Calculadora de l'altura inclinada d'un con

Introducció

L'altura inclinada d'un con és la distància des de l'apex (punt superior) del con fins a qualsevol punt al llarg de la vora de la seva base circular. És una mesura essencial en geometria, especialment quan es tracta de càlculs de l'àrea superficial i de la superfície lateral d'un con. Calcular l'altura inclinada és crucial en diversos camps com l'enginyeria, l'arquitectura, la fabricació i l'educació.

Aquesta calculadora et permet trobar l'altura inclinada d'un con circular recte quan coneixes el radi i l'altura perpendicular, o calcular el radi o l'altura si es coneixen les altres dues mesures.

Fórmula

Per a un con circular recte, l'altura inclinada $l$ es pot calcular utilitzant el teorema de Pitàgores:

l = \sqrt{r^2 + h^2}

On:

$r$ = radi de la base
$h$ = altura perpendicular (altitud) des de la base fins a l'apex
$l$ = altura inclinada

Aquesta fórmula sorgeix perquè un con circular recte forma un triangle rectangle entre el radi, l'altura i l'altura inclinada.

Càlcul del radi o l'altura

Es pot reorganitzar la fórmula per resoldre el radi o l'altura:

Per trobar el radi $r$ :

r = \sqrt{l^2 - h^2}

Per trobar l'altura $h$ :

h = \sqrt{l^2 - r^2}

Casos límit

Valors zero o negatius: El radi, l'altura i l'altura inclinada han de ser números reals positius. Els valors zero o negatius no són vàlids en el context d'un con físic. Per exemple, un con amb $r = 0$ o $h = 0$ seria degenerat i no representaria una forma tridimensional vàlida.
Valors d'altura inclinada no vàlids: L'altura inclinada ha de satisfer la condició $l > r$ i $l > h$ . Si $l \leq r$ o $l \leq h$ , el con no pot existir perquè els costats no es trobarien en un únic apex.
Dimensions impossibles: Si l'altura inclinada calculada és menor que el radi o l'altura, és un indici de dimensions no vàlides. Per exemple, si $r = 5$ unitats i $h = 12$ unitats, l'altura inclinada $l$ ha de ser més gran que ambdues 5 i 12 unitats a causa de la relació de Pitàgores.
Valors extremadament grans: Quan es treballa amb números molt grans, tingueu cura amb possibles errors de precisió de punt flotant que podrien afectar l'exactitud dels càlculs.

Exemples de casos límit

Exemple 1: Si $r = -3$ unitats i $h = 4$ unitats, el radi és negatiu, cosa que és físicament impossible. Ajusta el valor a un número positiu.
Exemple 2: Si $l = 5$ unitats, $r = 3$ unitats i $h = 4$ unitats, les dimensions són vàlides perquè $l > r$ i $l > h$ .
Exemple 3: Si $l = 2$ unitats, $r = 3$ unitats i $h = 4$ unitats, l'altura inclinada és menor que tant el radi com l'altura, cosa que és impossible per a un con real.

Càlcul

A continuació, es mostra com calcular l'altura inclinada, el radi o l'altura pas a pas.

Exemple 1: Càlcul de l'altura inclinada

Donat:

Radi ( $r = 3$ unitats)
Altura ( $h = 4$ unitats)

Calculem l'altura inclinada ( $l$ )

\begin{align*} l &= \sqrt{r^2 + h^2} \\ &= \sqrt{3^2 + 4^2} \\ &= \sqrt{9 + 16} \\ &= \sqrt{25} \\ &= 5 \text{ unitats} \end{align*}

Exemple 2: Càlcul del radi

Donat:

Altura inclinada ( $l = 13$ unitats)
Altura ( $h = 12$ unitats)

Calculem el radi ( $r$ )

\begin{align*} r &= \sqrt{l^2 - h^2} \\ &= \sqrt{13^2 - 12^2} \\ &= \sqrt{169 - 144} \\ &= \sqrt{25} \\ &= 5 \text{ unitats} \end{align*}

Exemple 3: Càlcul de l'altura

Donat:

Radi ( $r = 5$ unitats)
Altura inclinada ( $l = 13$ unitats)

Calculem l'altura ( $h$ )

\begin{align*} h &= \sqrt{l^2 - r^2} \\ &= \sqrt{13^2 - 5^2} \\ &= \sqrt{169 - 25} \\ &= \sqrt{144} \\ &= 12 \text{ unitats} \end{align*}

Casos d'ús

Calcular l'altura inclinada d'un con és important en diverses aplicacions del món real:

Enginyeria i arquitectura

Disseny de teulades: Els arquitectes utilitzen l'altura inclinada per determinar els materials necessaris per a teulades o agulles còniques.
Components estructurals: Els enginyers la calculen quan dissenyen components com xemeneies, xemeneies o torres.

Fabricació

Fabricació de metalls: Els treballadors de làmina metàl·lica necessiten l'altura inclinada per tallar i formar formes còniques amb precisió.
Indústria de packaging: Dissenyar articles com gots de paper o còniques requereix mesures precises de l'altura inclinada.

