساده: تجسم سینوس، کسینوس و تانژانت

نمودار توابع مثلثاتی

پارامترهای تابع

نمودار تابع

مستندات

گراف‌کش تابع مثلثاتی ساده

مقدمه‌ای بر گراف‌کش تابع مثلثاتی

درک توابع مثلثاتی

توابع مثلثاتی پایه

تابع سینوس

تابع کسینوس

تابع تانژانت

توابع مثلثاتی اصلاح‌شده

نحوه استفاده از گراف‌کش تابع مثلثاتی

نکات برای گراف‌کشی مؤثر

فرمول‌ها و محاسبات ریاضی

تابع سینوس با پارامترها

تابع کسینوس با پارامترها

تابع تانژانت با پارامترها

مثال محاسباتی

موارد استفاده برای گراف‌کش تابع مثلثاتی

آموزش و یادگیری

فیزیک و مهندسی

گرافیک کامپیوتری و انیمیشن

تحلیل داده

مثال دنیای واقعی: مدل‌سازی موج صوتی

جایگزین‌های گراف‌کش تابع مثلثاتی

ماشین‌حساب‌های گرافیکی پیشرفته

رویکرد سری فوریه

نمایش فازوری

جدول مقایسه: رویکردهای گراف‌کشی

تاریخچه توابع مثلثاتی و نمایندگی گرافیکی آن‌ها

ریشه‌های باستانی

توسعه توابع مثلثاتی مدرن

نمایندگی گرافیکی

عصر مدرن

سوالات متداول

توابع مثلثاتی چیستند؟

چرا به تجسم توابع مثلثاتی نیاز دارم؟

پارامتر دامنه چه کاری انجام می‌دهد؟

پارامتر فرکانس چه کاری انجام می‌دهد؟

پارامتر جابجایی فاز چه کاری انجام می‌دهد؟

چرا تابع تانژانت خط‌های عمودی دارد؟

تفاوت بین رادیان و درجه چیست؟

آیا می‌توانم چندین تابع را به‌طور همزمان گراف‌کشی کنم؟

دقت این گراف‌کش چقدر است؟

آیا می‌توانم گراف‌هایم را ذخیره یا به اشتراک بگذارم؟

مثال‌های کد برای توابع مثلثاتی

منابع

امروز گراف‌کش تابع مثلثاتی ما را امتحان کنید!

بازخورد

ابزارهای مرتبط

حل معادله درجه دوم: پیدا کردن ریشه‌های ax² + bx + c = 0

محاسبه و تجسم توزیع لاپلاس با پارامترهای کاربر

محاسبه و تجسم توزیع گاما با پارامترهای شکل و مقیاس