Educació

Problemes de matemàtiques: Els educadors utilitzen cons per ensenyar geometria, trigonometria i el teorema de Pitàgores.
Art i disseny: Entendre les formes còniques ajuda en l'art, el disseny de moda i el modelatge.

Alternatives

Si bé l'altura inclinada és crucial, de vegades altres mesures són més apropiades:

Angle del sector del con desplegat: En fabricació, calcular l'angle del sector quan el con es desplega ajuda en el tall de materials.
Àrea de superfície lateral: El càlcul directe de l'àrea de superfície lateral pot ser necessari per a aplicacions de pintura o recobriment.
Utilitzant trigonometria: Si es coneix l'angle de l'apex, les relacions trigonomètriques poden determinar altres dimensions.

Història

L'estudi dels cons es remunta a l'antiga Grècia. Matemàtics com Euclides i Apollonius de Perga van fer contribucions significatives a la comprensió de les seccions còniques. El concepte d'altura inclinada sorgeix del teorema de Pitàgores, atribuït a Pitàgores (c. 570 – c. 495 aC).

Durant el Renaixement, els avenços en matemàtiques i enginyeria van portar a aplicacions pràctiques d'aquests principis geomètrics en arquitectura i artesania. El desenvolupament del càlcul va millorar encara més la capacitat de calcular propietats de formes còniques amb precisió.

Avui dia, els principis segueixen sent fonamentals en geometria i continuen tenint aplicacions àmplies en ciència, tecnologia, enginyeria i matemàtiques (STEM).

Diagrames

Una il·lustració d'un con circular recte:

Exemples de codi

Aquí hi ha fragments de codi en diversos llenguatges de programació per calcular l'altura inclinada:

Excel

=SQRT(A2^2 + B2^2)

Suposant que A2 conté el radi i B2 conté l'altura.

Python

import math

def slant_height(r, h):
    return math.hypot(r, h)

## Exemple d'ús
radius = 5
height = 12
print(f"Altura inclinada: {slant_height(radius, height)}")

JavaScript

function slantHeight(r, h) {
  return Math.hypot(r, h);
}

// Exemple d'ús
const radius = 5;
const height = 12;
console.log("Altura inclinada:", slantHeight(radius, height));

Java

public class Cone {
    public static double slantHeight(double r, double h) {
        return Math.hypot(r, h);
    }

    public static void main(String[] args) {
        double radius = 5;
        double height = 12;
        System.out.println("Altura inclinada: " + slantHeight(radius, height));
    }
}

C#

using System;

class Cone
{
    static double SlantHeight(double r, double h)
    {
        return Math.Sqrt(r * r + h * h);
    }

    static void Main()
    {
        double radius = 5;
        double height = 12;
        Console.WriteLine("Altura inclinada: " + SlantHeight(radius, height));
    }
}

MATLAB

function l = slantHeight(r, h)
    l = hypot(r, h);
end

% Exemple d'ús
radius = 5;
height = 12;
disp(['Altura inclinada: ', num2str(slantHeight(radius, height))]);

R

slant_height <- function(r, h) {
  sqrt(r^2 + h^2)
}

## Exemple d'ús
radius <- 5
height <- 12
cat("Altura inclinada:", slant_height(radius, height), "\n")

Go

package main

import (
	"fmt"
	"math"
)

func slantHeight(r, h float64) float64 {
	return math.Hypot(r, h)
}

func main() {
	radius := 5.0
	height := 12.0
	fmt.Printf("Altura inclinada: %.2f\n", slantHeight(radius, height))
}

Ruby

def slant_height(r, h)
  Math.hypot(r, h)
end

## Exemple d'ús
radius = 5
height = 12
puts "Altura inclinada: #{slant_height(radius, height)}"

PHP

<?php
function slantHeight($r, $h) {
    return sqrt($r * $r + $h * $h);
}

// Exemple d'ús
$radius = 5;
$height = 12;
echo "Altura inclinada: " . slantHeight($radius, $height);
?>

Rust

fn slant_height(r: f64, h: f64) -> f64 {
    (r.powi(2) + h.powi(2)).sqrt()
}

fn main() {
    let radius = 5.0;
    let height = 12.0;
    println!("Altura inclinada: {}", slant_height(radius, height));
}

Swift

import Foundation

func slantHeight(_ r: Double, _ h: Double) -> Double {
    return sqrt(r * r + h * h)
}

// Exemple d'ús
let radius = 5.0
let height = 12.0
print("Altura inclinada: \(slantHeight(radius, height))")

Referències

Eines relacionades

Calculadora d'Alçada per a Cones i Formes Còniques

Calculadora del Diàmetre d'un Con per a Geometria

Calculadora de l'àrea lateral d'un con circular

Calculadora de Seccions Còniques i Excentricitat

Calculadora d'Àrea i Volum per Cono Circular Recte

Calculadora de volum de cons i cons truncats